Схолия Шестая,
Схолия Шестая,
благодаря которой читатель узнает очень простое правило, как из септиллиона, то есть из 1000 000 000 000 000 000 000 000 = 1026,
отобрать восемь бесподобных красавиц, и так как это правило применялось с успехом в течение двух с лишним тысяч лет самыми рассудительными людьми, то на него вполне можно положиться. Однако приятные рассуждения на эту тему неожиданно прерываются появлением довольно солидной особы, которую было бы затруднительно осмотреть обычными средствами, поэтому наши путешественники отправляются за помощью к очень юркому, трудолюбивому и словоохотливому маленькому народцу, и затем Илюша узнает немало неведомых ему до сей поры вещей по вопросу о четных и нечетных числах, их квадратах и о том, чем занимаются, с одной стороны, высшая арифметика, а с другой - разные бездельники.
Илюша поглядел на Радикса недоверчиво и спросил:
- То есть как - Совершенства?
- Тише! Тише! - сказал Радикс. - Впрочем, они уже удаляются. Эти удивительные существа суть совершенные числа великого Евклида...
- Это тот ученый грек, который написал "Начала", про геометрию?
- 78 -
- Он самый, а случилось это за три века до нашей эры. Поистине это был великий человек, - ответил очень серьезно Радикс. - "Совершенство же этих чисел заключается в том, что каждое из них равняется сумме своих делителей, разумеется исключая его самого. Например, число "шесть". Его делители - 1, 2 и 3. Сложи и опять получишь шесть. Или число "двадцать восемь". Его делители - 1, 2, 4, 7 и 14. Сложи их, и снова получается двадцать восемь.
Следующее число будет 496, и оно опять-таки равно сумме своих делителей - 1, 2, 4, 8, 16, 31, 62, 124 и 248. Совершенно так же и с числом 8218, что ты и сам можешь легко проверить.
- И много этих чисел? - спросил Илюша.
- Если по натуральному ряду чисел добраться до десяти в двадцать четвертой степени...
- Это будет, значит единица с двадцатью четырьмя нулями! А как называется такое громадное число?
- Оно называется септиллион. Это будет девятый класс чисел: единицы, тысячи, миллионы, биллионы, триллионы, квадриллионы, квинтиллионы, секстиллионы и, наконец, вот эти септиллионы. Так вот, если до них добраться (а как ты сам понимаешь, это не так просто), то на всем этом протяжении чисел окажется всего-навсего восемь совершенных чисел. Они были найдены триста лет тому назад математиком Мерсенном. Еще Евклид дал общую формулу этих чисел, которая, разумеется, была выведена из наблюдений над ними.
И все же формула выводится на основании общих соображений. Формула очень простая. Но обращаться с ней тоже не очень просто. Вот она какова:
2n (2n+1 - 1).
При этом n может быть любым числом, однако выражение (2n+1 - 1) должно быть обязательно простым числом, то есть не иметь никаких делителей, кроме единицы и самого себя.
- Я знаю эти числа: 1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23 и так далее.[9]
- 79 -
- Ясно, - ответил Радикс. - Но если ты сам попробуешь применить эту формулу, то скоро убедишься, до чего это трудная задача. Я назвал тебе четыре совершенных числа. Для них в Евклидовой формуле n = 2, 3, 5 и 7. Если хочешь ознакомиться и с другими, то имей в виду, что для них число и будет равняться 13, 17, 19 и 31. Восьмое число начинается с квинтиллионов. Позже было найдено девятое совершенное число (для него n = 61), а затем - десятое, для которого n = 89. Для одиннадцатого n = 107. Для двенадцатого n = 127; в этом числе больше семидесяти пяти цифр. Ты заметил, что все указанные совершенные числа четные? Так вот, греческий математик Ямвлих говорит (и в правильности этого легко убедиться), что из всех четных чисел совершенными могут оказаться только те, которые подходят к формуле Евклида. Что формула Евклида дает в итоге четное число, это как будто ясно. Не - правда ли?
- Мне тоже так кажется, - отвечал Илюша поразмыслив, - потому что первый множитель - это два в какой-то степени, а степени двух все ведь четные?
- Да. И при этом никто никогда еще не мог найти ни одного нечетного совершенного числа. Однако, с другой стороны, все-таки никому так и не удалось доказать, что совершенное число не может быть нечетным... Сколько их? Тянутся ли они до бесконечности? Или на каком-либо обрываются? Никто сказать не может. В семнадцатом веке Антонио Катальди доказал, что все совершенные числа, кроме "шести", можно представить формулой (9n + 1). Это верно, однако ничего особенного из этого не следует. В двадцатом веке пытались доказать о них хотя бы то, что они могут быть только четными. Однако удалось доказать только то, что нечетные совершенные числа, если, конечно, они существуют, должны делиться по крайней мере на пять различных простых чисел и должны быть чрезвычайно велики.
- Да-а!.. - протянул Илюша. - Действительно, странная задача. А какой, собственно, толк от этих совершенных чисел?
Мне кажется, что какое-нибудь квадратное уравнение гораздо полезнее. При его помощи решаются разные задачи, которые нужны в физике или в технике, ну и в геометрии тоже. Ни химики, ни инженеры, ни астрономы в этих совершенных числах, по-моему, не нуждаются. Они, конечно, очень красивые, эти Совершенства, но только... мне показалось, немножко похожи на кукол. А что с куклами делать? Поиграть да и бросить. И они молчат. Ты вот говоришь со мной, а они нет.
Я не понимаю, зачем ими заниматься. Не все ли равно, четные они или нет? Ведь с их помощью плотину не выстроишь, самолет не сделаешь?
- 80 -
- Конечно, - сказал Радикс, - ими сейчас вряд ли кто занимается, но, видишь ли, так рассуждать тоже нельзя, хотя с первого взгляда кажется, что ты совершенно прав и твое рассуждение тоже в своем роде совершенство. Однако... (АЛ-1, IX).
В эту минуту Радикс чуть было не свалился наземь, потому что откуда-то сбоку подул сильный ветер.
- У-у! - сказал Радикс, причем на его лице изобразилось нечто очень почтительное.
Снова завыл сильный ветер, и наши собеседники вынуждены были забиться в угол, чтобы их не унесло. Илюша всмотрелся в ту сторону, откуда дул ветер (а надо сказать, кстати, что он дул как раз с той стороны, откуда появились эти совершенные красавицы), и различил, что на громадном расстоянии от него двигалось что-то очень большое. Это было нечто вроде облака, вернее, это был левый край облака, и довольно правильно закругленный. Двигаясь, это облако колыхалось толчками, и, по-видимому, от этого-то и возникал такой ветер.
Когда же Илюша поднял глаза, то увидел, что облако и в вышину тянется так далеко, что не поймешь, где у него конец.
А ветер все гудел так громко, что Илюше стало даже страшно.
Эта громадина быстро приближалась.
- Тебе повезло! -крикнул ему Радикс изо всех сил в самое ухо, ибо свист ветра не давал говорить. - Но только отсюда ничего не увидишь. Бери меня за руку. Ты увидишь, какие могучие прыжки могу я совершать. А этот страшный вихрь будет дуть нам в спину и помогать двигаться.
- Бежать, конечно, надо, - сказал ему Илюша, тоже крича во всю глотку. - А то еще раздавит!
- Ничего! - отвечал Радикс. - Мы сейчас добежим до Лежандровой горы, где у нас выстроена замечательная консидератория, и оттуда кое-что увидим.
Радикс схватил Илюшу за руку и прыгнул. Они оба взлетели вверх, порыв ветра подхватил их, и они пронеслись но крайней мере километров пять, и при этом довольно скоро.
- Вот это прыжок! - самодовольно произнес Радикс, опускаясь на землю. - Так не всякий прыгнет. Ну-ка еще раз!
И они снова взлетели.
- А что такое консидератория? - спросил Илюша на лету.
- Ну, это, - отвечал Радикс, снова опускаясь на землю, - вроде обсерватории, только в обсерватории наблюдают, а в консидератории рассматривают.
На этот раз они пролетели не так далеко, так как ветер на этом расстоянии был значительно слабее.
И они прыгнули еще раз.
- А там есть телескопы? - спросил Илюша.
- 81 -
- Нет. Зачем там телескопы? Там куммерскопы.
- Куммерскопы? - повторил Илюша. - А это еще что за штуки?
- Ну, как телескопы - аппараты для наблюдения, так куммерскопы - аппараты для рассмотрения. Между прочим, там ты увидишь очень много моих детей.
- Разве у тебя есть дети?
- И немало! - отвечал самодовольно Радикс. - Один философ назвал их "чудовищами идеального мира", но это сущий вздор, потому что все мои ребятишки очень трудолюбивые и в высшей степени полезные существа.
В продолжение этого разговора они постепенно приблизились к красивой горе, на которой возвышалась странной формы башня. Очевидно, это и была консидератория. Перед башней стоял большой обелиск, на основании которого были написаны три цифры - 3, 5 и 7, окруженные лавровым венком.
Когда наши путешественники подошли к дверям башни, Илюша увидел, что над этими дверями в два ряда написаны цифры: сперва - 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, а потом - 47, 53, 59, 61, 67, 71, 73, 79, 83, 89 и 97.
- 82 -
Цифры эти были высечены на громадной цельной плите из красивого синевато-зелено-серого камня нефрита и немного светились удивительно приятным, чуть-чуть розовым огнем. При этом цифры 37, 59 и 67 горели более ярко, чем остальные. Вокруг башни было тихо, и только легкие порывы ветра, достигавшие наших путников, давали им понять, что тот колосс, от которого они ускакали, все еще движется в том же направлении.
На дверях башни был вырезан сложный орнамент, где Илюша увидел массу корней разных степеней, и все они извлекались почему-то из единицы.
Тут они вошли в здание, и к ним немедленно подлетел какой-то крохотный человечек, личико которого было чрезвычайно странно устроено. Слева это было лицо как лицо, но правая сторона была до того неопределенная, что когда Илюша смотрел на правую половину лица этого человечка, никак не мог понять, есть ли у него эта правая половина или нет.
- Дорогой папенька! - воскликнул человечек, бросаясь к Радиксу.
Радикс приветливо улыбнулся и сказал человечку:
- Позволь тебе представить одного любознательного юношу, с которым мы сюда зашли на минуточку посмотреть в куммерскоп. Он, видишь ли, осматривает наш мир...
Тут Радикс прошептал что-то человечку на ухо, но что, Илюша разобрать не мог. Человечек быстро закивал головкой.
- Очень-очень рад, милейший Илюша! - сказал он, пожимая мальчику руку. - Позвольте, кстати, представиться: я - комплексное число. Мое имя Мнимий Радиксович. Мы, конечно, с вами встречались. Узнаете?
- Конечно, я вас знаю. Вы получаетесь из квадратного уравнения, когда под корнем оказывается отрицательное число. Слева у вас вещественное число и справа - мнимое.
- Совершенно справедливо! - воскликнул в восторге Мнимий Радиксович. - Именно таким образом, при помощи моего уважаемого папеньки, квадратного корня, я и получаюсь. Поэтому меня и зовут Мнимий. Некоторые думают, что я что-то загадочное и несуществующее, но вы, конечно, этого не думаете, да это и трудно думать, видя меня перед собой воочию!
- Я не буду вам все показывать, - сказал Мнимий Радиксович, - ибо у нас есть здесь аппараты и более сложные, чем куммерскоп, но они требуют не объяснений и даже не лекций, а нескольких годов изучения. Я проведу вас наверх; оттуда в люк вы сможете увидеть общин вид куммерскопа. А потом я отведу вас к экрану. При помощи нашего экрана вы сможете обозреть Великую в доступных нам пределах. А затем я вас сведу в музей, где есть несколько простеньких старинных моделей, доступных почти всякому.
- 83 -
Радикс и Илюша, разумеется, не стали спорить. Они остановились перед маленькой дверью, и через минуту лифт унес их на самый верх высокой башни.
- Пожалуйте! - сказал Мнимий Радиксович.
Все трое осторожно подошли к небольшому балкончику, откуда открывался вид в глубь башни. Все внизу было залито ярким светом. Бесчисленное множество комплексных человечков суетилось там, как муравьи на муравейнике. Бесшумно и неопределенно поворачивались какие-то громадные круги, какие-то знаки появлялись и исчезали в воздухе. Непрестанно проплывали в разных направлениях стрелки. Они появлялись, поворачивались, удлинялись, отражались в громадных зеркалах и исчезали. Несколько бледных фигур легкими движениями рук управляли всей этой сложной и беззвучной суетой. В этом непрерывном, очень быстром, но четком движении была какая-то строгая правильность. Илюша смотрел, затаив дыхание.
- Ну, идемте, - шепнул им Мнимий Радиксович. - Тут ведь идет настолько тонкая работа, что даже наше безмолвное присутствие может ей помешать. Пойдемте к экрану. Он находится в зале Трех Великих Знаков.
Они обошли балкончик и подошли к тяжелым, литым бронзовым дверям, на каждой из которых среди множества узорных украшений были изображены буквы е, ?, i. Гости проникли в самую верхнюю часть башни. Это был громадный сумрачный зал со сводчатым потолком. В глубине стояла огромная пустая рама, а неподалеку от двери - несколько кресел.
- Присаживайтесь! Сейчас я приведу экран в действие.
А когда он начнет работать, то вы простым движением руки сможете его поворачивать, куда вам будет удобно.
Свет в зале потух. Громадная пустая рама заполнилась мягким светом. Это и был экран.
- Сейчас, - крикнул откуда-то из глубины Мнимий Радиксович, - сейчас увидите! А когда увидите, тогда уже управляйте сами. Правой рукой. Это очень просто.
Желтоватое сияние на громадном экране начало местами бледнеть, местами разгораться, и тут Илюша стал постепенно разбирать на нем несколько неопределенные формы того колоссального существа, от которого они недавно так поспешно ускакали.
- 84 -
Понемногу эти формы становились яснее. Илюша двинул рукой влево, и изображение переместилось. Тут он ясно увидел тот левый край этого колосса, который он только что видел своими собственными глазами. Теперь ему показалось, что это край платья. Он начал двигать изображение в другую сторону. Край платья, легко колтыхаясь, все двигался и двигался, а конца не видно было. Наконец Илюша заметил какую-то неясную тень громадных размеров, которая мелькнула на экране, напомнив своей формой ногу, обутую в красивую туфлю странного, очень старинного фасона. Затем, все время передвигая экран, чтобы наконец дойти до правого края фигуры, Илюша рассмотрел и другую ногу, которая тоже мелькнула и быстро исчезла. Наконец Илюша добрался и до правого края фигуры.
- Каково же расстояние от одного края до другого? - робко спросил Илюша.
- В точности это вам никто сказать не может, - услыхал он в ответ.
Поднимая экран, Илюша наконец разобрал кое-как, что перед ним, по-видимому, необозримо громадная фигура женщины в старинном платье; он еле-еле мог рассмотреть ее до пояса. Далее шли облака и тучи, сквозь которые ничего не было видно.
- Это какая-то невероятная великанша! - воскликнул Илюша.
- 85 -
- Так ведь она так и называется, - отвечал ему Мнимий - Перед вами Великая Теорема Ферма, одного из величайших математиков мира, жившего в семнадцатом веке. Скоро пройдет три столетия, как он высказал ее, и до сих пор наука еще не нашла ее доказательства, а с другой стороны, и не смогла показать, что эта теорема несправедлива. Проблема эта до такой степени громадна и необъятна, что, как вы сами могли убедиться, нет возможности осмотреть ее целиком. Даже наши исключительно мощные аппараты могут показать вам только часть того, что есть на самом деле. Идемте в музей.
И все они спустились на лифте и вошли в широкую комнату, где по стенам висели различные чертежи и формулы.
- Ну вот, - сказал проводник наших героев, - номер первый. Позвольте вам представить. Вот сама теорема. Рассказать ее - минутное дело. Надо доказать, что если взять вот такую сумму:
an + bn = cn,
причем показатель и равняется любому целому положительному числу больше двух, то невозможно отыскать три таких целых положительных числа, которые удовлетворяли бы этому равенству. Другими словами, только сумма двух квадратов может быть тоже квадратом. Это так называемые вавилонские, или пифагоровы, числа, без сомнения вам известные.
- Да-да... - сказал несколько растерянно Илюша.
- Ну! - произнес Мнимий Радиксович, видя его затруднение. - Ну, например, три в квадрате плюс четыре в квадрате - это будет пять в квадрате. Девять плюс шестнадцать будет двадцать пять.
- А! - вспомнил Илюша. - Это по пифагоровой теореме!
Сумма квадратов катетов равняется квадрату гипотенузы в целых числах. Так ведь это очень просто!
- Разумеется, - отвечал Мнимий, - это несложно. Но если сумма двух квадратов может быть квадратом, то уж сумма двух кубов не может быть кубом. И вообще ни одна степень, кроме второй, не годится. Это еще никому не удавалось опровергнуть. Наоборот, чем дальше идут наши работы, тем больше мы убеждаемся, что это справедливо. Но дело в том, что надо доказать, что это так. Доказать не для отдельного случая, а вообще, то есть для любого случая. И вот до сих пор, несмотря на все труды, это не удавалось. Заметьте, в постановке задачи ничего трудного нет, это любому грамотному человеку можно рассказать. А доказать, что эта задача не решается, все-таки пока еще невозможно.
Комплексный человечек перешел к другой формуле.
- 86 -
- Ну вот, позвольте теперь дать вам некоторые указания об пифагоровых числах. То есть о сумме квадратов. Начнем с того, что мы будем рассматривать всегда три таких числа, чтобы никакие два из них не имели общих делителей. Нам ведь нет смысла рассматривать равенства, вроде вот такого:
62 + 82 = 102,
потому что такое равенство можно сократить на 22, и тогда мы придем к тому, с чего начали, то есть к равенству
32 + 42 = 52.
А с другой стороны, поскольку это сумма, то если какая-нибудь пара чисел делится на некоторое число, то и третье на него делится. Следовательно, нам нет смысла рассматривать такие случаи. Ясно?
- Ясно, - ответил Илюша.
- Прекрасно, - отвечал терпеливый лектор. - Теперь далее. Вы видите, что если взять "три" и "четыре", то одно из этих чисел четное, а другое - нечетное. Может ли быть иначе? Очевидно, нет. Потому что если бы оба эти числа были четные, то у них был бы общий делитель "два", а мы только что выяснили, что это нам не подходит. Теперь: могут ли оба эти числа быть нечетными? Нет, потому что тогда сумма их квадратов должна была бы быть четным числом. Это очень просто проверить. Возьмем два нечетных числа, возведем их порознь в квадрат, а эти квадраты сложим:
(2m+1) 2 + (2n+1) 2 = 4m2 + 4m + 1 + 4n2 + 4n + 1 =
= 4(m2 + n2) + 4(m +n) + 2 = 2[2(m2 + n2 +2(m+n)+1].
Ясно, что наша сумма есть четное число. Однако если квадрат какого-нибудь числа есть число четное, то само число и подавно четное. Если же это так, то наша сумма должна делиться без остатка на четыре, ибо всякое четное число можно написать в виде 2n, откуда квадрат его есть 4 n2, и он, очевидно, делится на четыре. Попробуем теперь разделить на четыре нашу сумму квадратов двух нечетных чисел:
[4(m2 + n2) + 4(m+n) + 2]/4=(m2+n2)+(m + n)+2/4.
Ясно, что эта сумма на четыре не делится, и мы получаем и остатке "два". Следовательно, наше предположение ведет к противоречию. И два числа в правой части равенства не могут быть оба нечетными. А так как мы видели, что они не могут быть и оба четными, то ясно, что одно из них четное, а другое нечетное. Вы с этим согласны?
- 87 -
- Согласен, - отвечал внимательно слушавший Илюша.
- Теперь очевидно, что третье число должно быть также нечетным, ибо квадрат четного числа есть четное число, а квадрат нечетного - нечетное. Ясно, что их сумма опять будет числом нечетным. Положим теперь для определенности, что z (сумма) будет нечетным числом, х (первое число) тоже нечетным, а у (второе) - четным. Тогда можно написать, что
y2 = z2 - x2 = (z - x)(z + x)
Отсюда ясно, что выражения (z - х) и (z + x) представляют собой снова четные числа, ибо они суть разности двух нечетных чисел. Следовательно, можно положить:
z + х = 2m; z - х = 2n,
а отсюда
z = m + n; х = m - n.
При этом m и n не имеют общих делителей, и они, как у нас говорят, разной четности, то есть одно из них четное число, а другое нечетное. Но если все это так, то тогда можно написать:
у2 = (z + x) (z - x) = 4mn
и отметить, что, очевидно, m и n суть квадраты. Ибо если бы m содержало какой-нибудь простой делитель в нечетной степени, то недостающий делитель должен был бы входить в n, а в и его не может быть, ибо m и n не имеют общих делителей. Но если это справедливо, то можно написать, что
m = р2; n = q2,
а отсюда окончательно получаем формулы для всех трех наших чисел:
х = p2 - q2; у = 2pq; z = p2 + q2.
Это и есть формулы пифагоровых троек. По этим формулам можно получать любое количество пифагоровых чисел. Например, если у нас р равно пяти, a q равняется четырем, то наши пифагоровы числа будут 40, 9 и 41. Проверим. Сорок в квадрате будет 1600, девять в квадрате - 81, а сорок один в квадрате - 1681. Все в порядке. Ясно?
- 88 -
- Ясно, - скромно ответил Илюша, которому очень правилась эта маленькая лекция.
- Конечно, если наши p и q будут оба нечетные, то наши индусские числа неизбежно будут иметь общий множитель, равный двум. Проверьте, коли не поленитесь! Впрочем... Этими числами даже в древнем Вавилоне занимались! Сохранились таблетки с росписями.
Илюша тщательно проверил вычисления и убедился, что лектор прав.
- Теперь я скажу вам еще несколько слов о судьбе Великой Теоремы. Видите ли, это началось с того, что в семнадцатом веке один из крупнейших математиков всех времен, Пьер Ферма, однажды, читая своего любимого автора - древнего математика Диофанта, записал на полях этой книги свою теорему, о которой мы только что говорили. А записав ее, он добавил следующие слова: "Я нашел поистине удивительное доказательство этой теоремы, но на полях книги слишком мало места, и оно здесь не упишется". И вот с тех пор математики всего мира триста лет бьются и не могут найти это доказательство. Один крупнейший математик, Леонард Эйлер, тот самый, кто впервые обозначил отношение окружности к диаметру греческой буквой ?, доказал, что для третьей и четвертой степени теорема Ферма правильна. Но надо вам сказать, что уже для третьей степени его доказательство вводит понятия более сложные, чем те, которые были известны математикам во времена Ферма. В частности, он должен был в этом случае прибегнуть к нашей помощи, то есть к помощи комплексных чисел, частным случаем которых являются обыкновенные числа. И мы ему, разумеется, в этом деле, как умели, помогли. Ведь если посмотреть на все это дело, как говорится, попросту, то легко можно сказать: зачем эти бедные комплексные чудачки возятся в этой башне с такими сложнейшими аппаратами? И все только для того, чтобы доказать, что некоторая задача не может быть решена? И триста лет математики бьются над задачей, от которой никому ни тепло ни холодно! Но это не совсем так. Уже Леонард Эйлер должен был вводить для этой задачи новые числа, то есть расширять понятие числа. А это великое дело. Ибо когда построена новая система чисел, то она работает уже не только для этой задачи, а для всех математиков и для всех проблем. А когда за эту задачу взялся математик Куммер, по имени коего и наш главный аппарат, как вы знаете, называется куммерскопом, то он построил целую теорию, где было очень много нового. И при помощи этой новой теории он доказал нашу Великую Теорему сразу для всех тех показателей степени, которые вырезаны на камне над дверями нашей башни.
- 89 -
Причем для трех чисел, которые светятся над дверями особенно ярко, ему пришлось построить дополнительную теорию. Он расширил наши представления в области математики и дал нам совершенно новые аппараты, которые годятся для очень многих вопросов, в частности и для таких, которые задевают интересы инженеров и других практических деятелей. Я уже не говорю о том, что только благодаря Куммеру вы могли разглядеть на нашем экране Великую хотя бы по пояс. До Куммера можно было рассмотреть разве что бахрому ее мантильи, ибо теорема была доказана только для чисел 3, 5 и 7. В настоящее время теорема доказана вплоть до очень больших показателей степеней.
Вычисления для этого понадобились не шуточные! Чтобы вы могли себе составить представление о том, с какими громадными числами в таком случае приходится иметь дело, укажу, что если возвести число "два" в степень "семьсот", то в результате мы получим число, в котором будет двести с лишком знаков, а если возвести "три" в ту же степень, получим число, в котором будет более трехсот знаков. Я слышал, как вы недавно говорили, что септиллион кажется вам довольно внушительным числом, а ведь в нем всего-навсего только двадцать пять знаков! Вопросами такого рода занимается высшая арифметика, которая называется теорией чисел. Исследования в этой области раскрывают очень много серьезных проблем, с которыми приходится сталкиваться математику.
Вы знаете, что существуют иррациональные числа, как, например, ?2, которые не могут быть выражены никаким конечным числом десятичных знаков. Но ?2 может быть корнем алгебраического уравнения с целыми коэффициентами, например:
х2 - 2 = 0.
Однако есть числа, еще более сложные по своему строению.
Таково, например, число ?, которое мы называем трансцендентным числом. Оно уже не только не может быть выражено конечным числом десятичных знаков, но не может быть, кроме того, и корнем никакого алгебраического уравнения с целыми или вообще рациональными коэффициентами. И вот это в высшей степени важное его свойство и доказывается способами теории чисел. Кстати, когда наконец это доказательство было получено (а ведь это случилось не так давно, в конце девятнадцатого века), то тем самым был положен конец всем решительно попыткам найти квадратуру круга, то есть построить равновеликий данному кругу квадрат при помощи циркуля и линейки. Об этом, я думаю, вы слышали?
- 90 -
- Конечно, - отвечал Илюша.
- Так что с этой задачей, которая долгое время занимала умы людей просвещенных... (правда, к сожалению, не только просвещенных!), было покончено.
- Это вроде как с "вечным двигателем", то есть с perpetuum mobile? - вставил Илюша.
- Н-да, - согласился Мнимий, - в этом роде.
- Но ведь теорема Ферма - это все-таки не квадратура круга и не perpetuum mobile?
- Ну конечно, нет! - воскликнул Мнимий. - Это все же серьезная проблема, хотя и частного характера. Заметьте, что теория чисел славится среди математиков тем, что постановка ее задач на первый взгляд кажется очень несложной, но зато решение их дается ученым с таким трудом, что, пожалуй, в этом отношении с теорией чисел не может поспорить никакая другая отрасль математики. Из наиболее важных проблем этой науки я укажу вам на проблему распределения простых чисел в ряду целых чисел. Ясно, что среди всех этих чисел самое важное значение имеют именно простые, ибо все остальные суть произведения простых, а они в силу этого, очевидно, являются элементами, из которых образовано каждое целое число. Вопросом о том, сколько этих чисел, занимался с успехом еще Евклид, показавший, что простых чисел в ряду целых имеется бесконечное множество. Гораздо позже над вопросом о распределении простых чисел трудился Эйлер, а затем важнейшие результаты были получены крупнейшим русским математиком П. Л. Чебышевым уже в девятнадцатом веке. На решение многих проблем теории чисел нередко требуются не то что годы, а целые столетия. Например, в конце восемнадцатого века английский математик Варинг предложил одну задачу по теории чисел. На первый взгляд она совсем не хитра: надо доказать, что всякое целое число можно представить в виде суммы ограниченного числа энных степеней целых чисел. Для n, равного двум, это сделать не очень трудно, и вывод гласит: всякое целое число можно представить в виде суммы не более чем четырех квадратов.
Например:
2519 = 432 + 252 + 62 + 32.
Но доказать надо не только для квадратов, а для всех степеней. И только уже в начале двадцатого века было дано решение этой труднейшей задачи с помощью самых тонких средств математического анализа.
- 91 -
Вот еще пример. В середине восемнадцатого века академик X. Гольдбах в письме к Эйлеру высказал предположение, что всякое целое число больше трех может быть разложено на сумму не более чем трех простых чисел. Задача эта оказалась до такой степени трудной, что еще в начале нашего века на международном математическом конгрессе один из видных ученых заявил, что она "превосходит силы современной математики". Оказалось, впрочем, что это не так. Основные результаты в решении этой задачи были достигнуты советским математиком Л. Г. Шнире Аьманом, который доказал, что, составляя суммы достаточно большого (но заранее ограниченного) числа слагаемых, каждое из которых есть простое число, можно получить все натуральные числа. Уже это было достижением, которое вызвало удивление математиков всего мира. Но, конечно, еще труднее было доказать, что для разложения четных чисел достаточно двух, а для разложения нечетных чисел - трех слагаемых, каждое из которых есть простое число. Это последнее утверждение удалось доказать замечательному советскому математику И. М. Виноградову, которому и принадлежит, таким образом, помимо ряда блестящих работ в других областях теории чисел, решение этой никому не покорявшейся проблемы Гольдбаха (для нечетных чисел; для четных метод Виноградова дает четыре слагаемых). Решение Виноградова быстро облетело весь мир и увенчало советскую математику заслуженной славой...
Однако должен добавить ко всему сказанному вот еще что.
Допустим, что завтра найдется гениальный математик и докажет теорему Ферма[ I ]. Конечно, это не будет переворотом всей математики. И возможно, что разговоров будет больше, чем дела. Все это так. Однако нельзя сомневаться в том, что методы, которыми действует математика, благодаря этому обогатятся, и даже очень. Ну вот, теперь, мой милый гость, мне кажется, что я, насколько мог, удовлетворил вашу любознательность.
- Я даже не могу выразить, до чего я вам благодарен!
Мне кажется, я никогда еще не слыхал ничего такого интересного. Я всегда очень любил математику, а теперь... теперь мне кажется, что это самая интересная вещь на свете!
- Что ж, молодой человек, - ответил ему Мнимий Радиксович, приветливо улыбаясь, - я, конечно, в этом деле не судья, но возможно, что вы не так далеки от истины.
После этого Илюша и Радикс сердечно распрощались с гостеприимным хозяином и не спеша, стали спускаться с Лежандровой горки. Радикс пояснил Илюше, что горка эта называется так, но имени математика Лежандра, который высказал о теореме Ферма некоторое очень тонкое замечание.
- Как все это интересно! Что за прелесть, эти комплексные человечки! - воскликнул Илюша.
- 92 -
- Не забудь, однако, - заметил Радикс, - что все это довольно трудно. Мир этих человечков отличается рядом свое образных и неожиданных особенностей, которые не так-то просто изучить. А без такого изучения ты от них не многого добьешься!
- Пусть трудно, но, по-моему, лучше заниматься трудным делом, только чтобы оно было интересное. Ты как думаешь?
- Точно! - сказал Радикс.
- Вот бы, - сказал мечтательно Илюша, - мне все это выучить, стать математиком и доказать эту теорему!..
Услыхав это, Радикс посмотрел на Илюшу так странно и пристально, что Илюше на минутку стало не по себе. Радикс смотрел на него не отрываясь. Илюша хотел было спросить, чего это он на него так уставился, как вдруг что-то громко ухнуло сзади, точно громадная хлопушка, и Радикс со страшной быстротой полетел вверх. Илюша не успел и ахнуть, как все, что было вокруг него, тоже понеслось вслед за Радиксом ввысь. И тут только Илюша сообразил, что это он сам куда-то провалился и падает с ужасной скоростью. В ушах у него свистело, все неслось вверх с треском и грохотом, и он совсем было потерял голову. Вдруг все неожиданно остановилось и разом утихло.
Илюша осмотрелся и увидел, что стоит почти впотемках на гнилых досках каких-то очень грязных сеней. Перед ним облезлая дверь, в которую кое-как вколочен ржавый гвоздь вместо ручки. Где-то жалобно пищит кошка. Илюша растерянно потянул за гвоздь. Дверь с унылым скрипом распахнулась, и Илюша попал в убогую каморку с подслеповатым окошечком, завешенным густой паутиной. Было холодно. И стало вдруг ужасно скучно. Илюша оглядел каморку в величайшем унынии. Радикса и след простыл! Перед Илюшей стоял колченогий столик, а за ним на старом ящике сидел какой-то старикашка в порыжевшем от времени пальто, подпоясанном веревкой. Перед ним стояла старая жестянка с водой, на ней лежал кусок заплесневевшего хлеба. Старичок что-то старательно чертил циркулем. Илюша нерешительно кашлянул.
- Сейчас, - сказал старичок, - сейчас, голубчик! Вот только начерчу еще одну окружность - и готово. Только одну.
Одну-единственную.
- А что вы делаете? - спросил Илюша.
- А видишь ли, - отвечал тот, - я заслуженный специалист по Великой Теореме Ферма, а сейчас это так, забава, пустяк - трисекция угла с помощью циркуля и линейки.
Пустяки! Очень легко сделать.. Надо только начертить двести двадцать две окружности, провести сто одиннадцать хорд и секущих, и все готово. Очень просто!
- Как так? - жалобно спросил Илюша.
- 93 -
- Очень просто. Ну, совершенно так же, как делается с циркулем и линейкой квадратура круга.
- Квадратура круга?! - повторил в ужасе Илюша.
- Ну да. Это тоже очень просто. Только надо переставить числа хорд и окружностей. Хорд надо двести двадцать две, а окружностей сто одиннадцать. В общем, то же самое...
- Как у вас холодно! - сказал Илюша, надеясь переменить разговор.
- Машина не в порядке, - с огорчением ответил старичок. - Она, понимаешь ли, требует керосина для смазки. То есть теперь требует. Потом, когда я ее еще усовершенствую, этого тоже не будет нужно. Все время работала, а без керосина никак не выходит.
- Какая машина? - спросил Илюша.
- Для отопления. Это perpetuum mobile...
- Perpetuum mobile? .. - еле прошептал Илюша. - У вас и perpetuum mobile есть?
- А как же! - гордо сказал старичок. - Она у меня вертит крыльями. В жестянке. Воздух от этого нагревается, а потом я открываю жестянку, теплый воздух выходит, и в комнате становится теплее. Да я вот сейчас доделаю, потом закончу еще одно доказательство теоремы Ферма...
- Как так "еще одно"? Разве у вас уже есть доказательство?
- Доказательство! - усмехнулся старичок. - У меня, их есть уже пятьсот пять штук. Это будет пятьсот шестое.
- А зачем же так много? - спросил Илюша.
- Зачем так много? - задумался старичок. - Вот уж не знаю. Всё говорят - нехороши! Будто бы неверные. А уж такие хорошие доказательства! Одно другого лучше! Оставайся у меня. Будем вместе доказывать. У меня есть еще одна идейка. Доказательств на двадцать хватит. Вот посмотри мое четырехсот второе доказательство теоремы Ферма.
Илюша взял в руки замусоленный кусочек бумажки, начал разбираться в выкладках и вдруг с ужасом обнаружил, что почтенный ферматист был уверен, что если некоторое число делится на каждое из двух чисел а и b порознь, то оно должно разделиться и на их произведение. Илюша опустил бумажку и начал дуть себе на замерзшие пальцы.
- Но хочу я доказывать вашу теорему! - вдруг вскрикнул Илья в отчаянии. - Пустите меня отсюда, я замерз!
- Ах, так ты не хочешь? Вот как! - сказал, ядовито ухмыляясь, ферматист. - А ты ведь сказал, что хочешь? Поворачивайся! Нечего рассуждать! Раньше надо было думать.
И снова все засвистало, и Илюша помчался обратно вверх.
- 94 -
Все кругом трещало, ухало, грохало, а Илюша мчался наверх с такой скоростью, о которой раньше даже и понятия не имел.
Вдруг снизу, сквозь страшный грохот, раздался зычный крик:
- Вот он! Держи его! Стой! Поймать! Остановить! Изловить!
Илюша чуть не лишился чувств от страха. Он узнал страшный голос, взглянул вниз и увидел, что за ним с криком несется ужасный Уникурсал Уникурсалыч, Кандидат Тупиковых Наук, Д. Ч. и Н. У.
- Лови его! Держи! Он забыл про тысяча семьсот семьдесят пятый!.. Я ему покажу, как такие вещи забывать!..
"Что такое? - подумал Илюша. - Что это такое за тысяча семьсот семьдесят пятый? .."
- Не помнишь! - кричал снизу Доктор Четных и Нечетных. - Я тебе покажу! Я тебе напомню! А вот я сейчас!..
И вдруг перед Илюшей, откуда ни возьмись, появился старинный том, на переплете которого было вытиснено золотыми буквами: "Решения и постановления Парижской Академии Наук за 1775 год". Кинга открылась, несколько страниц перевернулось, и Илюша прочел:
"Академия постановила: отныне и впредь не рассматривать представляемых ей разрешений задач удвоения куба, трисекции угла, квадратуры круга, а также машин, долженствующих осуществить вечное движение".
- Вот что, друг любезный, - вымолвил довольно сурово встретивший его Радикс, - имей в виду, что у нас здесь очень не любят, когда люди, плохо знакомые хотя бы с тем, что в теории чисел называется "арифметикой целых алгебраических чисел", и с тем, какие возникают затруднения при рассмотрении делимости на "алгебраические числа", начинают заглядываться на теорему Ферма. И не следует так быстро решать, что ты будешь делать в областях, которые тебе пока еще очень мало известны. А насчет теоремы Ферма надобно быть особо осторожным. Дело в том, что формулировка этой теоремы очень проста, и на первый взгляд неопытному человеку кажется, что и вся проблема проще простого, что надо только не быть "ученым педантом" и обладать в небольшой степени тем, что именуется "здравым смыслом", чтобы разобраться и покончить со всей проблемой одним махом. В дальнейшем ты и сам увидишь, что на свете существует немало задач, которые очень просто формулировать, но которые отнюдь не просто решить, и что никакой связи между простотой формулировки задачи и простотой ее решения не имеется.
Укажу тебе еще вот на какое обстоятельство. Я совершенно уверен, что ты забрался в эту книжку главным образом для того, чтобы в дальнейшем ознакомиться с другими, более трудными книжками...
- 95 -
- Да-да! - перебил его Илюша. - Конечно! Вот из-за этого-то...
- Хорошо, - спокойно отвечал ему Радикс. - Я понимаю это. И вполне тебе сочувствую. Но имей в виду, что когда ты доберешься до этих более трудных книжек, то очень скоро убедишься, что в теории чисел, науке вообще очень трудной, существуют уже решенные задачи - кстати сказать, тоже на первый взгляд не очень сложные, - но разобраться в том, как они решаются, и усвоить, какова основная идея решения, может только человек с куда более основательной, подготовкой, чем у тебя, и то не сразу, а после долгих и упорных трудов, измеряемых для отдельного случая не часами, а неделями. Осмелюсь тебе еще доложить, что на свете было, есть и будет несметное число всяких бездельников, которые отравляют жизнь настоящим ученым, заваливая их своими творениями по вопросу о квадратуре круга и доказательствами теоремы Форма и требуя не только внимания и помощи, но и тысячных премий, и поднимают дикие вопли о бесчеловечности, когда их просят по-хорошему не приставать с чепухой и отвязаться. Я, конечно, не думаю, чтобы ты в будущем пристал к этому стаду, потому что сам видел сейчас, что эту задачу голыми руками не возьмешь, но все-таки, дружок, надо быть поосторожнее! Ты должен понять вот что, милый друг: если ты подходишь к теореме Ферма всерьез, как подобает ученому, то надлежит вооружиться всеми средствами современной науки, иначе ничего не сделаешь. А чудаки, которые надеются одолеть ее с помощью элементарных средств, напоминают того дурачка, который, увидав в первый раз телескоп, наведенный на луну, решил, что только заведомые глупцы могут пользоваться таким сложным аппаратом, а он, умник, поступит попроще: просто сколотит большую деревянную лестницу, залезет на небо, достанет оттуда луну, поставит ее к себе на стол, разглядит и всем желающим расскажет.
Вот как!
- 96 -