§ 18. Имеет ли фигура нужную форму?

Приходилось ли вам вырезать из бумаги, материи или фанеры какие-либо геометрические фигуры? Если да, то после каждого такого вырезания вы, наверняка, испытывали желание проверить, получилась ли фигура такой, какая вам нужна. Подобные вопросы часто возникают при работе столяра, строителя, портного, чертежника и т. д. В настоящем параграфе вы познакомитесь с некоторыми практическими способами проверки свойств плоских или пространственных фигур.

Какие требования мы предъявляем к самой проверке? Прежде всего - однозначность, т. е. возможность по результатам проверки с полной определенностью ответить на вопрос, удовлетворяет или не удовлетворяет данная фигура желаемому свойству. Например, чтобы проверить, является ли данный четырехугольник, вырезанный из фанеры, равнобедренной трапецией, не достаточно установить одно лишь равенство двух его противоположных сторон, хотя оно и имеет место для любой равнобедренной трапеции.

Второе требование к проверке - это ее экономность, т. е. использование минимума инструментов или минимума операций. В рассмотренном выше примере, скажем, нам для проверки остается установить только параллельность двух других, неравных сторон четырехугольника, что можно сделать, как сравнив по величине определенные углы, так и сравнив по длине диагонали. Последний путь нам представляется более экономным, поскольку он не требует дополнительных инструментов кроме уже использованных при сравнении двух сторон (для проверки равенства отрезков можно использовать линейку или кронциркуль, представляющий собой циркуль с иглами на обоих концах). Для решения задач настоящего параграфа вам понадобится привлечь разнообразные сведения из геометрии. В связи с этим напомним наиболее важные, на наш взгляд, определения, используемые ниже:

а) трапеция - это четырехугольник, у которого две противоположные стороны параллельны, а две другие непараллельны;

б) параллелограмм - это четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны;

в) ромб - это четырехугольник, у которого все стороны равны;

г) прямоугольник - это четырехугольник, у которого все углы прямые;

д) квадрат - это прямоугольник, являющийся ромбом.

Кроме того, советуем вам припомнить свойства таких основных понятий, как точка, прямая и плоскость.

18.1. Правильность односторонней линейки Прежде чем пользоваться линейкой для проведения прямых линий, вы хотите убедиться в том, что линейка имеет ровный край. Для этого вы проводите по линейке некоторый отрезок АВ, а затем поворачиваете линейку по плоскости бумаги на 180° и проводите отрезок А В по тому же краю линейки еще раз (рис. 107).

Рис. 107

Какой вывод можно сделать, если два проведенных отрезка АВ не совпадут? А если совпадут?

18.2. Исправление предыдущего способа Как исправить описанный в задаче 18.1 способ проверки правильности односторонней линейки, чтобы он позволял однозначно определять, является ли ее край ровным?

18.3. Правильность двусторонней линейки Прежде чем пользоваться линейкой с ровными краями для проведения параллельных линий, вы хотите убедиться в том, что линейка имеет параллельные края. Для этого вы отмечаете две точки А, В и, приставив к ним один край линейки, проводите по другому краю отрезок CD (рис. 108).

Рис. 108

Как нужно повернуть линейку, чтобы после выполнения описанных операций еще раз совпадение двух проведенных отрезков CD означало, что края линейки параллельны, а несовпадение - наоборот.

18.4. Правильность угольника Прежде чем пользоваться угольником с ровными краями для проведения перпендикуляров, вы хотите убедиться в том, что ваш угольник имеет прямой угол. Как это сделать?

18.5. Что за треугольник? Кусок материи имеет форму треугольника. Как, перегибая материю, установить, является ли этот треугольник равносторонним или хотя бы равнобедренным?

18.6. "Проверка квадратности" Четырехугольный кусок материи перегнули по одной диагонали и убедились в точном совмещении двух образовавшихся в результате треугольников (рис. 109). Затем материю развернули, перегнули по другой диагонали и снова убедились в совмещении треугольников.

Рис. 109

Можно ли гарантировать, что этот кусок материи имеет форму квадрата?

18.7. Еще одна "проверка квадратности" Четырехугольный кусок материи перегнули так, что две его противоположные стороны точно совместились (рис. 110). Затем материю развернули и перегнули так, что две другие противоположные стороны точно совместились.

Рис. 110

Можно ли гарантировать, что этот кусок материи имеет форму квадрата?

18.8. Перегибания квадрата Какое наименьшее количество раз необходимо перегнуть четырехугольный кусок материи, чтобы убедиться в том, что он имеет форму квадрата?

18.9. Перегибания круга Кусок материи перегнули по некоторой линии и убедились в точном совмещении двух образовавшихся в результате частей. Затем материю развернули, перегнули по некоторой другой линии и снова убедились в совмещении частей и т. д. Можно ли после нескольких таких проверок гарантировать, что этот кусок материи имеет форму круга?

18.10. Параллельность прямых Можно ли с помощью перегибаний куска материи убедиться в том, что два края этого куска параллельны? Как установить, имеет ли данный кусок материи форму трапеции или параллелограмма?

18.11. Перпендикулярность прямых Кусок материи имеет форму треугольника. Как, перегибая материю, установить, является ли этот треугольник прямоугольным, остроугольным или тупоугольным?

18.12. Вертикальность шеста На недоступном для вас возвышении установлен длинный шест. Как с помощью отвеса проверить его вертикальность?

18.13. Вогнутость и выпуклость поверхности Для того чтобы проверить, нет ли на гладкой поверхности стола каких-либо вогнутостей, можно натянуть руками обыкновенную нитку и, прижимая пальцами ее концы к разным точкам стола, установить, нет ли просвета между ниткой и поверхностью (рис. 111).

Рис. 111

На чем основана эта проверка? Годится ли она для отыскания на гладкой поверхности стола каких-либо выпуклостей?

18.14. Перпендикулярность плоскостей Вы хотите проверить, перпендикулярны ли друг другу соседние стены в вашей комнате. Как воспользоваться для этого теоремой Пифагора?

18.15. Параллельность плоскостей Вы хотите проверить, параллельны ли друг другу стены коридора. Нельзя ли это сделать с помощью измерительной ленты или просто достаточно длинной палки?

18.16. Признаки трапеции Какие из следующих действий имеет смысл выполнить, чтобы однозначно установить параллельность двух данных противоположных сторон четырехугольника:

а) соединить отрезком середины двух данных сторон и убедиться в том, что этот отрезок проходит через точку пересечения диагоналей четырехугольника;

б) проверить, что полусумма двух данных сторон равна расстоянию между серединами двух других сторон четырехугольника?

Используя ответ на предыдущий вопрос задачи, придумайте способ проверки того, что данный четырехугольник является трапецией.

18.17. Признаки параллелограмма Какие из следующих свойств четырехугольника выполнены в том и только в том случае, если этот четырехугольник является параллелограммом:

а) противоположные стороны четырехугольника попарно равны;

б) две противоположные стороны четырехугольника равны, а две другие его стороны параллельны;

в) каждая из диагоналей четырехугольника делится точкой их пересечения пополам?

18.18. Ромб ли это? На плоскости даны четыре точки А, В, С, D, про которые известно только, что AB = BC = CD = DA. Можно ли утверждать, что точки А, В, С, D являются вершинами некоторого ромба?

18.19. Признаки прямоугольника Достаточно ли для проверки того, что все углы данного четырехугольника являются прямыми, установить одно из следующих свойств:

а) равенство двух противоположных сторон четырехугольника и равенство его диагоналей;

б) попарное равенство противоположных сторон и равенство его диагоналей;

в) равенство всех четырех отрезков, на которые разбиваются диагонали четырехугольника точкой их пересечения?

18.20. Признаки квадрата Какие из следующих свойств четырехугольника выполнены в том и только в том случае, если этот четырехугольник является квадратом:

а) равенство всех четырех сторон четырехугольника;

б) равенство всех четырех сторон четырехугольника и равенство его диагоналей;

в) равенство трех сторон четырехугольника и равенство его диагоналей?

18.21. Правильность равностороннего многоугольника Пусть все стороны многоугольника равны между собой. Будет ли он обязательно правильным, если выполнено одно из следующих условий:

а) около этого многоугольника можно описать окружность;

б) в этот многоугольник можно вписать окружность?

18.22. По одним лишь диагоналям Верно ли, что если в пятиугольнике равны все пять диагоналей, то он является правильным?

18.23. Правильность пятиугольника Пусть все стороны выпуклого пятиугольника равны между собой. Устанавливая равенство каких-то из его диагоналей, вы хотите убедиться в том, что этот пятиугольник является правильным.

Какое наименьшее число диагоналей вам нужно проверить?

18.24. О правильности и неправильности Докажите, что если в выпуклом шестиугольнике равны все стороны, а все три его главные диагонали (т. е. такие, которые разбивают его на два четырехугольника) пересекаются в одной точке, то этот шестиугольник может и не быть правильным. Будет ли он правильным, если добавить одно из следующих условий:

а) каждая из главных диагоналей делится точкой их пересечения пополам;

б) все шесть отрезков, на которые разбиваются главные диагонали точкой их пересечения, равны между собой;

в) все три главные диагонали равны между собой, а все его неглавные диагонали разбиваются на тройки равных диагоналей, образующих треугольники?

18.25. Правильность шестиугольника Пусть все стороны выпуклого шестиугольника равны между собой. Устанавливая равенство каких-то из его диагоналей, вы хотите убедиться в том, что этот шестиугольник является правильным.

Какое наименьшее число диагоналей нужно проверить?