Схолия Семнадцатая,

Схолия Семнадцатая,

в которой Илюша припоминает разные разности из предыдущих схолий, оставшиеся не совсем ясными, а Радикс рассказывает ему об истории надгробного камня Архимеда, погибшего от меча римского грабителя, о спирали Архимеда.

Затем следует масса любопытнейших подробностей о веретенах, о шотландском сыре, о фокусах, которые придумали древнегреческие геометры, о том, как в старину индусы решали кубические уравнения, как в шестнадцатом веке бедный мальчик-заика учился на кладбище грамоте, а также почему у квадрата такая большая площадь и что по этому поводу думает касательная; о битве за высоту над городом Клермоном. А затем Илюша присутствует при волшебном опыте, который поясняет, что такое прямая линия и какие чудеса с ней случаются при ее путешествиях в мировом пространстве. Вслед за этим Илюша и Радикс видят нечто чрезвычайно странное... Но пока это еще страшный секрет, который, может быть, раскроется в будущем...

- Ну, теперь ты доволен? - спросил Радикс.

- Да, - сказал Илюша, - я узнал массу интересных вещей. Теперь я, кажется, понимаю, почему так уважают Архимеда и как велико могущество Змия. Но только у меня есть еще вопросы.

- Ну что ж! Давай твои вопросы. Может быть, как-нибудь вдвоем разберемся.

- 353 -

- Помнишь, ты где-то, кажется в Схолии Одиннадцатой, перечислял мне титулы Величайшего Змия? Так вот, я хотел тебя спросить о них. О площадях я теперь понял: путем интегрирования можно получить площадь любой криволинейной фигуры. С объемами я тоже как будто сообразил. Это, вероятно, делается путем суммирования бесконечно тонких слоев тела, как Демокрит считал объем конуса?

- Правильно. А сейчас мы можем закончить вывод формулы для объема конуса, о которой мы толковали в Схолии Пятнадцатой. Если рассечь конус плоскостью, проходящей через его ось, то получится треугольник. Из рассмотрения этого треугольника ты убедишься в том, что радиус основания цилиндрика, отстоящего на расстояние h от вершины, определится при помощи пропорции:

r/R = h/H

где R - радиус основания, а H - высота конуса. Отсюда

r = (R/H)h

и площадь основания цилиндрика будет

?r² = ?(R²/H²)• h²

Теперь предположим, что мы делим высоту конуса на n частей.

Тогда высота каждого цилиндрика будет H/n, а последовательные расстояния оснований цилиндриков от вершины конуса, то есть радиусы этих оснований, будут

h, 2h, 3h,... nh.

Поэтому сумма объемов этих цилиндриков равна

?(R²/H²)• H/h (h² + 2²h² + ... + n²h²) = ? R²/H (1² + 2² + ... + n²) / n³

Как и в предыдущей схолии, ты убедишься, что предел последнего множителя при неограниченном возрастании n будет равен 1/3, и для объема конуса получается выражение:

1/3 ? R² H

- 354 -

Множитель 1/3 ты можешь рассматривать как лежащую на этой формуле печать Великого Змия.

- Как интересно! - сказал Илюша. - А с объемом шара можно справиться таким способом?

- Я приведу тебе только чертеж, который, по преданию,

Архимед завещал вырезать на своем надгробном памятнике.

Здесь ты видишь цилиндр, вписанный в него шар радиуса R и конус. Разбей все три тела на тонкие "цилиндрические" слои и легко установишь, что на расстоянии h от центра шара площадь поперечного сечения самого шара равна:

? (R² - h²) = ? R² - ?h²

то есть разности площадей поперечных сечений цилиндра и конуса. Суммируя объемы всех тонких цилиндрических пластинок и переходя к пределу, как мы это делали для конуса, находим, что и объем шара тоже будет равен разности объемов цилиндра и конуса. Этот закон и был открыт Архимедом.

Таким путем можно найти не только объем всего шара, но и объем любого шарового слоя. В формулы войдет опять множитель 1/3, печать Великого Змия, свидетельствующая о том, что здесь приходилось интегрировать функцию, содержащую квадрат переменной (в данном случае - квадрат высоты h).

- Очень хорошо! - отвечал мальчик. - А теперь вот еще что. Ты назвал Великого Змия развертывателем спиралей. Что это значит?

- Это значит, что путем интегрирования можно получить длину дуги любой кривой, например параболы, окружности и так далее. В частности, и длину спирали. Мы ведь уже говорили, как находится длина дуги.

- Но я должен сознаться, - вздохнув, сказал Илюша, - что до сих пор не пойму, как при помощи этой спирали получается длина окружности, то есть почти квадратура круга?

- Конечно, история эта необычная, - отвечал Радикс. - Из-за нее в средние века долго ломали голову над вопросом квадратуры круга и ни к какому разумному заключению не пришли. Совсем запутались. Начали даже поговаривать, что геометрия - наука, может быть, не слишком точная... Вес это довольно сложно.

- 355 -

Могу рассказать лишь о самом принципе этой работы Архимеда. Дело было так. До Византии еще дошла биография Архимеда, написанная его учеником Гераклидом. Затем она была утрачена. Но ее еще читал и изучал византийский математик Евтокий, оставивший очень ценные комментарии к сочинениям Архимеда. По словам Евтокия,

Архимед дал два решения о квадратуре, причем одно из них было приближенным...

- Двадцать две седьмых! - воскликнул Илья.

- Правильно! - отвечал Радикс. - А другое решение Архимеда было точным!

- А разве это возможно?

- Слушай меня как только можешь внимательно! Я расскажу тебе, в чем заключается принцип этой работы Архимеда. А уж потом мы постараемся рассудить, что возможно и что невозможно. Здесь вся сила в том, что Архимед, построив свою спираль, ввел в античную математику еще одну, как говорили греки, "механическую" замечательную кривую, то есть такую, свойства которой не могут быть изложены средствами, близкими к элементарной геометрии (в отличие, например, от многих, хотя и не всех свойств конических сечений). Такова и квадратриса, о которой мы уже говорили (эти кривые называются "трансцендентными" кривыми). В силу этого сочинение Архимеда о спиралях и критиковалось в древности! И даже очень жестоко! Только уж в семнадцатом веке в Европе эта дивная работа Архимеда наконец была оценена по своему превосходному достоинству. Нужны были новые основания, новый подход к пониманию для такой кривой, и гений Архимеда нашел их. Эти новые основания и были дифференциальным подходом к изучению кривой, то есть тонким изучением скорости изменения некоторых связанных с ней отрезков. И делается это опять-таки через ту же касательную.

Этот метод восходит к методу исчерпания Евдокса, но еще сильнее его. Он просто берет, как говорится, быка за рога.

Слушай далее, и ты поймешь, в чем тут дело. Итак, самым главным в работе Архимеда была задача провести касательную к этой новой своеобразной кривой, которую он назвал спиралью. Она, как и квадратриса, построена с помощью двух движений. Первое - это вращение радиуса-вектора (именно так называется тот отрезок прямой, о котором мы уже вспоминали в Схолии Пятнадцатой; его конец чертит нашу спираль), второе - рост этого радиуса-вектора пропорционально углу, на который повернулся вектор. Длина радиуса-вектора и угол его поворота называются полярными координатами точки, являющейся концом радиуса-вектора. Догадываешься, почему эти величины можно называть координатами?

- 356 -

- Кажется, догадываюсь... Я думаю, что с помощью радиуса-вектора, зная его начало, то есть полюс всего этого построения, и зная угол, под которым радиус-вектор находится по отношению к полярной оси, и его длину, можно определить любую точку на плоскости. Вот и выходит, что это координаты!

- Правильно, - подтвердил Радикс, - теперь слушай дальше. Построим с тобой касательную к спирали в заданной точке, причем будем учитывать направление движения спирали, то есть либо от полярной осп против часовой стрелки, либо обратно. Первое из этих направлений мы будем считать положительным...

- Постой! - прервал его Илюша. - Например, граммофонная пластинка вращается по часовой стрелке, то есть в отрицательном направлении, а если бы мы поместили наш радиус-вектор в самую середину пластинки да еще заставили бы его обегать пластинку, начиная не с края, как обычно делается, а с серединки (где полагается находиться полюсу полярных координат), то он бы вращался в положительном направлении... Только всю музыку он сыграл бы сзади наперед! Но ведь нам сейчас это неважно. Так я говорю?

- Ты говоришь верно. Итак, если мы построим эту касательную, а через полюс системы координат - перпендикуляр к радиусу-вектору, а другой перпендикуляр к касательной через точку касания (а этот перпендикуляр, как ты знаешь, называется "нормалью") и заметим точки m и N, в которых пересекаются с первым перпендикуляром касательная и нормаль, то отрезок ОТ будет полярной подкасательной, а отрезок ON - полярной поднормалью. Многие кривые могут быть полностью охарактеризованы отношениями их важнейших характеристик, то есть: касательной, нормали, подкасательной и поднормали. Закон изменения этих характеристик заключает в себе нечто постоянное, что и является смыслом и существом рассматриваемой кривой.

- 357 -

Так, для параболы этот закон особенно прост: если изобразить параболу в обычных декартовых координатах, но положить ее "набок", так, чтобы ось абсцисс была ее осью (см. чертеж на стр. 246 в Схолии Тринадцатой), то в таком случае поднормаль параболы (длина поднормали) есть величина постоянная. Когда надо найти поднормаль у параболы, мы проводим к ней касательную в данной точке и строим нормаль в той же точке (перпендикуляр к касательной); затем из нашей точки опускаем перпендикуляр на ось параболы (а поскольку парабола у нас лежит "на боку", то ее ось совпадает с осью абсцисс; что же до вершины параболы, то мы - можем ее поместить в самое начало координат). Теперь отрезок оси абсцисс, лежащий между концом этого перпендикуляра и пересечением нормали с осью абсцисс - и есть искомая поднормаль. Для параболы поднормаль есть величина постоянная (ты на досуге сделай чертежик и посмотри!). Подкасательная есть тоже отрезок на оси абсцисс от того же конца перпендикуляра до пересечения касательной с осью абсцисс. Отсюда ясно, как много значат при изучении кривых касательная и все с ней связанное, ибо через нее мы получаем для кривых очень важные, точно определяющие их характеристики. Архимед, анализируя свою спираль, нашел и доказал, что и для этой кривой полярная поднормаль постоянна. Вот это было одно из замечательных открытий Архимеда. Ясно?

- Что-то я плохо понимаю, как это "постоянная"? Всегда одна и та же?

- Именно так: она всегда одна и та же и равна постоянной величине, входящей в полярное уравнение кривой. Зная уравнение кривой, мы уже знаем, чему равна длина поднормали. Слушай дальше и ты поймешь, в чем тут дело. Это особое свойство данной связи между радиусом-вектором r и полярным углом ?: если мы будем искать методами высшего анализа кривую, у которой поднормаль в полярных координатах постоянна, мы неминуемо придем к Архимедовой спирали. Это се важное свойство подобно свойствам, определяющим "геометрическое место".

- И так будет в любой точке спирали?

- Разумеется! В этом-то и вся сила, что в любой. Это основной закон Архимедовой спирали. Напишем уравнение спирали в полярных координатах так, как мы писали в Схолии Двенадцатой уравнение кривых в декартовых координатах. Мы уже знаем, что длина радиуса-вектора в данном случае прямо пропорциональна углу, на который повернулся этот вектор.

- 358 -

Разумеется, когда вектор пройдет целый круг, то следующий круг мы начнем считать от 360°, это будет 361° (или в радианах 2?, а затем 2? + ?/180 и так далее). Назовем радиус-вектор буквой r, а угол буквой ? и напишем уравнение:

r = ??.

Это и будет самое простое уравнение спирали в полярных координатах. Чем больше угол, тем длиннее и радиус-вектор.

Пропорциональность может быть различной, поэтому в уравнении имеется коэффициент (или параметр) ?.

- А что такое параметр?

- Параметр представляет собой определяющий коэффициент, характеризующий кривую. Так, например, угловой коэффициент прямой есть ее важнейший параметр.

В данном случае для нашей спирали а и есть постоянная поднормаль (или субнормаль) Архимедовой спирали. Чем он больше, тем шире и разворот спирали. Чем он меньше, тем ближе один к другому ложатся витки спирали. Он либо раздвигает, либо сдвигает спираль. Например, когда ты заводишь часы с пружиной, то она сжимается. Полагая, что пружина в плане близка к Архимедовой спирали, ты, заводя часы, уменьшаешь ее параметр а.

- Как будто что-то я начинаю соображать, - сказал Илюша. - Это немного похоже на то, если изменять угол конуса при вершине. Конус, конечно, станет другой.

- В этом роде. А теперь мы уже подходим к концу нашего рассказа. После того как Архимед установил это замечательное свойство спирали, он нашел еще и выражение ее полярной подкасательной (субтангенса). Если уравнение спирали таково, как мы написали, то в современных обозначениях полярная подкасательная спирали будет равна r?. Теперь если у нас некоторый угол ?₁ будет равен 2?...

- То есть если радиус-вектор обойдет целый круг?

- Именно! Тогда соответствующий этому углу радиус-вектор по нашему уравнению будет равен: r₁ = 2??, а его подкасательная по ее уравнению, которое мы только что записали, будет:

4?²а = 2?r₁,

то есть равна длине окружности, радиусом которой является радиус-вектор в конце первого витка спирали. Вот и получается при помощи геометрического построения совершенно точное определение длины окружности. Об этом и говорил византиец Евтокий Аскалонский.

- 359 -

Средневековые математики не разобрались в том удивительном построении, которое мы сейчас вкратце рассмотрели. То, что писал тонкий комментатор Архимеда - Евтокий об этом решении, вовсе их сбило с толку: начали даже поговаривать, что "по-видимому" сама геометрия - наука "неточная"! Их путало еще и то, что им уже было известно о существовании целого ряда приближений для определения числа ?: в библии дается число 3,0; у Витрувия, римского архитектора, - 3,125 (вавилонское приближение); у самого Архимеда - 3,14... Которое из решений правильно? А спирали Архимеда вовсе не давали численного решения, что еще больше их смущало.

- Как интересно! - воскликнул Илюша. - Это напоминает случай с диагональю квадрата: построить - одна минута, а вычислить невозможно. Только со спиралью гораздо сложнее...

- Это верно. Но надо еще принять во внимание, что это не простое геометрическое построение, а такое, в которое входит "механическая кривая", для которой движение есть очень важный элемент. Многие древнегреческие математики были из-за этого не совсем довольны построением Архимеда, хотя это самый настоящий шедевр математической изобретательности и остроумия. Однако разобрать весь ход рассуждений Архимеда, понять все его доказательства - дело не такое простое, как мой коротенький рассказ. Уникурсал Уникурсалыч тебе объяснил, как ты должен поступить. Ты понял?

- Почти... Я буду стараться...[26]

- Стоит постараться, уверяю тебя. Это замечательное сочинение Архимеда оказало огромную помощь европейским ученым, когда они начали строить высший математический анализ.

- А почему ты вспоминал про веретена и про центры тяжести?

- Центры тяжести различных тел тоже вычисляются путем интегрирования. Что же касается веретена, то это веретено Торичелли...

- Это тот самый, чья "торичеллиева пустота"?

- Тот самый. И его веретено - тело вращения, которое получается вращением кривой обратных величин вокруг оси игреков. Это было очень интересным и неожиданным открытием. Оно было сделано в одно и то же время Торичелли и замечательным математиком Бонавентурои Кавальери, чье имя тебе тоже должно быть известно. Дело в том, что вершина этого тела уходит невероятно тонкой иглой в бесконечность.

- 360 -

И все-таки оказалось, что объем этого бесконечно длинного тела вычислить можно, так как игла, уходя вверх, безгранично утончается, причем это утончение происходит таким образом, что уменьшение ее толщины компенсирует ее удлинение.

Если эту кривую вращать около оси игреков, то получится тело варщения, которое и будет веретеном Торичелли; игла его, безгранично утончаясь, уходит в бесконечность.

Другими словами, если бы столб воды, подымаясь, наполнял все большую и большую часть этого веретена при неограниченном увеличении его высоты, объем всего столба все-таки стремился бы к конечному пределу. Когда это вычисление было сделано, математики еще немного подвинулись вперед в вопросе о том, как быть с задачами, в которых участвует бесконечность.

- А значит, раньше они не знали, как это надо делать?

- Многие утверждали, что бесконечность вообще нечто такое, что выше человеческого понимания. Ученые всегда боролись с этим суеверным отношением к понятиям, которые ведь изобрел сам человек. Смысл этой борьбы, во-первых, в утверждении наукой, что нет такой тайны природы, которой нельзя одолеть, а во-вторых, в стремлении добиться того, чтоб самые хитрые и трудные мысли человека были не просто чудесами, а работали на пользу людей.

- Ну, а про магнитные и электрические поля я как-то слышал, что целый ряд задач из физики решается тоже таким путем?

- 361 -

- Конечно. Без того, что называется в математике анализом, то есть без дифференциалов и интегралов, вообще никакой электротехнической культуры не было бы, а тем более таких чудес, как радио, телевидение и прочее.

- Так, - сказал Ильюша, - хорошо. А теперь ты расскажи мне немножко про логарифмы. Правда, мы скоро их будем проходить, но все-таки ты расскажи. И потом, какое же они имеют отношение к гиперболе?

Спираль Архимеда, которая умеет делить угол на любое число

- Если взять две прогрессии и написать одну около другой - арифметическую и геометрическую, - то мы получим табличку, которая напечатана на странице 361.

Второй столбец (под буквой "Г") - это ряд степеней числа "два". А первый (под буквой "А") дает самые степени. Не правда ли?

- Конечно, - отвечал мальчик. - Два в четвертой степени будет шестнадцать, а в пятой - тридцать два. Понятно!

- Так вот, допустим, что надо умножить четыре на шестнадцать. По правилу сложения степеней, так как четыре - это два в квадрате, а шестнадцать - это два в четвертой степени, просто можно сложить эти показатели. Складывая два и четыре получаем шесть, а два в шестой степени есть шестьдесят четыре. Так как есть таблица, то нет необходимости вычислять, чему равно два в шестой степени, а просто надо найти то число, которое стоит во втором столбце рядом с цифрой "шесть" из первого столбца. Следовательно, теперь можно вместо умножения складывать. Ты находишь во втором столбце свои множители. Потом выписываешь соответственные им числа из первого столбца, складываешь их, а получив сумму, смотришь, какое число во втором столбце соответствует этой сумме. Ну-ка, попробуй сам!

Декартова равноугольная спираль. Она может заменять умножение сложением.

- 362 -

- Сейчас, - сказал Илюша. - Я буду множить 2048 на шестнадцать. Двум тысячам сорока восьми соответствует и первом столбце одиннадцать, шестнадцати соответствует в первом столбце четыре. Надо, следовательно, сложить одиннадцать и четыре. Получаю пятнадцать. Ищу пятнадцать в первом столбце, а рядом нахожу во втором столбце ответ - 32768.

Проверяю умножением... Совершенно верно!

- Ну вот это и есть принцип логарифмов. Сложение заменяет умножение, вычитание заменяет деление...

- А! Как со степенями! - воскликнул Илюша. - Значит, чтобы возвести в степень, надо умножить, а чтобы извлечь корень - разделить. Я попробую! Во-первых, деление. Например, нужно разделить 524288 на 4096. Значит, я должен вычесть из девятнадцати двенадцать. Получается семь, то есть выходит в результате деления сто двадцать восемь. Ну-ка, попробуем на бумажке. Так и есть! Теперь, во-вторых, я хочу возвести шестьдесят четыре в квадрат. Значит, надо шесть умножить на два. Получаю двенадцать, окончательный результат по таблице - 4096. Проверим!.. Точно! Теперь, в-третьих, из 65 536 я извлекаю квадратный корень. Значит, придется шестнадцать разделить на два. Получаю восемь. Выходит двести пятьдесят шесть. Ну-ка, я проверю!

Повозившись немного, Илюша извлек корень и сказал:

- Да, вот уж с корнем-то ясно, какая получается значительная экономия времени! А тут разделил на два - и все.

А если надо кубический корень извлечь? С кубическим совсем заплачешь... Впрочем, постой-ка! Ведь с этой табличкой можно, наверно, и кубический корень попробовать извлечь. Если я возьму, например, число 262144 и извлеку из него кубический корень? .. Значит, нужно восемнадцать разделить на три.

Получаю шесть. А шести соответствует число шестьдесят четыре. Проверим! Шестьдесят четыре в квадрате, как я уже выяснил, равняется 4096. Ну, а если я умножу это число еще раз на шестьдесят четыре?.. Совершенно верно. Ведь так можно, пожалуй, и четвертой степени корень извлечь? Правильно?

Извлекаю корень четвертой степени из числа 1 048 576... и получаю тридцать два. А ну-ка, проверим! Тридцать два в квадрате будет 1024, а 1 024 в квадрате - 1048576. Да это замечательный способ! А что такое основание логарифмов?

- В нашей табличке основанием будет два. Это то число, степень которого ты видишь во втором столбце. Общий принцип сопоставления двух прогрессий, арифметической и геометрической, был известен еще Архимеду. Это, конечно, не значит, что Архимед представлял себе смысл логарифмов, но для математиков нового времени его замечания могли иметь известное значение.

- 363 -

- Теперь я понимаю, что значит эта фраза: "Логарифм какого-нибудь числа есть показатель степени, в которую надо возвести основание, чтобы получить это число". В нашей табличке основание есть двойка, первый столбец - это логарифмы, а второй - числа. Ну, а чем же отличаются настоящие таблицы логарифмов от этой?

- Только тем, что у них основание не два, а десять.

- Так это очень просто! - вскричал Илюша.

- Несложно, если не считать того, что во втором столбце стоят не только точные степени десяти, но и все промежуточные числа, - отвечал Радикс. - А записываем мы это так:

log₂32 = 5,

то есть: "Логарифм тридцати двух при основании два равен пяти". А при основании десять тот же самый логарифм будет равен:

1,50514997831990597607,

с точностью до девятнадцатой цифры после запятой.

- А можно перейти от одного основания к другому? - спросил Илюша.

- Это нетрудно, - отвечал Радикс. - Если ты разделишь двоичный логарифм на десятичный логарифм, то получишь так называемый модуль перехода, с помощью умножения на который из любого десятичного логарифма получишь двоичный. В данном случае этот модуль будет примерно равен 3,3219. Вывести общее правило для получения модуля перехода тоже дело нехитрое. Раз ты умеешь из старого основания а получать любое число, то задача, очевидно, сводится к тому, чтобы из нового основания b получить старое основание а.

Но для этого новое основание b надо возвысить в степень с показателем...

- Логарифм a при основании b, - отвечал Илюша.

- Правильно. Значит, если возвести новое основание в степень log_ba, то будет а. Ну, а если нужно получить какое-нибудь число N, в какую степень ты должен возвысить полученное число а?

- В степень, показатель которой есть логарифм этого числа N при основании а, то есть log_aN.

- Так. Значит, чтобы из b получить N, нужно сначала возвысить b в степень log_ba, а потом результат возвысить в степень log_a N. Но при возвышении степени в степень показатели перемножаются, следовательно, можно сказать, что для получения числа N надо возвысить основание b в степень с показателем

log_ba • log_aN.

- 364 -

Это и есть, стало быть, логарифм числа N при основании b, и ты можешь написать

log_bN = log_ba • log_aN

Значит, log_ba и есть модуль для перевода логарифмов при основании а в логарифмы при основании b. Он есть не что иное, как логарифм "старого" основания а по "новому" основанию b. Ну, а теперь попробуй сообразить, какая бы вышла таблица, если бы вместо основания "два" мы взяли основание "восемь" (см. таблицу).

- Основание увеличивается... значит, против единицы в первом столбце будет стоять теперь уж не два, а восемь... Ну, так, значит, логарифмы уменьшатся. Вот какая будет тогда табличка. И действительно, так и выходит: здесь множитель 1/3 есть логарифм "старого" основания "два" по "новому", то есть по основанию "восемь". А если бы от этой новой таблички надо было перейти к логарифмам с основанием "два", то пришлось бы множить на три, а три и есть логарифм восьми по основанию "два".

- Правильно, юноша! Ну вот, как видишь, штука не такая хитрая. А польза от логарифмов очень большая. Представь себе, что надо извлечь из семи корень шестьдесят седьмой степени. Как ты это сделаешь? А с логарифмами это несложное дело. Взял таблицы, нашел логарифм семи, разделил его на шестьдесят семь, потом нашел опять в таблицах число, соответствующее частному от деления, - вот и готово!

- Интересно! - сказал Илюша, - А сколько будет корень шестьдесят седьмой степени из семи?

- Немножко больше единицы.

- Ну да, - отвечал Илюша, - конечно, меньше единицы быть не может, потому что дробь от возведения в степень будет только уменьшаться.

Ясно! Ну, а при чем здесь гипербола?

- История довольно интересная, но немножко длинная.

Если, впрочем, тебе охота послушать, можно рассказать. Начнем с того, что возьмем гиперболу, уравнение которой будет:

y = 1/x

- 365 -

Я думаю, что ты уж встречался с ней, и не однажды. Если ее начертить, то получится хорошо известный тебе график обратной пропорциональности. Ясно, что если рассматривать гиперболу как коническое сечение, то мы получим только одну ее ветвь. Подставляя в уравнение данные, начиная с единицы, мы получим табличку. А теперь возьмем часть площади под гиперболой, которая у нас заштрихована на чертеже, - часть гиперболы, ограниченную двумя ординатами, соответствующими абсциссам "один" и "два", и осью абсцисс. Вот с этим-то небольшим кусочком гиперболы мы начнем колдовать. Как ты полагаешь, удастся ли нам сдвинуть этот гиперболический трапецоид направо, вдоль по абсциссе так, чтобы ордината, соответствующая точке абсциссы "один", попала как раз на то место, где сейчас находится ордината, соответствующая точке абсциссы "три"?

- Хм... пока не знаю... - протянул Илюша. - Ну, посмотрим!

- Посмотрим! - посмеиваясь, согласился Радикс. - Мы ведь можем изобрести специальный прибор для рассмотрения этой проблемы. Вот он, смотри!

Перед Илюшей немедленно появился большой, немного наклонный стол, вроде витрин в музейных залах. На нем под зеркальным стеклом шли оси координат. Однако на этот раз Радикс почему-то повернул эту систему на девяносто градусов против часовой стрелки, так что теперь ось игреков пошла горизонтально налево, а ось иксов стала вверх вертикально.

Между осями проходила ветвь гиперболы, близко подходя наверху к оси иксов.

Когда мальчик пригляделся, он заметил, что это не одно стекло, а два, между которыми имеется зазор шириной в два миллиметра, для которого гипербола и ось абсцисс образуют сплошные продольные стенки. Промежуток между этими двумя стенками был сверху и снизу открыт. Радикс взял тоненькую резиновую перегородочку и вставил ее снизу в зазор против точки на оси абсцисс, отвечающей значению х = 1, и перегородочка стала вплотную в промежуток между осью абсцисс и гиперболой. Затем Радикс взял банку с ртутью и осторожно сверху налил ртути в зазор между гиперболой и осью абсцисс, так что ртуть заполнила промежуток между ними над перегородкой до уровня, отмеченного х = 2 на оси иксов.

- Вот кусочек гиперболической площади, - сказал он. - Так?

- 366 -

Затем Радикс осторожно передвинул резиновую перегородочку от абсциссы "1" до абсциссы "3".

Илюша внимательно посмотрел и увидел, что теперь поверхность ртути оказалась сверху против точки с абсциссой х = 6.

- Понятно? - спросил Радикс.

- Из одного трапецоида вышло три, - задумчиво констатировал мальчик. - Было от одного до двух, а теперь стало от трех до шести. А как это получилось, не знаю,...

Радикс махнул ручонкой, и вся ртуть немедленно исчезла.

Поглядев машинально на банку, Илюша заметил, что количество ртути в банке снова увеличилось, а сбоку прыгает одна капелька, никак не может попасть обратно в банку.

Вот как Радикс сначала поставил этот чертеж

А потом повернули обратно

- 367 -

- Возьмем, - сказал Радикс, - очень тонкую полоску, толщиной в долю микрона. Если взять еще тоньше, так, пожалуй, и не увидишь. Так ведь и делали математики в старое время, когда свойства бесконечно малых не были еще достаточно хорошо исследованы и обсуждены. В этом роде действовали, например, Архимед, Кеплер и Кавальери.

Это было начало возникновения анализа бесконечно малых, и при разрешении некоторых, сравнительно простых вопросов в руках крупных ученых этот несовершенный способ давал серьезные, а для тех времен даже и решающие результаты. Во всяком случае, без этих первых, робких и грубых попыток интегрировать и дифференцировать с помощью таких, как выражался Кавальерн,"неделимых" полосок вряд ли наука сумела бы создать то, чем стала математика в наше время. Итак, мы берем такую тончайшую полоску как раз против абсциссы с пометкой "один". Впрочем, сказать по совести, мне надоело возиться с перегородкой, и я привык, чтобы ось иксов шла горизонтально. Поэтому я попрошу ртуть теперь уж без подпорок занимать полагающееся ей пространство между двумя вертикальными ординатами гиперболы.

Оси послушно повернулись, а Радикс сердито глянул на банку со ртутью. Бедная капелька, которая никак не могла попасть обратно в банку, опрометью кинулась обратно к стеклянной гиперболе и немедленно растянулась против абсциссы "1" тоненькой-претоненькой блистающей серебряной ниточкой.

- Хороша "неделимая" полоска? - спросил Радикс.

- Да, - отвечал Илюша, - уж поистине "неделимая".

- Допустим! - усмехнулся Радикс. - Пусть на этот раз будет по-твоему. Это, конечно, не совсем по Кавальери... Ну, все равно, не будем уж на этот раз придираться!.. Но представь себе, что я хочу ее переместить к абсциссе с пометкой "три". Поскольку эта полоска имеет некоторую конечную толщину, хоть и очень небольшую, она, чтобы уместиться под гиперболой, должна стать короче, а самое главное - толще.

Так вот: во сколько раз она станет толще?

- Поскольку уравнение гиперболы дает для игрека величины, обратные иксу, то ясно, что для абсциссы "один" мы и ординату получаем "один", а для абсциссы "три" мы получаем "одну третью". Опираясь на уравнение гиперболы, я утверждаю, что наша полоска должна, если ее перенести от абсциссы "один" к абсциссе "три", стать толще в три раза, ибо одна треть в три раза меньше единицы. По-моему, иначе быть не может.

Немедленно тончайшая ртутная ниточка сложилась втрое и быстро двинулась направо.

Действительно, когда она добралась до абсциссы "три", она стала той длины, какой в этом месте была ордината гиперболы.

- 368 -

- Ясно, - сказал Илюша.

- А далее, - спросил Радикс, - если взять еще одну тончайшую полоску, которая будет стоять рядом с первой, то с ней что будет?

- Я не могу сообразить сразу, как это будет, - отвечал мальчик, - но мне кажется, что если бы мы взяли целый полк тончайших полосок и стали их так перемещать...

Площадь.

- А ведь когда я перемещал целый трапецоид, я именно это и делал! - заметил Радикс.

- Ах да! - спохватился Илюша. - Разумеется. Но я уж буду пока по-своему рассуждать Итак, ты перемещаешь, скажем, две полоски, они стоят рядом... а стало быть, если первая, сложившись втрое, попадет в абсциссу "три", то ведь и вторая полоска очутится на расстоянии втрое более дальнем, а следовательно, и ей придется сложиться опять-таки втрое. А если это так, то очевидно, что и любая (то есть третья, четвертая, пятая и так далее) полоска тоже должна будет потолстеть при таком перемещении ровно втрое. А тогда и все они вместе, то есть вся площадь трапецоида, тоже должны будут стать втрое толще. И теперь понятно, почему ртуть заняла площадь от "трех" до "шести" по абсциссе.

- Превосходно! - ответствовал Радикс- Ну, а скажи мне, что будет, если я возьму площадку от икса, равного единице, до икса, равного некоторому n, и перенесу ее опять направо, так, чтобы ее начало совпадало с иксом, равным какому-то m?

- 369 -

- Придется растянуть всю эту площадку в m раз. И она тогда займет расстояние по абсциссе от m до mn.

- Итак, - продолжал Радикс, - допустим теперь, что я возьму одну площадочку от "один" по абсциссе до "два".

И теперь я хочу к ней пристроить сбоку, справа, еще одну точно такую же, то есть удвоить мою площадку. Затем, когда я пристрою вторую, я захочу пристроить третью, снова той же самой величины, то есть утроить первоначальную площадку.

Затем пристрою четвертую, пятую и так далее. И все они должны быть равновеликими. Ну, что из этого получится?

Илюша задумался на минутку, а потом сказал так:

- А может, мне снова поможет наше рассуждение со ртутью? Если трапецоид перенести от абсциссы "один" к абсциссе "два", то ясно, что он растянется вдвое. Следовательно, и вторая пристраиваемая площадочка будет длинней по абсциссе, то есть продолжится от абсциссы "два" до абсциссы "четыре". Третья пристраиваемая площадка будет вдвое длиннее второй и займет место до абсциссы "восемь", а четвертая - вдвое длинней третьей, пятая - вдвое против четвертой и так далее. Значит, если начинать всегда от абсциссы "один" и брать первоначальную площадку, кончающуюся у абсциссы "два", то площадка, вдвое большая по площади, кончится у абсциссы "четыре", вчетверо большая по площади - у абсциссы "шестнадцать", впятеро большая - у абсциссы "тридцать два", и так далее, и так далее. Да ведь это выходит геометрическая прогрессия, раз каждая площадка вдвое длинней по абсциссе. Вот в чем дело! Площади в арифметической прогрессии, конечные абсциссы - в геометрической.

- Тебе ясно, какая у гиперболы связь с логарифмами?

- Да, - ответил Илюша.

- Если последовательно рассматривать абсциссы "два", "четыре", "восемь", "шестнадцать", "тридцать два"... идущие в геометрической прогрессии, и вычислять площади соответствующих гиперболических трапеций, начинающихся от абсциссы х = 1, причем единицей для измерения площадей будет площадь первой гиперболической трапеции от х = 1 до х = 2, то эти площади будут идти в арифметической прогрессии, то есть как показатели степеней числа "два", в которые надо возвести это основание, чтобы получить конечные абсциссы "два", "четыре", "восемь", "шестнадцать" и так далее. Поэтому можно сказать, что площадь каждой трапеции, измеренная указанным образом, будет равна логарифму конечной абсциссы при основании "два". Только мне не совсем понятно, почему мы взяли за единицу для измерения площадей именно эту первую гиперболическую площадку?

- 370 -

Ведь за единицу для площадей принимают обыкновенно площадь квадрата со стороной, равной единице длины. Не проще ли и тут взять то же самое?

- Тогда как раз и получишь логарифмы, называемые натуральными, неперовыми, или гиперболическими. Ты можешь повторить все наше рассуждение, но только за начальную площадку придется выбрать гиперболическую .трапецию, простирающуюся от абсциссы х = 1 на такое расстояние направо, насколько это нужно, чтобы под гиперболой получилась площадка, равновеликая квадрату со стороной "один". Ты заметишь по чертежу внизу, что такая начальная площадка должна доходить не до абсциссы х - 2, а немного дальше, приблизительно до 2,7. Эта конечная абсцисса обозначается буквой е и называется неперовым числом. Оно не менее знаменито, чем известное тебе число ?.

Если провести вычисление с большей точностью, то можно обнаружить, что

е = 2,71828 18284 59045 23536 0287471135 26624 99757 54692 80835 55155 05841 72...

Теперь скажи мне: что нужно сделать, если ты захочешь получить вдвое большую площадь, то есть равную двум квадратным единицам?

- Здесь опять все пойдет в геометрической прогрессии, - отвечал Илюша. - Если нужно перенести единичную площадь направо, откладывая ее не от х=1, а от х=е, то надо все площадочки-неделимые втиснуть в промежуток в е раз более тесный и, следовательно, расширять во столько же раз их основания.

Значит, я дойду до абсциссы е • е = е². Дальше будет то же самое. Когда я дойду от х = е до абсциссы х = еⁿ, наберется площадь, равная n.

- Значит, - сказал Радикс, - числа, измеряющие величины гиперболических трапеций в обычной единице меры, будут...

Логарифмами конечных абсцисс при основании е, - отвечал Илюша. - Так это ведь и есть натуральные логарифмы?

Точки А и В лежат на кругах, но которым вписанные шары соприкасаются с конусом. Ясно, что ВА есть величина постоянная? А ну-ка, докажи это равенство!

F₁P + F₂P = BP + РА = ВА

Кто сам докажет, того переводим без экзаменов в следующую схолию. F₁ и F₂- фокусы.

- 371 -

- Вот именно. И заметь, что это рассуждение дает нам в руки способ вычисления этих логарифмов для любых положительных чисел, что далеко не так просто сделать, если искать нужный показатель степени. Потому что вычислять с дробными степенями, как ты сам, вероятно, не раз замечал, не так уж весело. Здесь же можно просто отложить абсциссу, равную числу N, логарифм которого тебе нужен, и измерить площадь гиперболической трапеции от х = 1 до х = N.

- Но это уже будет геометрический способ. А потом как же быть с большими числами?

- На миллиметровой бумаге можно добиться довольно большой точности, а для больших чисел придется уже вычислять. Вспомни, как мы вычисляли площадь, ограниченную дугой параболы. Ты ведь и здесь можешь разбить интересующий тебя участок на большое число частей и вычислить (а не измерять непосредственно) сумму площадей соответствующих тоненьких прямоугольников. Это уже можно сделать с любой степенью точности, то есть той, какая понадобится.

Но есть и более удобные способы вычисления логарифмов.

- А какие же логарифмы применяются на самом деле, -спросил Илюша, - натуральные или какие-нибудь другие?

- Натуральные обладают целым рядом преимуществ перед остальными, и в математическом анализе применяются почти исключительно они. Но в практических вычислениях удобнее иметь дело с десятичными, для которых и составлены таблицы.

А если надо перейти от десятичных к натуральным или наоборот, то пользуются модулем перехода, о котором мы уже говорили. Чтобы получить десятичный логарифм, надо натуральный умножить на

M = 0,43429 44809 032518 276511 289189 1660508 2294397 005803 7675761 1445378 ...

- 372 -

Это число называется модулем десятичных логарифмов.

- А нельзя ли десятичные логарифмы получить тоже как площади гиперболических трапеций?

- Конечно, можно. Перемена основания соответствует, как мы уже видели, просто перемене способа измерения площадей. Если ты в качестве единицы для измерения площадей выберешь основную гиперболическую трапецию, простирающуюся от х = 1 до х = 10, то как раз и получишь десятичные логарифмы. Так как единица измерения увеличилась, то площади будут выражаться меньшими числами, то есть десятичные логарифмы будут меньше натуральных, почему и модуль их меньше единицы.

- А почему обычные логарифмы - десятичные, а не какие-нибудь другие?

- Просто потому, что мы пользуемся десятеричной системой счисления.

Древний халдей, вероятно, выбрал бы для основания не десять, а свое любимое число шестьдесят, если бы он додумался до логарифмов. А в десятеричной системе счисления сразу известны логарифмы чисел 10, 100, 1 000, 10 000 и т. д. Они равны 1, 2, 3, 4... Поэтому, умножая какое-нибудь число на десять, сто и так далее, сразу можно сказать, что десятичный логарифм этого числа увеличится на единицу, на два и прочее, а при делении будет наоборот. Это очень облегчает пользование таблицами.

Илюша помолчал минутку.

- А это что такое? - спросил доктор У. У. Уникурсальян.

- Вот что, - произнес он наконец, - мне кажется, что теперь я могу разобраться, почему при помощи логарифмов умножение заменяется сложением. Если взять гиперболическую площадку от х = 1 до х = n, то это будет логарифм числа n. Если к нему рядом приладить еще одну площадку величиной от х = 1 до х = m, то есть логарифм числа га, то, как мы уже делали раньше, придется вторую площадку растянуть от n до nm, удлинив абсциссу в m раз. Значит, тут конечные абсциссы (то есть числа) перемножаются, в то время как площади складываются.

- 373 -

Вот теперь мне, кажется, все ясно. Значит, одно из конических сечений имеет самое тесное отношение к прогрессиям. Как все это связано!

- Вот эта связь различных разделов математики друг с другом и есть величайшая драгоценность нашей науки[27].

- Как интересно! - воскликнул Илюша. - А скажи, пожалуйста, когда были открыты логарифмы?

- В начале семнадцатого века Джоном Непером, шотландцем.

- А-а! - сказал Илюша. - Вот в чем дело-то! Вот при чем тут шотландский сыр!

- Конечно! Про этого Непера говорили, что он увеличил вдвое продолжительность жизни астронома, потому что с логарифмами можно насчитать вдвое больше, чем без них. Разумеется, нетрудно догадаться, что все, что мы проделали с неделимыми, можно отлично перевести и на современный язык теории пределов, стоит только вместо суммы "неделимых полосок" рассматривать предел суммы бесконечно утончающихся вписанных или описанных прямоугольничков, как мы делали уже в Схолии Пятнадцатой.

- А теперь расскажи еще про гиперболу. Греки определили параболу как геометрическое место. А гиперболу нельзя так определить?

- Можно. И гиперболу и эллипс. В эллипсе есть две весьма замечательные точки. Чтобы показать их тебе, я впишу в конус два соприкасающихся шара: один поближе к вершине конуса, другой подальше. Второй шар будет побольше, первый поменьше. Теперь я просуну между ними секущую плоскость (которая, разумеется, не имеет толщины). Оба шара будут ее касаться в одной точке, если плоскость будет лежать параллельно основанию конуса. И эта точка касания будет центром тон окружности, которая будет сечением конуса этой самой плоскостью. Теперь я начну секущую плоскость наклонять.

Так как шары ее крепко держат, то мы попросим первый шар, который поменьше, потесниться и сделаться немного меньше.

Вот как чертится эллипс.

Кто скажет, в каком отношении друг к другу находятся отрезки F1E и F2E - с одной стороны, и большая ось эллипса AB -с другой? Карандаш уверяет, что стоит ему дойти до точки...

Когда таким образом нам удастся повернуть секущую плоскость под некоторым углом к основанию конуса, то сечение конуса станет уже не кругом, а эллипсом, а два шара будут касаться секущей плоскости (а тем самым и плоскости эллипса) в двух точках, а не в одной.

- 374 -

Эти две точки называются фокусами эллипса. Так вот, эллипс можно определить как геометрическое место точек, сумма расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная. По нашей фигуре эта постоянная равна длине общей касательной к двум шарам. Кстати сказать, не так трудно представить себе, что прямые, соединяющие фокусы с любой точкой эллипса (его радиусы-векторы), каждый раз образуют между собой некоторый угол. Так вот биссектриса этого угла как раз будет нормалью эллипса к данной точке, а следовательно, найти и касательную к эллипсу не очень сложно. В таком случае гипербола есть геометрическое место точек, разность расстояний которых от двух фокусов есть величина постоянная. Вот попробуй нарисуй чертеж с конусом и двумя шарами, при помощи которого это было бы легко доказать. Из этого нового определения эллипса получается простой способ черчения эллипса. В двух точках - фокусах - ты накалываешь на бумагу две кнопки. Потом борешь нитку и связываешь ее колечком так, чтобы вся длина этого кольца была paвна расстоянию между фокусами плюс та самая постоянная сумма расстояний от точек эллипса до двух фокусов. Надеваешь эту связанную нитку на кнопки, а потом поддеваешь ее кончиком карандаша, натягиваешь и чертишь.

Вот как надо чертить гиперболу.

- 375 -

Карандаш тебе как раз вычертит эллипс. Чем ближе поставить при одной и той же нитке фокусы-кнопки, тем больше эллипс будет походить на круг.

Чем дальше их расставить, тем более продолговатым будет эллипс. Если поставить кнопки совсем рядом, а нитку взять подлинней, то эллипс трудно будет отличить от круга, то есть когда фокусы сходятся в одной точке, эллипс превращается в круг. А если ты так далеко расставишь кнопки, что нитка совсем натянется, эллипс превратится в отрезок прямой.

- Так, - отвечал Илюша. - Обязательно попробую. Эллипс ведь очень красивая фигура! Ну, а если взять не сумму расстояний до двух точек и не разность, а, например, произведение?

- Тогда получится овал или восьмерка. Эта фигура называется лемнискатой. Ее построил математик Яков Бернулли. Уравнение этой кривой будет не второго порядка, как все конические сечения, а четвертого.

- Ишь какая важная!

- Это еще невелика важность, - ответил, усмехнувшись, Радикс.

- А начертить параболу и гиперболу труднее, чем эллипс?

- Нет, - отвечал Радикс, - не так уж трудно. Гиперболу, можно начертить так. Возьмем линейку и закрепим ее в одном из фокусов одним концом так, чтобы она могла вращаться вокруг фокуса, как на шарнире. Гипербола определяется, как мы говорили, постоянной разностью между расстояниями от каждой ее точки до двух фокусов. Назовем эту разность 2а и расстояние между фокусами 2с, причем с всегда больше а. У эллипса, кстати сказать, будет как раз наоборот, если называть там 2а суммой соответствующих расстояний.

Так вот, берем линейку, которая должна быть длиннее расстояния 2с, и нитку, длина которой равна длине линейки минус 2а. Один конец нитки закрепляем кнопкой в свободном фокусе (то есть не в том, в котором мы закрепили линейку), а другой ее конец прикрепляем к свободному концу линейки. Теперь, если натягивать кончиком карандаша нитку по линейке и в то же время поворачивать линейку около фокуса, карандаш начертит гиперболу.

- 376 -

Прошу любить да жаловать! Это сама Лемниската Яковлевна Бернулли. Основное ее свойство в том, что произведение [{F₁A) (AF₂)] есть величина постоянная, то есть площадь квадрата со стороной F₁O равна площади прямоугольника со сторонами F₁А и AF₂.