§ 15. Правильные многоугольники

Правильные многоугольники уже в глубокой древности считались символом красоты и совершенства. Это и понятно: ведь из всех многоугольников с заданным числом сторон наиболее приятен для глаза правильный многоугольник, у которого равны все стороны и равны все углы.

Практическая задача построения таких многоугольников с помощью циркуля и линейки имеет давнюю историю. Евклид в своем труде по геометрии приводит способы построения правильных треугольника, четырехугольника (квадрата), пятиугольника и пятнадцатиугольника, а также всех многоугольников, которые получаются из них удвоением числа сторон (не обязательно однократным). Следовательно, древние греки могли строить правильные многоугольники с числом сторон, равным

3, 4, 5, 6, 8, 10, 12, 15, 16, ... Долгое время математиков особенно занимал вопрос о построении правильного семиугольника. Лишь в 1796 г. К. Ф. Гаусc доказал принципиальную невозможность этого построения с помощью только циркуля и линейки. Более того, им было доказано, что среди правильных многоугольников с нечетным числом сторон построить можно только такие, для которых число сторон является либо простым числом вида 2^2m + 1, m = 0, 1, 2, ... (которых в настоящее время известно всего пять: 3, 5, 17, 257 и 65 537), либо произведением нескольких таких различных чисел. Таким образом, начатый выше список нельзя дополнить числами 7, 9, 11, 13, 14, а можно лишь продолжить следующим образом:

17, 20, 24, 30, 32, 34, 40, 48, 51, 60, 64, 68, 80, 85, 96, ... (заметим, что правильные многоугольники со слишком большим числом сторон по внешнему виду мало отличаются от обыкновенной окружности).

В настоящем параграфе мы предлагаем вам самим поискать способы построения правильных многоугольников, вписанных в данную окружность или имеющих заданную сторону. Не менее важное практическое значение имеют методы приближенного построения в тех случаях, когда точное построение циркулем и линейкой неосуществимо.

15.1. Вписанный n-угольник Докажите, что для построения правильного n-угольника, вписанного в данную окружность, достаточно разделить эту окружность на n равных частей и полученные точки деления последовательно соединить кордами. Как можно приближенно разделить окружность на заданное число равных дуг?

15.2. Сокращение числа сторон Дан правильный многоугольник, число сторон которого представляет собой произведение натуральных чисел k и m, где m>2. Как построить правильный m-угольник?

15.3. Удвоение числа сторон В окружность вписан правильный многоугольник. Постройте правильный многоугольник, у которого число сторон вдвое больше, чем у исходного.

15.4. Заданный треугольник Постройте правильный треугольник со стороной, равной заданному отрезку.

15.5. Вписанный шестиугольник Впишите в данную окружность правильный шестиугольник.

15.6. Заданный шестиугольник Постройте правильный шестиугольник, со стороной, равной заданному отрезку.

15.7. Вписанный треугольник Впишите в данную окружность правильный треугольник.

15.8. Заданный квадрат Постройте квадрат со стороной, равной заданному отрезку.

15.9. Вписанный квадрат Впишите в данную окружность квадрат.

15.10. Вписанный восьмиугольник Впишите в данную окружность правильный восьмиугольник.

15.11. Вписанный двенадцатиугольник Впишите в данную окружность правильный двенадцатиугольник.

15.12. Вписанный шестнадцатиугольник Впишите в данную окружность правильный шестнадцатиугольник.

15.13. Заданный восьмиугольник Постройте правильный восьмиугольник со стороной, равной заданному отрезку.

15.14. Заданный двенадцатиугольник Постройте правильный двенадцатиугольник со стороной, равной заданному отрезку.

15.15. Заданный шестнадцатиугольник Постройте правильный шестнадцатиугольник со стороной, равной заданному отрезку.

15.16. "Золотое сечение" Разделите отрезок на такие две неравные части, чтобы квадрат большей из них был равен произведению длины всего отрезка и меньшей его части.

15.17. Десятиугольник Докажите, что сторона правильного вписанного в окружность десятиугольника равна большей части "золотого сечения";радиуса этой окружности. Впишите в данную окружность правильный десятиугольник.

5.18. Вписанный пятиугольник Впишите в данную окружность правильный пятиугольник^

5.19. Звезда Как построить пятиконечную звезду?

5.20. Пятнадцатиугольник Впишите в данную окружность правильный пятнадцатиугольник.

5.21. Заданный пятиугольник Постройте правильный пятиугольник со стороной, равной заданному отрезку.

15.22. Приближенное построение семиугольника Нарисуем окружность и впишем в нее правильный треугольник. Затем, начиная от одной его вершины, последовательно сделаем на окружности шесть засечек раствором циркуля, равным половине стороны треугольника, и построим семиугольник с вершинами в полученных шести точках и в исходной точке.

Насколько точен предложенный способ построения правильного семиугольника?

15.23. Приближенное построение девятиугольника Проведем окружность большого радиуса G центром в точке О (рис. 47), которую разделим на шесть равных частей точками А₁, А₂, А₃, А₄, А₅, А₆. С центрами в точках А₂, А₄ и А₆ проведем дуги окружностей того же радиуса, образующие фигуру из трех "лепестков". Радиус А₁О разделим на три части и через ближайшую к точке О точку деления проведем прямую, перпендикулярную этому радиусу. Отрезок ее ВС, содержащийся внутри лепестка, примем за сторону десятиугольника, вписанного в окружность радиуса ОВ.

Рис. 47

Насколько точен предложенный способ построения правильного девятиугольника?

15.24. Приближенное построение n-угольника На диаметре АВ данной окружности как на стороне построим правильный треугольник АСВ (рис. 48). Возьмем на отрезке АВ точку D так, чтобы выполнялось равенство

Рис. 48

Продолжим отрезок CD до пересечения его о окружностью в точке Е. Хорду АЕ примем за сторону n-угольника, вписанного в данную окружность.

Насколько точен предложенный способ построения правильного n-угольника?