Поразительные квадраты

Основная идея здесь может быть выражена в совершенно общем виде с использованием алгебры, но я обойдусь без формальностей и проиллюстрирую ее примером. Взгляните на процесс в обратном порядке: начинаем

с 9? + 5? + 4? = 8? + 3? + 7?

и расширяем до

89? + 45? + 64? = 68? + 43? + 87?.

Первое равенство несложно проверить, с этого все и начинается, но почему второе уравнение тоже верно?

Реальная величина двузначного числа [ab] составляет 10a + b. Поэтому левую часть уравнения можно записать как

(10 ? 8 + 9)? + (10 ? 4 + 5)? + (10 ? 6 + 4)?,

что равняется

100 (8? + 4? + 6?) + 20 (8 ? 9 + 4 ? 5 + 6 ? 4) + 9? + 5? + 4?.

Аналогично правая часть уравнения превращается в

100 (6? + 4? + 8?) + 20 (6 ? 8 + 4 ? 3 + 8 ? 7) + 8? + 3? + 7?.

Сравнивая эти выражения, обнаруживаем, что первые слагаемые в них равны, потому что 6? + 4? + 8? (это то же, что 8? + 4? + 6?, только в другом порядке); третьи слагаемые равны, потому что мы, собственно, с этого начали. Поэтому нам достаточно посмотреть, равны ли в этих выражениях вторые слагаемые, то есть действительно ли

8 ? 9 + 4 ? 5 + 6 ? 4 = 6 ? 8 + 4 ? 3 + 8 ? 7.

Если посчитать, то и другое равно 116.

Все вышесказанное сработало бы нисколько не хуже, если бы мы вместо 8, 4 и 6 использовали любые другие три однозначных числа. Так что нам, чтобы сделать конечные выражения верными, нужно просто выбрать эти числа.

Дальнейшие этапы можно объяснить аналогично.