Номера такси

Сриниваса Рамануджан – индийский математик-самоучка с поразительным талантом к формулам, как правило очень странным формулам, обладавшим, однако, своеобразной необычной красотой. В 1914 г. математики Годфри Харолд Харди и Джон Эденсор Литтлвуд из Кембриджа привезли его в Англию. К 1919 г. у него уже были неизлечимо больные легкие, и в 1920 г. он умер в Индии. Харди писал:

«Помню, как я однажды поехал навестить его, когда он лежал больной в Путни. Я приехал в такси номер 1729 и заметил вскользь, что номер этот показался мне довольно скучным и что я надеюсь, что это не дурное предзнаменование. „Нет, – ответил он, – это очень интересный номер; это наименьшее число, которое можно выразить в виде суммы двух [положительных] кубов двумя разными способами“».

Наблюдение о том, что

1729 = 1? + 12? = 9? + 10?,

впервые опубликовал Бернар Френикль де Бесси в 1657 г. Если разрешить отрицательные кубы, то наименьшим таким числом будет

91 = 6? + (–5)? = 4? + 3?.

Специалисты по теории чисел обобщили эту концепцию, заявив, что n-й номер такси Ta (n) есть наименьшее число, которое можно выразить в виде суммы двух положительных кубов n и другими способами.

В 1979 г. Харди и Э. М. Райт доказали, что некоторые числа могут быть выражены в виде суммы произвольно большого числа положительных кубов, так что Ta (n) существует для любых n. Однако вплоть до настоящего времени известны лишь первые шесть таких чисел:

Ta (1) = 2 = 1? + 13;

Ta (2) = 1729 = 1? + 12? = 9? + 10?;

Ta (3) = 87539319 = 167? + 436? = 228? + 423? = 255? + 414?;

Ta (4) = 6963472309248 = 2421? + 19083? = 54363 + 18948? = 10200? + 18072? = 13322? + 166308?;

Ta (5) = 48988659276962496 = 38787? + 3657573 = 107839? + 362753? = 205292? + 342952? = 221424? + 336588? = 231518? + 331954?;

Ta (6) = 24153319581254312065344 = 582162? + 28906206? = 3064173? + 28894803? = 8519281? + 28657487? = 16218068? + 27093208? = 17492496? + 26590452? = 18289922? + 26224366?.

Ta (3) открыл Джон Лич в 1957 г. Ta (4) нашли Э. Розенстил, Дж. А. Дардис и К. Р. Розенстил в 1991 г. Ta (5) обнаружил Дж. А. Дардис в 1994 г. и подтвердил Дэвид Уилсон в 1999 г. В 2003 г. К. С. Калуд, Э. Калуд и М. Дж. Диннин установили, что приведенное выше число, вероятно, является Ta (6), а в 2008 г. Уве Холлербах опубликовал доказательство.