Глава 6 Музыка сфер
Глава 6 Музыка сфер
За алгебру, этот дворец совершенных кристаллов,
[...]
За музыку, таинственную форму времени.
Хорхе Луис Борхес, «Другая поэма о дарах»
ЛЕВИ-СТРОСС: В первом томе моих «Мифологии» я писал, что музыка — «величайшая загадка всех человеческих наук». Сможете ли вы объяснить музыку при помощи теории групп?
ВЕЙЛЬ: Позвольте рассказать вам одну историю. Много лет назад мы с женой отправились на концерт. Во время концерта один из слушателей внезапно скончался от инфаркта. Музыканты остановились, дождались прибытия врачей, после чего концерт продолжился. В нашей ложе наблюдалось всеобщее оживление; люди не переставали шептаться. Я попросил их замолчать, но мои слова показались им воплощением абсолютной жестокости. «Боже правый, разве вы не видели, что произошло? Человек умер!» Мои соседи словно бы соревновались в том, кто сможет сильнее пристыдить меня. Я ответил им: «Есть способы умереть и похуже, чем под музыку Моцарта». Именно так хотел бы умереть и я. Представляете себе, какое это удовольствие — скончаться под звуки музыки, которая кажется непостижимой и лишь на несколько мгновений становится осязаемой? Ни теория групп, ни любая другая научная теория искусства никогда не смогут объяснить, почему кто-то может столь сильно любить музыку. Впрочем, эти теории позволяют прояснить некоторые формальные характеристики музыки, которые и делают ее прекрасной.
ЛЕВИ-СТРОСС: Математика — самая абстрактная из наук, подобно тому как музыка — самое абстрактное из искусств.
ВЕЙЛЬ: Вы уже знаете, что связь между математикой и музыкой почти столь же древняя, как и сама философия. По легенде, однажды Пифагор проходил мимо мастера, который выковывал жаровню, как вдруг его внимание привлекли гармоничные звуки ударов молота по раскаленному металлу. Измерив размеры инструментов, Пифагор понял, что звуки ударов двух молотов были созвучны лишь тогда, когда соотношение их длин выражалось малыми натуральными числами.
107
Если, к примеру, один молот был вдвое длиннее другого (2:1), то его звук был на октаву выше. Если же соотношение длин равнялось 3:2, то звуки различались на квинту.
В общем случае приятными на слух были все звуки, которым соответствовало соотношение вида (n + 1:n). Вернувшись домой, Пифагор продолжил опыты и убедился, что ключ к красоте музыки — в гармоничных соотношениях.
ЛЕВИ-СТРОСС: А красота есть истина. Именно тогда Пифагор начал постепенно склоняться к тому, что «все сущее есть число». Если к доказательству того, что музыка есть число, прибавить идею о Вселенной, состоящей из сфер, которые вращаются вокруг солнца под звуки божественной музыки, то станет очевидно: равновесие космоса описывается немногими математическими законами.
ВЕЙЛЬ: Этот идеальный порядок был разрушен с открытием иррациональных чисел. Гиппас из Метапонта обнаружил, что не все величины можно представить в виде отношения натуральных чисел, за что, по всей видимости, и был убит друзьями-пифагорейцами. Помню, как моя сестра Симона в ответ на длиннейшее письмо, которое я написал ей из Руанской тюрьмы в марте 1940 года (должно быть, оно немало взволновало ее), призналась, что эта история всегда казалась ей какой-то глупостью. По ее мнению, все произошло с точностью до наоборот: открыв, что квадратные корни, по сути абстракцию, можно использовать при измерении длин, Пифагор воскликнул: «Все сущее есть число!»
ЛЕВИ-СТРОСС: Это объясняет, почему люди на протяжении многих поколений не просто не утратили веры в музыку сфер, несмотря на открытие иррациональных чисел, но и сделали ее одной из основ западной мысли. Если бы влияние этой идеи не было бы столь сильным, Кеплер не привел бы столько оговорок и примечаний к своему закону, согласно которому планеты движутся вокруг Солнца не по круговым, а по эллиптическим орбитам. Как может Бог выбрать из двух возможных траекторий небесных тел менее гармоничную?
ВЕЙЛЬ: Прекраснее всего то, что даже сам Кеплер, который в некотором роде «заставил небеса замолчать», не был согласен с результатами своих трудов. Изложив их в книге «Новая астрономия» (1609), он продолжил работать над теорией о музыке сфер, на этот раз связав ее с Платоновыми телами.
Эта теория была опубликована спустя 10 лет в его книге «Гармония мира», полной эзотерических глупостей. На основе этой книги Пауль Хиндемит три века спустя создал одну из своих опер. Кеплера оправдывают разве что тяготы, которые пришлись на его долю: за короткое время умерли его сестра и единственный покровитель при дворе, сам он был отлучен от церкви, а все жители Леонберга начали преследование его матери, обвиненной в колдовстве.
ЛЕВИ-СТРОСС: Тогда давайте не будем следовать по его пути. Любой серьезный разговор о гармонии следует начинать с физики. Нельзя игнорировать тот факт, что музыка достигает наших ушей в виде волн, которые передаются по воздуху от источника колебаний. Как вам известно, частотой колебаний называется количество повторений событий (процессов) в единицу времени. Частота обычно измеряется в герцах (Гц) в честь немецкого физика Генриха Рудольфа Герца (1857—1894).
Чем выше частота звука, тем выше он кажется. Нотами до, ре, ми, фа, соль, ля и си обозначаются звуки определенных частот. К примеру, ноте ля соответствует звуковая волна частотой 440 Гц.
ВЕЙЛЬ: Да вы знаете о физике больше меня! Я хотел бы добавить, что ноты выбраны условно, что четко отражено в истории музыки. Нота ля в органе Баха имела частоту в 480 Гц, а Гендель примерно в 1740 году принимал ее частоту равной 422 Гц. В ту эпоху исполнители соревновались между собой, увеличивая частоты все больше и больше, чтоб звук казался звенящим. Наибольшие убытки от этой гонки несли скрипачи, которым ежедневно приходилось менять порванные струны, и, разумеется, певцы, постоянно испытывавшие проблемы с голосом. Если мне не изменяет память, именно жалобы певцов заставили французские власти закрепить стандартную частоту законодательно. Такой же указ приняли англичане, но — этого только не хватало! — указали другую частоту. Лишь в 1939 году на международной конференции была установлена привычная нам частота в 440 Гц. Кто знает, на какой частоте звучала музыка нашей юности, господин Леви-Стросс. Ранее предпринимались попытки установить частоту ноты ля равной 439 Гц, но... 439 — простое число, что стало причиной немалых затруднений[9].
109
ЛЕВИ-СТРОСС: Вы понимаете, что мы вновь и вновь возвращаемся к одной и той же идее? Важна не частота отдельной ноты, а ее соотношение с другими частотами. Если мы умножим частоты всех нот в партитуре на одно и то же число, то попрежнему сможем узнать мелодию: она будет звучать выше или ниже в зависимости от того, будет ли выбранный множитель больше или меньше единицы. Поэтому очень важно понять соотношение между частотами нот звукоряда. Позвольте напомнить, что помимо до, ре, ми, фа, соль, ля и си существует еще пять нот. Представьте, что вам нужно настроить пианино. Как вам известно, белым клавишам пианино соответствуют ноты до, ре, ми, фа, соль, ля и си, о которых я говорил. Кроме того, между белыми клавишами располагаются черные клавиши меньшего размера, которым соответствуют альтерированные ноты. При их описании используются диезы (#) и бемоли (b). Если мы добавим диез к одной из семи «белых» нот, то получим ноту, соответствующую клавише, которая расположена справа. Диезы позволяют переходить от белых клавиш к черным за исключением двух случаев: ми-диез и си-диез соответствуют не новым нотам, а уже известным нотам фа и до, так как в обоих случаях рядом с соответствующей клавишей будет располагаться не черная, а белая клавиша. Бемоли имеют противоположное значение: если мы добавим бемоль к «белой» ноте, то перейдем на одну клавишу влево. К примеру, ноты ре-бемоль и до-диез совпадают, а фа-бемоль — это нота ми, так как ближайшая к ноте фа клавиша слева вновь будет белой. Диезы или бемоли используются в зависимости от ситуации.
Клавиатура пианино.
Следовательно, настройка пианино заключается в сопоставлении всем этим нотам определенных частот. Как и в примере с нотой ля, в разные годы использовались разные модели. К примеру, пифагорейцы определяли музыкальный строй как последовательность квинт. Мы говорим, что нота отстоит от другой на одну квинту, если интервал между ними охватывает восемь клавиш пианино.
110
Так, соль отстоит на одну квинту от до, так как между ними находятся клавиши до — до-диез — ре — ре-диез — ми — фа — фа-диез — соль. Аналогично, на одну квинту от соль отстоит нота ре. Название «квинта» указывает, что если мы смещаемся на восемь клавиш вправо, начиная с белой клавиши, то почти всегда отсчитываем пять белых клавиш, то есть пять нот. Но обратите внимание, что если мы начнем с ноты си, то получим фа-диез, которой соответствует черная клавиша. Это единственное исключение.
С помощью цепочки квинт можно определить все двенадцать нот музыкального строя.
ВЕЙЛЬ: Как я уже объяснял, господин Леви-Стросс, в пифагорейском строе ноты отстоят друг от друга на одну квинту, если их частоты относятся как 3 к 2. Для простоты предположим, что ноте до соответствует частота в 1 Гц. Так как соль отстоит на одну квинту от до, ее частота будет равна 1,5 Гц. Чтобы определить частоту ре, нужно будет вновь умножить частоту на 1,5. Получим 2,25 Гц — это означает, что нота ре выше, чем соль. На самом деле мы определили частоту верно, но для ноты другой октавы. Это частота ноты ре, которую мы получим, если продолжим последовательность соль-ля-си-до-ре. Необходимо понизить эту ноту на одну октаву, то есть разделить соответствующую частоту на 2. Следовательно, частота ноты ре равна 1,125 Гц. Аналогично можно вычислить частоты нот:
до ? соль ? ре ? ля ? ми ? си ? фа-диез.
Мы можем не только «подняться», но и «опуститься» на одну квинту, разделив частоту ноты на 1,5 Гц. Так как интервал между фа и до охватывает восемь клавиш, фа ниже до на одну квинту. Разделив ее частоту на 1,5 Гц и умножив на 2, чтобы скомпенсировать октаву, получим частоту в 1,333... Гц. Аналогично можно найти все остальные частоты:
соль-бемоль ? ре-бемоль ? ля-бемоль ? ми-бемоль ? си-бемоль ? фа ? до.
Чтобы определить современные частоты этих нот, достаточно вычислить коэффициент, при котором нота ля имеет частоту в 440 Гц, и умножить на него все остальные частоты. При использовании пифагорейского строя возникает одна проблема: обратите внимание, что мы вычислили частоты нот фа-диез и соль-бемоль, но на самом деле это одна и та же нота!
Следовательно, для точной настройки пианино с помощью пифагорейского строя эти две частоты должны совпадать. Нетрудно видеть, что это не так: если мы не будем учитывать смену октавы, то получим, что частота фа-диез определяется умножением на 1,5 шесть раз, а частота соль-бемоль — делением на эту же величину такое же число раз. Чтобы настройка была точной, частоты (3/2)6 Гц и (2/3)6 Гц должны быть разделены определенным числом октав.
111
Иными словами, отношение чисел (3/2)6 и (2/3)6 должно быть степенью двойки. Но это невозможно, так как 2 и 3 взаимно простые.
ЛЕВИ-СТРОСС: И поэтому появился равномерно темперированный строй?
ВЕЙЛЬ: Конечно, до него использовались и другие, но равномерно темперированный строй оказался наиболее успешным. Пианино настроено по равномерно темперированному строю, если отношение частот звуков, соответствующих двум соседним клавишам (вне зависимости от цвета), всегда одинаково.
Для математика это означает, что если мы обозначим последовательные частоты всех нот, начиная с любой ноты, к примеру до, до-диез, ре и так далее, через f1, f2, f3... то отношение f2 к f1 будет равно отношению f3 к f2, которое, в свою очередь, будет равняться отношению f4 к f3 и так далее. Если мы остановимся, к примеру, на f13, то получим следующие равенства:
f2 / f1 = f3 / f2 = ... = f13 / f12
ЛЕВИ-СТРОСС: Но если мы отсчитаем тринадцать клавиш, начиная с любой ноты, то вновь получим исходную ноту, но на октаву выше.
Октава на клавиатуре пианино.
ВЕЙЛЬ: Интервалу в одну октаву соответствует удвоение частоты, следовательно, отношение f13 к f1 равно 2. Обратите внимание, что мы также можем записать
112
отношение f13 к f1 через все промежуточные частоты так, что частоты, записанные в знаменателе и числителе, последовательно сократятся:
f13 / f1 = f13 / f12 · f12 / f11 · ... · f3 / f2 · f2 / f1
В равномерно темперированном строе все множители в приведенном выше произведении равны одной и той же величине (обозначим ее через d). Следовательно, отношение f13 к f1 равно 2, а также равно числу d, умноженному само на себя 12 раз.
Таким образом, получим уравнение d12 = 2. С помощью этого уравнения для любой данной частоты мы всегда можем вычислить частоту следующей ноты, умножив ее на корень 12-й степени из 2, который равен примерно 1,05946. К примеру, если частота ноты ля, как мы уже говорили, равна 440 Гц, то частота ноты си (на две клавиши «выше») будет равна примерно 494 Гц, а частота ноты соль (на две клавиши «ниже») — около 392 Гц.
до - 261,63
до-диез - 277,18
ре - 293,66
ре-диез - 311,13
ми - 329,63
фа - 349,23
фа-диез - 369,99
соль - 392
соль-диез - 415,30
ля - 440
ля-диез - 466,16
си - 493,88
Таблица частот для основных нот пианино.
ЛЕВИ-СТРОСС: Получается, частота ноты ля в 440 Гц выбрана по договоренности, а частоты всех остальных нот определяются однозначно.
ВЕЙЛЬ: Да, но при условии, что октава делится на 12 нот так, что соотношение между частотами соседних нот всегда будет неизменным. Таковы основные предпосылки равномерно темперированного строя. Впрочем, инструменты в оркестрах не всегда настраиваются точно так, как мы объяснили. Кроме того, музыкальный строй в современной музыке серьезно отличается, не говоря уже о музыке других культур, где используются совершенно иные системы. В индийской музыке, к примеру, равномерно темперированного строя нет.
ЛЕВИ-СТРОСС: Мне стыдно признаться, но я почти не интересовался так называемой этнографической музыкой. В моих экспедициях в Бразилии мне довелось услышать несколько удивительных мелодий, сегодня забытых.
113
Мне помнится, что в звуках флейт индейцев намбиквара я различил мелодию «Действа старцев — человечьих праотцов» из «Весны священной» Стравинского. В поездке я потратил много сил на то, чтобы как можно точнее записать услышанную музыку, насколько мне позволяли знания. По возвращении во Францию мой знакомый пианист помог мне улучшить партитуры и исполнил их. Так я смог выбрать те мелодии, что точнее всего осели в моей памяти. Знаете, что произошло потом? Редактор, ответственный за публикацию партитур, забыл их в такси. Возможно, именно из-за этого случая я вновь всерьез принялся за изучение музыки лишь 30 лет спустя, хотя редкие дни моей жизни не сопровождались произведениями Равеля, Дебюсси или Шопена.
Один из их этюдов особенно помог мне избавиться от тоски, охватившей меня в джунглях. Музыка стала путеводной нитью моих «Мифологик». Сперва я думал, что музыка поможет организовать сложный материал со множеством вариаций одной и той же темы. Все мы поступаем так же — даже вы, господин Вейль, в своих записках не обошли музыку стороной. Последняя глава — это балет-буфф с прелюдией, фугой и интермеццо. Впрочем, я вскоре обнаружил еще одну, более глубокую причину: когда просветительскую функцию древних мифов взяли на себя романы, музыка пришла на смену агонизирующей мифологии. Должно быть, именно эта мысль сыграла ключевую роль в создании тетралогии «Кольцо Нибелунгов» Вагнера.
ВЕЙЛЬ: Вернемся к теме нашего разговора. Позвольте напомнить: только что вы сами сказали, что если мы отсчитаем 13 клавиш от данной ноты, то получим прежнюю ноту, но на октаву выше. Октава делится на 12 частей. Благодаря этому принципу теория групп может сыграть интересную роль в изучении музыкальной гармонии. На самом деле мы используем одну и ту же ноту, например ля, для обозначения разных звуков, отстоящих друг от друга на одну октаву.
Не будем далеко ходить за примером — на клавиатуре пианино восемь разных ля, и, по сути, мы могли бы сдвигать их на одну октаву выше и ниже до бесконечности, если бы человеческие уши различали неограниченный диапазон частот. Согласно приведенным выше вычислениям, будем называть нотой ля все ноты с частотой 33, 110, 220, 440, 880, 1760 Гц и так далее. Эта ситуация вовсе не нова — вспомните, когда я рассказывал о группе часов, то объяснил, что при взгляде на циферблат мы никак не можем различить шесть утра, шесть вечера, шесть утра следующего дня и шесть вечера предыдущего дня. Одна октава вверх — двенадцать часов вперед. Одна октава вниз — двенадцать часов назад. Нет никакой разницы! Поэтому очень удобно представить клавиатуру пианино в виде так называемого додекафонического круга.
114
ЛЕВИ-СТРОСС: Интервал, отделяющий каждую ноту круга от соседней, называется полутоном. Как и следовало ожидать, два полутона образуют тон, а три полутона — так называемую малую терцию. Более того, в классической музыке свое название имеет каждый интервал.
3 - Малая терция
4 - Большая терция
5 - Чистая кварта
6 - Тритон
7 - Чистая квинта
8 - Малая секста
9 - Большая секста
10 - Малая септима
11 - Большая септима
12 - Чистая октава
Обратите внимание, что квинта состоит из семи полутонов, а им соответствуют ровно восемь клавиш пианино, которые мы отсчитывали от данной ноты.
ВЕЙЛЬ: Как вам известно, транспонирование мелодии заключается в прибавлении (или вычитании) фиксированного числа полутонов к каждой ноте. Допустим, что по какой-то причине нам нужно повысить на одну квинту три ноты, которые повторяются в первых тактах «Лунной сонаты» Бетховена.
Первые ноты «Лунной сонаты« Бетховена.
115
Это ноты соль-диез, до-диез и ми. Прибавив к ним семь полутонов, получим ре-диез, соль-диез и си. Произвести нужные расчеты на пальцах несложно, но представьте, что вам нужно транспонировать всю сонату целиком! Здесь крайне полезной окажется модель, основанная на теории групп. Чтобы транспонировать всю сонату, достаточно повернуть додекафонический круг на семь полутонов против часовой стрелки. Что скажете?
Транспонирование на одну квинту.
Записав внутри круга исходные ноты, мы получим искомое соответствие, которое поможет нам транспонировать мелодию без особого труда. Посмотрите, как просто транспонировать этим способом прекрасный лейтмотив «Паваны» Габриэля Форе:
Применив новый метод, мы в мгновение ока преобразуем исходную последовательность нот
фа-диез — соль-диез — ля — си — ля — соль-диез — ля — фа-диез — соль-диез — ля — соль-диез — фа-диез — соль-диез — ми — фа-диез — фа — до-диез
в последовательность
116
до-диез — ре-диез — ми — фа-диез — ми — ре-диез — ми — до-диез — ре-диез — ми — ре-диез — до-диез — ре-диез — си — до-диез — до — соль-диез.
ЛЕВИ-СТРОСС: Впечатляюще, господин Вейль! Однако мне не дает покоя один вопрос. Сначала мы сказали, что восприятие мелодии не изменится, если мы умножим частоты всех нот на некий общий множитель, а теперь мы прибавляем к нотам полутона. Быть может, эти две операции совпадают?
ВЕЙЛЬ: Прекрасный вопрос. Действительно, в начале разговора мы указали, что отношение частот двух последовательных нот неизменно. Именно благодаря этому мы смогли записать таблицу частот начиная с ноты ля. Обратите внимание, что разность двух последовательных частот вовсе не постоянна. Разница частот нот до и до-диез равна 277,18 — 261,63 = 13,55 Гц, а разница между частотами нот ля-диез и си равна 493,88 — 466,16 = 27,72 Гц — почти в два раза больше! Чтобы преобразовать произведения в суммы, а отношения — в разности, нужно использовать логарифмы. По всей видимости, первым важность логарифмов в музыкальных расчетах понял Исаак Ньютон. Позвольте мне вкратце напомнить вам, что такое логарифм — возможно, в последний раз вам объясняли это почти сто лет назад.
Для двух положительных чисел а и b логарифмом а по основанию b (обозначается logb(a)) называется степень, в которую нужно возвести b, чтобы получить а.
Иными словами, с — логарифм а по основанию b, если числа а, b и с удовлетворяют соотношению bc = а. К примеру, известно, что log2(4) = 2, log2(8) = 3, так как 22 = 4, а 23 = 8. Вычислить логарифмы не всегда так легко. Нужно понимать, что логарифм преобразует частное в разность:
logb(x/y) = logb(x) - logb(y)
Продолжим рассматривать наш пример. Если основание логарифма равно b = 2, х = 8 и у = 4, то их частное равнялось бы 2, следовательно, левая часть выражения была бы равна log2(2) = 1. С другой стороны, мы уже знаем, что log2(8) = 3, log2(4) = 2.
В этом случае формула вновь оказывается верной, так как 1 = 3 — 2. Эту формулу можно доказать в общем виде, применив основные свойства степеней. Попробуйте сами!
Мы знаем, что отношения частот последовательных нот совпадают, следовательно, логарифмы этих отношений также будут равны:
117
logb(f2/f1) = logb(f3/f4) = ... = logb(f13/f12)
С учетом приведенной выше формулы получим
logb(f2) - logb(f1) = logb(f3) - logb(f2) = ... = logb(f13) - logb(f12)
Это соотношение выполняется для любого положительного b. Выберем особое значение d, равное корню 12-й степени из 2, которое удовлетворяет уравнению d12 = 2
Совсем недавно я объяснил, что любое отношение частот последовательных нот равно d, поэтому если мы рассмотрим логарифмы по основанию d, то получим:
logd(f2/f1) = logd(f3/f4) = ... = logd(f13/f12) = logd(d) = 1
так как показатель степени, в которую нужно возвести d, чтобы получить d, равен единице. Таким образом, мы можем преобразовать логарифм частного в разность логарифмов и получить следующее равенство:
logd(f2) - logd(f1) = logd(f3) - logd(f2) = ... = logd(f13) - logd(f12) = 1
ЛЕВИ-СТРОСС: Что это означает? Я запутался!
ВЕЙЛЬ: Ах да, я и забыл, что это вы попросили у меня объяснений... Эти вычисления иллюстрируют следующую мысль: если мы рассмотрим не частоты f1, f2 ..., а их логарифмы по основанию d, то есть logd(f1), logd(f2), то для перехода от любой ноты к следующей достаточно будет прибавить единицу. А это полутон!
ЛЕВИ-СТРОСС: Мы до сих пор не обратили внимания на один очень важный момент. Взглянув на додекафонический круг, читатель может представить, что все ноты используются одинаково, но очевидно, что основную роль играет подмножество нот до, ре, ми, фа, соль, ля и си, которым соответствуют белые клавиши.
Обратите внимание, что эта последовательность составлена очень странным образом: чтобы перейти от до к ре и от ре к ми, нужно добавить тон, а чтобы перейти от ми к фа — только полутон, при этом ни на клавиатуре пианино, ни на круге это никак не обозначено. Далее мы последовательно добавляем тон, чтобы перейти от фа к соль, от соль к ля и от ля к си, но интервал между си и до вновь нарушит симметрию:
118
до ?1? ре ?1? ми ?1/2? фа ?1? соль ?1? ля ?1? си ?1/2? до.
Это тональность до мажор. Мы можем построить новые эквивалентные тональности, начиная с любой ноты — для этого нужно воспроизвести последовательность интервалов 1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2. В общем случае потребуется вносить альтерации.
Вспомните «Струнный квартет № 3» Шостаковича: рядом с названием указано «фа мажор».
Это в некотором роде означает, что доминантная нота в партитуре — не до, а фа, следовательно, будет уместно перестроить строй, начав с фа. Мы хотим, чтобы закономерность 1, 1, 1/2, 1, 1, 1, 1/2 сохранялась: фа и соль, соль и ля разделены одним тоном, но ля и си отстоят друг от друга не на полутон, как нам бы хотелось, а на целый тон, поэтому вместо си нужно рассмотреть ноту на полтона ниже, то есть си-бемоль. Продолжим: си и до, до и ре, ре и ми разделены целыми тонами, и наконец, интервал между ми и фа равен одному полутону, как мы и хотели.
Следовательно, тональность фа мажор получается заменой си на си-бемоль. Это обычно указывается рядом с ключом нотного стана, чтобы каждый раз не записывать альтерацию рядом с нотой си.
Тональность фа мажор.
В этом случае потребовалось добавить всего одну альтерацию, но посмотрите, сколько потребуется добавить, если мы начнем строй с фа-диез, как в удивительной неоконченной «Десятой симфонии» Малера. Фа-диез и соль разделены полутоном, а мы хотим, чтобы их разделял целый тон, поэтому заменим соль на соль-диез. Теперь соль-диез и ля разделены всего лишь полутоном, следовательно, ля также нужно заменить на ля-диез. Ля-диез и си разделены полутоном, как и полагается, однако интервал между си и до также равен полутону, но нам нужен целый тон, поэтому заменим до на до-диез. В результате расстояние до ре уменьшится до полутона, следовательно, необходима альтерация ре и ми. Наконец, ми-диез отделяет от фадиез один полутон (как вы помните, ми-диез и фа — одна и та же нота), как мы и хотели. Следовательно, чтобы составить строй фа-диез мажор, нам пришлось альтерировать шесть из семи нот!
119
фа# соль# ля# си до# ре# ми# фа#
Тональность фа-диез мажор.
ВЕЙЛЬ: Из вашего объяснения, господин Леви-Стросс, становится понятно, что транспонирование на одну кварту (пять полутонов) едва заметно, так как изменяется всего одна нота стандартного строя. Когда мы хотим выполнить плавную транспозицию между двумя тональностями, удобнее выполнить переход через несколько промежуточных кварт. Такой переход возможен всегда, поскольку [5] порождает «группу часов»; иными словами, все элементы этой группы можно получить повторным сложением [5] с самим собой. К примеру, транспонирование на малую терцию (три полутона) эквивалентно транспонированию на три кварты, так как
[5] + [5] + [5] = [3].
С тритоном (интервалом в шесть полутонов) все происходит с точностью до наоборот. Если мы применим эту транспозицию два раза, то ничего не изменится, так как [6] + [6] = [0]. Вы наверняка слышали о дьяволе в музыке. В Средневековье церковь запрещала использовать тритон, так как данный аккорд отличался резким, неустойчивым звучанием и поэтому мог быть только творением дьявола. Тритон естественным образом возникает в аккорде ноты си. Как вы наверняка помните, классические аккорды исполняются на белых клавишах пианино «через одну»: к примеру, ДО ре МИ фа СОЛЬ — аккорд до, а СОЛЬ ля СИ до РЕ — аккорд соль. Обратите внимание, что в обоих случаях крайние ноты аккордов разделены семью полутонами. Этим свойством обладают все аккорды за исключением тех, что начинаются с ноты си, так как общая длина аккорда СИ до РЕ ми ФА составляет шесть полутонов — проклятый тритон. Вот он, дьявол в музыке! Лишь в эпоху барокко запреты ослабли, и тритон вновь начал использоваться в музыкальных произведениях при переходе в другие тональности и для почеркивания важных элементов композиции.
ЛЕВИ-СТРОСС: Все изменилось с началом романтизма. Одна из первых композиций, где в полной мере проявляется дьявол в музыке, — это «Соната по прочтении Данте» Ференца Листа. Первая тема сонаты написана в ре минор.
Пока что я говорил только о мажорных тональностях в музыке; сейчас я вкратце объясню, что означает «минор». Вновь рассмотрим строй до, ре, ми, фа, соль, ля, си.
Представим его в виде круга. Сразу же возникает вопрос: что произойдет, если мы «повернем» ноты?
120
Получим, к примеру, строй ля, си, до, ре, ми, фа, соль, в котором уже не будет соблюдаться последовательность интервалов 1,1,1/2,1,1,1,1/2, следовательно, этот строй не будет эквивалентен исходному. Следовательно, будет интересно посмотреть, что произойдет, когда полутона будут располагаться иначе.
В нашем примере полутона расположены во второй и пятой позиции: 1, 1/2, 1, 1, 1/2,1,1. Звукоряды, которые описываются этой последовательностью, называются минорами. Так, строй ля минор соответствует строю до мажор. В общем случае, чтобы определить соответствующий минор, нужно отсчитать три полутона вниз, начиная с первой ноты. Так, тональности ре минор соответствует фа мажор.
До мажор -- Ля минор
До-диез мажор -- Ля-диез минор
Ре мажор -- Си минор
Ми-бемоль мажор -- До минор
Ми мажор -- До-диез минор
Фа мажор -- Ре минор
Фа-диез мажор -- Ре-диез минор
Соль мажор -- Ми минор
Ля-бемоль мажор -- Фа минор
Ля мажор -- Фа-диез минор
Си-бемоль мажор -- Соль минор
Си мажор -- Соль-диез минор
Соответствие между минорами и мажорами.
Крайне важно отметить, что альтерации соответствующих миноров и мажоров совпадают, следовательно, для того чтобы определить, в минорной или мажорной тональности написано произведение, одних лишь альтераций недостаточно. Необходимо использовать другие, более субъективные критерии, например определить, какой нотой чаще всего заканчиваются звуковые последовательности в мелодии.
ВЕЙЛЬ: Ваше объяснение тональностей, господин Леви-Стросс, вновь наводит на подозрения, что не все ноты додекафонического круга играют одинаково важную роль в мелодии. Это казалось Арнольду Шёнбергу невыносимым, поэтому пока Эйнштейн уточнял детали своей первой теории относительности, Шёнберг написал «Камерную симфонию», с которой начался закат тональной музыки. Новое направление достигло вершины в 20-е годы XX века, когда создатель додекафонии начал претворять в жизнь программу об абсолютном равенстве всех 12 нот в любой композиции. Эта программа нашла яркое воплощение в работах композиторов Нововенской школы.
121
ЛЕВИ-СТРОСС: Я помню, как впервые прикоснулся к этой новой музыке.
С малых лет родители по воскресеньям водили меня в оперу Гарнье и другие концертные залы. Не забывайте, моим прадедом по материнской линии был скрипач Исаак Стросс (Штраусс), который работал с Оффенбахом и был знаком с Россини.
Дух прадеда сохранился в нашей семье, но история моего знакомства с музыкой окончилась произведениями Вагнера. Я открыл для себя Шёнберга, Альбана Берга, Антона Веберна и испытал подлинную страсть к звукам, которые услышал в первый раз. Кажется, я так и не смог привыкнуть к их творчеству. Не говоря уже о сериалистах, например о Лучано Берио, которые выступают за равноправие не только частот звуков, но и их длительности, тембра и любых других измеримых параметров.
Это направление разочаровало меня и совершенно сбило с толку, поскольку некоторые голоса «Симфонии» выкрикивали тексты из моей книги «Сырое и приготовленное». Но я допускаю, что перестать быть человеком XIX века не так-то просто.
ВЕЙЛЬ: Я не удивлен, что эта музыка показалась вам принципиально новой, так как многие шедевры додекафонической музыки написаны на основе латинского квадрата. Вы уже знаете, что латинский квадрат — всего лишь таблица, в которой определенное множество символов (в нашем случае — 12 нот) записано так, что в каждой строке и в каждом столбце содержатся все символы множества. На первом шаге выбирается последовательность, состоящая из 12 нот, на основе которой по установленным правилам строится латинский квадрат. Следовательно, существует столько же «руководств по музыкальной композиции», сколько и упорядоченных последовательностей нот до, до-диез, ре, ре-диез, ми, фа, фа-диез, соль, соль-диез, ля, ля-диез и си, всего 479001600 последовательностей.
ЛЕВИ-СТРОСС: Это меньше, чем «Сто тысяч миллиардов стихотворений» Кено.
ВЕЙЛЬ: Однако это число достаточно велико, чтобы композиторы могли попрежнему испытывать иллюзию свободы творчества, не правда ли? Как я уже говорил, суть метода заключается в том, чтобы упорядочить 12 нот, например следующим образом:
ми — соль — фа-диез — ля — соль-диез — до — фа — ре — ре-диез —
— до-диез — си — ля-диез.
В ключе соль эта последовательность записывается так:
122
ми соль фа-диез ля соль-диез до фа ре ре-диез до-диез си ля-диез
а в ключе фа — следующим образом:
ми соль фа-диез ля соль-диез до фа ре ре-диез до-диез си ля-диез
Следовательно, первая строка таблицы будет выглядеть так:
ми | соль | фа-диез | ля | соль-диез | до | фа | ре | ре-диез | до-диез | си | ля-диез
Первую строку таблицы можно записать и по-другому, определив место каждой ноты в «группе часов». При выполнении операций, позволяющих построить весь латинский квадрат на основе первой строки, крайне полезно сопоставить «полдень» «группы часов» первой выбранной нами ноте, то есть сделать ноту ми нейтральным элементом группы.
Следовательно, повернем «часы» так, чтобы нота ми заняла положение, которое обычно занимает нота до, после чего скопируем числа последовательности.
123
Напомню, что мы записали числа в квадратных скобках, чтобы указать: [3] обозначает не только число 3, но и все числа, которые можно получить, прибавив или отняв 12: 3, 15, 27,—9,—21. Таким образом, первую строку нашего латинского квадрата можно записать в следующем виде:
[0] | [3] | [2] | [5] | [4] | [8] | [1] | [10] | [11] | [9] | [7] | [6]
ЛЕВИ-СТРОСС: Понятно. Каким будет второй шаг?
ВЕЙЛЬ: После того как мы получили основную последовательность, заполним первый столбец таблицы, применив инверсию. Любые две ноты первой строки разделены некоторым интервалом. Инверсия заключается в том, чтобы воспроизвести те же самые интервалы в противоположном направлении. К примеру, ми и соль разделены тремя восходящими полутонами (ми — фа — фа-диез — соль), следовательно, инверсия этого интервала заключается в том, чтобы отсчитать три полутона вниз: ми — ре-диез — ре — до-диез. Получается, во второй клетке первого столбца запишем: до-диез. Другой пример: соль и фа-диез разделены восходящим полутоном, следовательно, нужно подняться на один полутон от ноты до-диез, которую мы только что получили. В результате имеем ноту ре. Выполнив аналогичные действия, получим первый столбец:
ми — до-диез — ре — си — до — соль-диез — ре-диез — фа-диез — фа —
соль — ля — ля-диез.
Теперь, господин Леви-Стросс, скажите мне, что означает слово «обратный» применительно к теории групп?
ЛЕВИ-СТРОСС: Элемент группы называется обратным другому, если результат операции над этими элементами — нейтральный элемент.
ВЕЙЛЬ: Именно! Я хочу показать, что обращение интервалов — это всего лишь особый способ, позволяющий найти обратные элементы «группы часов». Рассмотрим первый случай: нота соль соответствует элементу [3]. Какой элемент будет обратным для [3]? Велик соблазн сказать, что этим элементом будет [—3], но мы рассматриваем только положительные числа, поэтому к исходному элементу нужно прибавить 12. Получим [9], который действительно будет обратным [3], так как
[3] + [9] = [12] = [0],
то есть нейтральному элементу. А какая нота соответствует [9]?
Это нота до-диез — та же самая нота, которую мы вычислили методом обращения!
Если я не убедил вас, перейдем к следующей клетке квадрата. Ноте фа-диез соответствует элемент [2],
124
обратным ему является [10], так как [2] + [10] = [12] = [0].
А какой ноте соответствует [10]? Ноте ре! Следовательно, первый столбец нашего «руководства по музыкальной композиции» содержит элементы, обратные элементам основной последовательности, записанной в первой строке:
[0] [9] [10] [7] [8] [4] [11] [2] [1] [3] [5] [6].
ЛЕВИ-СТРОСС: Отлично, мы получили одну строку и один столбец. Мне кажется, я понял, как составить всю таблицу.
Теперь мы можем вычислить интервал, отделяющий ми от каждой ноты в столбце, и транспонировать первую строку так, чтобы структура мелодии не изменилась. Ми отделяют от до-диез девять полутонов. Прибавим этот интервал к каждой из нот в исходной последовательности:
до-диез | ми | ре-диез | фа-диез | фа | ля | ре | си | до | ля-диез | соль-диез | соль
ВЕЙЛЬ: Именно! А чтобы выполнить эту транспозицию, можно повернуть додекафонический круг на девять полутонов или же прибавить [9] к элементам первой строки. Вторая строка латинского квадрата будет выглядеть так:
[9] | [0] | [11] | [2] | [1] | [5] | [10] | [7] | [8] | [6] | [4] | [3]
Выполним аналогичные действия для десяти оставшихся строк.
ми
соль
фа-диез
ля
соль-диез
до
фа
ре
ре-диез
до-диез
си
ля-диез
до-диез
ми
ре-диез
фа-диез
фа
ля
ре
си
до
ля-диез
соль-диез
соль
ре
фа
ми
соль
фа-диез
ля-диез
ре-диез
до
до-диез
си
ля
соль-диез
си
ре
до-диез
ми
ре-диез
соль
до
ля
ля-диез
соль-диез
фа-диез
фа
до
ре-диез
ре
фа
ми
соль-диез
до-диез
ля-диез
си
ля
соль
фа-диез
соль-диез
си
ля-диез
до-диез
до
ми
ля
фа-диез
соль
фа
ре-диез
ре
ре-диез
фа-диез
фа
соль-диез
соль
си
ми
до-диез
ре
до
ля-диез
ля
фа-диез
ля
соль-диез
си
ля-диез
ре
соль
ми
фа
ре-диез
до-диез
до
фа
соль-диез
соль
ля-диез
ля
до-диез
фа-диез
ре-диез
ми
ре
до
си
соль
ля-диез
ля
до
си
ре-диез
соль-диез
фа
фа-диез
ми
ре
до-диез
ля
до
си
ре
до-диез
фа
ля-диез
соль
соль-диез
фа-диез
ми
ре-диез
ля-диез
до-диез
до
ре-диез
ре
фа-диез
си
соль-диез
ля
соль
фа
ми
125
Как вы уже видели, эта таблица содержит ту же информацию, что и таблица
[0]
[3]
[2]
[5]
[4]
[8]
[1]
[10]
[11]
[9]
[7]
[6]
[9]
[0]
[11]
[2]
[1]
[5]
[10]
[7]
[8]
[6]
[4]
[3]
[10]
[1]
[0]
[3]
[2]
[6]
[11]
[8]
[9]
[7]
[5]
[4]
[7]
[10]
[9]
[0]
[11]
[3]
[8]
[5]
[6]
[4]
[2]
[1]
[8]
[11]
[10]
[1]
[0]
[4]
[9]
[6]
[7]
[5]
[3]
[2]
[4]
[7]
[6]
[9]
[8]
[0]
[5]
[2]
[3]
[1]
[11]
[10]
[11]
[2]
[1]
[4]
[3]
[7]
[0]
[9]
[10]
[8]
[6]
[5]
[2]
[5]
[4]
[7]
[6]
[10]
[3]
[0]
[1]
[11]
[9]
[8]
[1]
[4]
[3]
[6]
[5]
[9]
[2]
[11]
[0]
[10]
[8]
[7]
[3]
[6]
[5]
[8]
[7]
[11]
[4]
[1]
[2]
[0]
[10]
[9]
[5]
[8]
[7]
[10]
[9]
[1]
[6]
[3]
[4]
[2]
[0]
[11]
[6]
[9]
[8]
[11]
[10]
[2]
[7]
[4]
[5]
[3]
[1]
[0]
ЛЕВИ-СТРОСС: На основе додекафонической таблицы, подобной той, которую мы только что составили, можно написать такую мелодию:
С одной стороны, на нижнем нотном стане в ключе фа записана основная последовательность нот из первой строки, на основе которых мы получили все остальные ноты. С другой стороны, на верхнем нотном стане записаны две мелодии: первая, состоящая из более низких звуков, соответствует второму столбцу таблицы, вторая, состоящая из более высоких звуков,— первой строке, прочитанной справа налево.
Число возможных вариантов практически бесконечно!
ВЕЙЛЬ: Так сегодня звучит музыка сфер.
ЛЕВИ-СТРОСС: И так мы будем слушать ее до тех пор, пока алгебра не разлучит нас.
126