Схолия Двадцатая,

Схолия Двадцатая,

замечательная тем, что представляет собой Схолию Заключительную. А что же такое "схолия"? Откуда взялось это слово?

Так вот, древнегреческое слово "схолэ" означало "досуг", то есть свободное время. А в свободное от работы время люди стали учиться и учить других. Отсюда и наше слово "школа" произошло! Кроме того, ты должен знать, что Бонавентура Кавалъери, верный и высокоученый воспитанник Галилея, в своем сочинении "Геометрия, новым способом изложенная, помощью неделимых непрерывного", напечатанном в 1635 году, изложив свои постулаты, предположения, следствия, теоремы, леммы, определения, приложения и объяснения, доказательства и опыты, нередко присоединяет к ним также и схолии, которые являются разъяснениями к изложенному, подобно тому как схолии нашей книги являются разъяснениями удивительного путешествия И. А. Камова, нашего многоуважаемого героя. Что же касается содержания этой Схолии, то в ней излагается один серьезнейший разговор между близорукой обезьяной и дальновидным вороном, которые толковали друг с другом на чистейшем арабском языке о том, что можно считать вероятным, то есть достойным веры. А вслед за этим Илюше наконец показывают то, чего oн до сих пор никак не мог увидеть, на чем наш поучительный рассказ и кончается.

- 462 -

- Пу-с, - сказал Радикс, - теперь тебе как будто ясно, что тут делает дружище Мним? Может быть, ты, кроме того, хочешь узнать, зачем он этим сейчас занимается? Ну, подожди еще немножко и все узнаешь. Идем-ка далее.

Они двинулись дальше, проходя одну за другой комнаты и залы, украшенные разными геометрическими узорами, необыкновенными телами и сложными аппаратами. Затем они прошли через огромный длинный зал, где почти беззвучно работали громадные машины такого сложного и хитрого устройства, что Радикс только рукой махнул, когда Илюша спросил его, что это такое. Так как Илюша и без того был набит по горло новой для него премудростью, он вздохнул и решил отложить знакомство со всякими этими хитростями на будущее. Но около одного тела вращения, которое вертелось на громаднейшей Центрифуге с бешеной быстротой, то вытягиваясь, то снова сжимаясь, Илюша не мог удержаться и снова спросил Радикса, что это такое.

- Это машина, которая в будущем будет изучать законы землетрясений. Покуда это еще опытная установка. Тут дело в том, что океанские приливы, как ты, может быть, уже слышал, вызываются притяжением Луны. Когда-то Кеплер так и сказал: "Не будь на свете земного тяготения, все океаны вылились бы на Луну!" Так вот, видишь ли, земная кора как бы плавает в магме. Кора эта по отношению ко всей массе Земли представляет собой тоненькую корочку. И она также испытывает весьма серьезные натяжения в результате притяжения Луны. Насколько грандиозны эти сплы, можно составить себе представление, приняв во внимание хотя бы то, что приливная волна океана у берегов Канады достигает пятнадцати метров в вышину. Понятно ли тебе, какая это должна быть сила, если она способна поднять всю необъятную громаду океанских вод на такую высоту? Так вот, существует гипотеза, что влияние этих гигантских сил испытывает и земная кора.

Можно определить с помощью этой машины ту линию на земном шаре, где это напряжение достигает максимальной силы.

Оказывается, что эта линия очень близко проходит около того географического пояса, где как раз наблюдаются наиболее частые землетрясения. Напряжение в этом поясе настолько колоссально, что земная кора его не выдерживает и частично взламывается им. Это явление и называется землетрясением.

Илюша с величайшим уважением посмотрел на странную машину, но не решился больше спрашивать, подавленный грандиозностью задач, которые решались в этом замке. И они пошли дальше.

- 463 -

Один громадный зал был погружен почти в темноту, а по его очень высокому куполу быстро бегали тонкие искорки, описывая сложные петли, а за ними тянулись бледные следы.

Радикс пояснил, что это тоже опытная установка по изучению размеров Вселенной.

Затем они попали еще в один зал. Высоко-высоко над нашими путниками проплывали, бесшумно вращаясь, какие-то странные тела как будто шаровидной формы. Но вот их вращение начинало ускоряться, они как-то странно сплющивались, становясь похожими на эллипсоиды вращения то очень правильной, а то совсем неопределенной формы. Иной раз они превращались в какие-то невероятной величины груши. Эти грушевидные тела, вращаясь с бешеной быстротой, начинали вытягиваться, удлиняться - и вдруг разрывались на два отдельных тела. Тогда то, которое было поменьше, начинало быстро летать около того, что осталось от груши, а остаток этот снова становился чем-то вроде эллипсоида вращения.

Вдруг Илюше почудилось, что вдалеке от него, где-то там, в самой глубине этого зала, мелькнул, а потом задрожал и замелькал какой-то свет. Илюша понял, что перед ним экран очень большого телевизора.

Вдруг экран вспыхнул, а кругом стемнело. Илюша увидел на экране небольшой письменный стол, на нем горела старинная керосиновая лампа с зеленым абажуром. Стол весь был завален папками, тетрадями, рукописями, книгами. Книг было так много, что некоторые лежали прямо на полу. За столом сидела небольшого роста женщина. По-видимому, она была ужасно занята. С воодушевлением писала она что-то, быстрое перо так и летало по бумаге. Потом вдруг она задумалась, откинулась на спинку своего кресла и стала внимательно вглядываться в те странные фигуры, которые носились высоко по залу. Как только она это сделала, движение этих громадных тел стало затихать. Она немного нахмурилась, словно желая еще более сосредоточиться; правая рука ее, державшая перо, сделала какой-то, вероятно, невольный жест, и все движение этих громад изменилось... Сперва одно неопределенной формы тело начало быстро носиться вокруг какой-то едва заметной точки, а затем все это словно утонуло в сумраке, и откуда-то выплыла огромная тень планеты Сатурн. Колоссальная планета медленно вращалась, покачиваясь то в ту, то в другую сторону, а ее необъятные кольца, обращаясь к Илюше то так, то иначе, казались то совсем круглыми, то превращались почти в линию, становясь к зрителю ребром. Сквозь тонкий туман, из которого состояли кольца, еле заметно мерцала далекая звездочка. Теперь Илья хорошо видел, что все эти громадные тела находились в полном подчинении у этой маленькой женщины с пером в руках и стоит ей только подумать о них по-иному, они в тот же миг начинают носиться по этому громадному залу совсем по-другому. Получалось так, что этот зал был как бы лабораторией, в которой мощные математические образы проделывали в точности все, что им приказывало тонкое и проницательное воображение этой маленькой и такой привлекательной женщины. Илюша совсем замер и робко глядел то на нее, то на эти громады, носившиеся высоко над его головой.

- 464 -

- Кто это там, за столом, на экране? - спросил он шепотом у Радикса.

И тот ответил ему так же тихо:

- Это замечательная русская ученая Софья Васильевна Ковалевская, одна из первых женщин-математиков нового времени. Та самая, которую в Стокгольме в университетских кругах звали "профессор Sonya"... Ее работы привлекли в свое время (это было в конце девятнадцатого века) внимание всего ученого мира. Когда-нибудь и ты познакомишься поближе с ее изумительными трудами. А теперь я только могу добавить тебе, что она была не только ученой, но еще и недюжинной писательницей, и я бы посоветовал тебе прочесть ее "Воспоминания детства", написанные прекрасным русским языком.

Экран потух. Илюша обернулся к Радиксу, но в это время высоко, там, среди этих странных грушевидных самовращающихся тел, мелькнули тени. Седой как лунь человек с ясным и задумчивым взором подозвал к себе движением руки другого - тот был совсем молодой человек со свежим румянцем на щеках. Он почтительно подошел к старцу. А тот важным и строгим жестом показал ему на эти странной формы тела. Молодой человек почтительно поклонился и стал внимательно смотреть на их движение. Затем тень старца исчезла, а на щеках молодого человека легли морщины зрелого возраста и седина мелькнула в волосах. Илюша видел, что он управляет движением этих тел.

- Это, - прошептал на ухо Илюше его спутник, - великий русский ученый Пафнутий Львович Чебышев, а с ним его ученик Александр Михайлович Ляпунов, который работал семнадцать лет и решил вопрос о том, какие формы могут принимать небесные тела, то есть какие из этих форм устойчивы, а какие нет. Вот теперь, быть может, тебе станет яснее, что хотел сказать Ломоносов, когда писал о "собственных Платонах и быстрых разумом Невтонах", не правда ли?

Вслед за этим они попали еще в один громадный зал, где грандиозное количество светящихся искр медленно перелетало от одной стены к другой. Они вылетали тончайшей струен из одной ярко светящейся точки, рассыпались в воздухе и, описывая параболы, падали на противоположную стену. Они гасли на той стене, на которую падали, не сразу, благодаря чему на стене из них получался красиво светящийся эллипс.

- 465 -

- Этот светящийся эллипс имеет некоторое отношение к числам в треугольнике Паскаля и к биному Ньютона, с которым ты скоро ознакомишься в школе. Есть такая особая отрасль математики, которая занимается явлениями, носящими название «случайных».

- Случайных? - с удивлением сказал Илюша. - А что может в математике делать случайность?

- С какой-нибудь отдельной случайностью, разумеется, нам в математике делать нечего, но когда мы имеем дело с массовым явлением, целым комплексом случайных явлений, тогда уже совсем другое дело. Самый простой пример такой массы явлений - это ошибки измерения. Измерить какую-нибудь величину для астронома дело не простое, измерения производятся помногу раз и разными лицами. Ученые принимают все доступные меры, чтобы в их измерениях не было постоянно а ошибки, которая вызывается какой-либо определенной причиной, но со случайными ошибками управиться труднее. Однако и рассуждение и опыт говорят нам, что если для ошибок у нас нет никаких постоянно действующих в одном и том же направлении причин, то они будут беспорядочно изменять наши наблюдения то в одну сторону (скажем, в сторону "плюс"), то в другую (пусть это будет "минус"), и нет оснований для того, чтобы отклонения в одну сторону были систематически больше или встречались чаще, чем отклонения в другую. А если все это так, то разумно допустить, что наиболее близкая, по всей вероятности, к истинной искомая величина, которую мы измеряем, будет нами найдена в предположении, что наши случайные погрешности взаимно погашают друг друга. Если перевести все это рассуждение на математический язык, то мы получим в ответ от наших друзей, бесконечно малых, что при таких обстоятельствах и некоторых несложных допущениях искомая истинная величина совпадает со средней арифметической из целой массы наблюдений.

Этот пример, конечно, не более как пример; было бы очень странно, если бы, опираясь на это, мы измерили рост каждого бойца в целом пехотном полку и затем вздумали утверждать, что это неверно, будто в этом полку есть и. высокие и низкие солдаты, нет, дескать, там все одного роста, точь-в-точь такого, как наша вычисленная средняя! Нет, мы говорим в таком случае, что средняя есть просто некоторая сводная характеристика этого коллектива, и не более того. Впрочем, мы нередко можем охарактеризовать наш коллектив и гораздо более подробно, то есть указать (а иной раз даже и предсказать), насколько в общем будут отклоняться наши данные от средней или даже сколько и каких отклонений от средней там будет наблюдаться. Итак, если я имею дело с массовым явлением, я имею возможность вычислить результаты некоторых случайных явлений. Допустим, ты подбрасываешь монету.

- 466 -

У нее две стороны. Та, на которой отчеканен герб, обычно называют "орлом", а другую сторону - "решкой". Какова вероятность того, что монета упадет гербом вверх?

- Может быть и то и другое, - отвечал Илюша. - На ребро монета стать не может.

- Правильно. Вот математик и говорит, что поскольку это так, то вероятность выпадения "орла" или "решки" равносильна полной достоверности, то есть ничего другого выпасть не может. А что именно выпадет в данный момент, сказать трудно. Если бросать много раз, то они, в общем, должны выпасть в одинаковом количестве. Известный французский естествоиспытатель Бюффон в свое время проделал такой опыт: он бросил монету четыре тысячи сорок раз. "Орел" выпал две тысячи сорок восемь раз, а "решка" - тысяча девятьсот девяносто два раза. Полной точности в равенстве этих чисел, конечно, нельзя ожидать, ибо на белом свете не бывает математически точных монет, но в процентном отношении получилось довольно хорошо; пятьдесят и семь десятых процента и сорок девять и три десятых процента. Если принять полную достоверность за единицу, вероятность выпадения "орла" равна половине, "решки" - тоже половине. Понятно?

- Понятно.

- Представь себе теперь, что ты бросаешь две монетки.

Какова вероятность того, что у тебя выпадут два "орла"?

Попробуем усложнить нашу задачу.

- Половина, - отвечал Илюша. - Не все ли равно, сколько монеток?

- Вот то-то, что не все равно! - отвечал, усмехнувшись, Радикс.

- Давай-ка сосчитаем. У тебя две монетки - первая и вторая. Какие могут быть случаи? Во-первых, обе монетки выпадут "орлами", во-вторых - обе "решками", в-третьих - первая "орлом", а вторая "решкой"...

- Ах да! - воскликнул Илюша.

- В-четвертых - первая "решкой", вторая "орлом". Значит, всего может быть четыре комбинации, совершенно равноправные, а отсюда мы заключаем, что вероятность выпадения двух "орлов" при бросании двух монеток равна не половине, а только четверти. А зато вероятность выпадения и "орла" и "решки" сразу равна половине, ибо ты не нумеруешь монетки, а подсчитываешь просто общий результат. Чем больше брать монеток, тем расчеты эти делаются все сложнее и сложнее.

- 467 -

Если возьмем три монетки, то будут такие комбинации (я буду отмечать "орла" буквой "О", а "решку" буквой "Р"):

1)ООО; 5) ОРР;

2)OOP; 6) POP;

3)ОРО; 7) РРО;

4)РОО; 8) РРР.

Всего восемь комбинаций. Теперь вероятность выпадения трех "орлов" равна одной восьмой, двух "орлов" - трем восьмым, одного "орла" - тоже трем восьмым. Вероятность того, что ни одного "орла" не будет, равна снова одной восьмой. Числители этих дробей будут: 1-3-3-1, а знаменатель равен их сумме.

Одна восьмая - это половина в третьей степени, а числители эти равны коэффициентам при разложении куба суммы. Вот почему эти числа имеют отношение к треугольнику Паскаля.

Эти соотношения заметил и указал еще Тарталья, который жил лет за сто до Паскаля.

- Это все ужасно интересно!

- Подобные задачи возникают во многих науках, в частности, и в физике, когда дело касается, например, движения молекул газа. И этим способом разрешают важные и очень сложные проблемы самого разнообразного характера, начиная от контроля при производстве электро лампочек или разведения новых пород злаков и кончая самыми трудными проблемами атомной физики. Понятно?

- Как будто я немного понял. Я слышал, как говорят, что "по теории вероятностей" должно случиться то или иное, но я думал, что это шутка.

- Когда шутка, а когда и нет...

- А что такое рассеяние отдельных случаев вокруг средней? Я слышал, но не понимаю - оно не всегда одинаковое?

- Нет, - отвечал Радикс, - конечно, не всегда. Очень легко найти пример двух совокупностей, или распределений, случайных явлений, у которых средняя будет одна и та же, а колебания случайностей вокруг нее будут разными. Представь себе, что на одной географической широте лежат две области, средняя годовая температура которых совпадает. Однако первая область представляет собой остров на море, а другая - часть пустыни среди громадного материка. Ясно, что климат второй области будет резко континентальным, то есть будет характеризоваться резкими колебаниями от жары к морозу, тогда как температура на острове будет сравнительно ровной.

- 468 -

- Ясно, - сказал Илюша. - Мне только не совсем понятно, почему температура относится к разряду случайных явлений. Разве можно температуру считать случайностью?

- Я не говорил, что температура есть явление случайного характера. Однако теория вероятностей занимается не только явлениями в точности случайного порядка, как, например, движение молекул раскаленного газа, диффузия и тому подобное; в ее ведении находятся и многие другие явления, где существо той или иной закономерности проявляется не с такой точностью, которую мы наблюдаем в соотношениях абсциссы и ординаты параболы, например, а с некоторыми колебаниями, или рассеянием.

- Значит, - сказал Илюша, - рассеяние может наблюдаться не только вокруг средней, но и вокруг некоторой кривой?

- Разумеется. Вот тебе простой пример. Урожай зависит от осадков. Если осадков будет мало, то есть будет засуха, то хлеба засохнут и урожай будет плохой. Но если осадков будет слишком много, то хлеба начнут гнить на корню и урожай тоже будет неважный. Следовательно, урожаи поднимается от нуля вместе с осадками, увеличивается, доходит до максимума, когда осадков выпадает столько, сколько нужно, а затем, если осадков выпадает еще больше, то урожай уже начинает падать.

Эту зависимость урожая от осадков нельзя в точности выразить какой-либо кривой (прежде всего потому, что ведь урожай зависит не только от осадков, а еще от целого ряда причин), но приблизительно можно изобразить или выразить хотя бы, например, той же параболой. Для такого примерного выражения (или апроксимации) есть свои способы. Особое свойство таких связей или зависимостей заключается в том, что вокруг некоторой основной тенденции наблюдаются более или менее интенсивные колебания, в силу чего такие зависимости (корреляционные, как у нас говорится) точно выражены быть нe могут и справедливы лишь в общем, в среднем. Только эта "средняя" в данном случае не постоянная, а переменная. Вот как... А кстати, знаешь ли ты конец знаменитой истории насчет мартышки и очков?

- Эту басню Крылова? - сказал Илюша. - Ну конечно, знаю!

- Нет, - отвечал Радикс, - басня- это еще не конец. Конец находится в одной арабской сказке. Говорят, что это неверно, будто бы Шехерезада кончила рассказывать свои сказки в тысяча первую ночь. На самом деле, как я слышал, она еще и потом рассказывала свои замечательные истории. И вот послушай, что она рассказала в тысяча вторую ночь. "Дошло до меня, о счастливый царь, - сказала Шехерезада, - что некогда один старый Павиан пришел к Ворону, поклонился ему и сказал: "Да продлит аллах твои дни, о Ворон! Я пришел к тебе, потому что имею великую нужду".

- 469 -

Борон отвечал: "Я из породы птиц, имя мое Ворон. Я мудрец, писец, чтец и предсказатель, я листаю книгу прошедшего и будущего, я знаю искомое и вижу взыскующего, я толкую сны, открываю клады и черчу гороскопы, я владею тайной и обладаю доказательством. А живу я один век и одно столетие. Что ты хочешь от меня, серая собака?" Павиан отвечал: "Моя госпожа прислала меня к тебе. Ты писец проницательный! Я целую прах у ног твоих и говорю тебе: напиши письмо!" Ворон отвечал: "Уплати мне три дирхема!" А когда деньги были уплачены, Ворон воскликнул: "Слушаю и повинуюсь! Кому и о чем должен я писать?" - "О Ворон, - отвечал Павиан, - моя госпожа вдова, она из породы обезьян, и имя ее Мартышка. Дряхлость пришла к ней, и она в старости слаба глазами стала..." - "Эту басню я уже слышал. Продолжай!" - "Увы мне! - отвечал Павиан. - Увы, покровитель бедных, если ты знаешь эту басню, то мне нет нужды повторять ее. Но слушай, что было дальше и что привело меня к тебе. Когда очки сынов Адама не помогли госпоже моей, то некий могучий Джинн посоветовал ей поискать очки у себя в лесу, а госпожа моя сказала:

"О Джинн, отец ужаса! У кого же в лесу могут быть очки?"

И тогда страшный Джинн высунул язык из правого глаза я громко захлопал ушами, которые росли у него на месте носа, поднял свое левое копыто, посреди которого сиял адским пламенем его глаз, и прошипел: "Слушан и внимай, о мать обезьян! В лесу очки есть у очковой змеи!"

Ворон сказал: "Хвала аллаху! Он знает, зачем дал обезьяне скорлупу дохлого жука вместо головы, чтобы она вызывала безобразных духов и слушала их речи, которых не станет слушать даже безумец. Знаешь ли ты, косматая собака, сын собаки и отец тысячи лысых собак, что такое очковая змея?"

Павиан весь затрясся от страха и прошептал: "Аллах велик!

Я ничего не знаю. Я только припоминаю, как учила меня мать моя, что я погибну в ту минуту, когда узнаю это!"

- 470 -

Ворон ответил: "Узнай же, что это неприступный владыка, мрачный визирь вечной тьмы, которую он носит в зубе. Узнай еще, что когда ему приспеет время служить тьме и он ответит ей: "С любовью и охотой", то он надевает клобук ярости, и на нем-то он носит своп страшные очки, которые есть знак разрушения. Если ты увидишь их, то не успеешь сосчитать, сколько у тебя пальцев на руке, как уже коршуны будут слетаться на твою падаль!" Павиан вытер слезы и сказал: "О покровитель павианов! Ты мудрец и чтец будущего! Госпожа моя проливает слезы и не принимает пищи. Она, как я сказал тебе, слаба глазами стала и недавно чуть не съела мою старую туфлю, приняв ее сослепу за банан. И шакал шел за ней по пятам и поносил ее по всему базару, ибо она дернула его за хвост, потому что ей показалось, что это гроздь винограда. Что делать, покровитель бедных? Госпожа моя плачет и не знает сна. А я сплю с испуганным сердцем, и дни мои гибнут в пучине размышлений. Кланяюсь тебе и лобзаю прах у ног твоих. Напиши раболепное письмо отцу мрака!"

"Аллах велик! - отвечал ему Ворон. - Я живу в чистом воздухе и ночую на вершине пальмы, а отец мрака не охотник подниматься высоко. Давай писать!" И Ворон сочинил раболепное письмо тому, кто носит разлуку с солнцем в своем зубе, а Павиан стоял и дрожал от ужаса. А потом Ворон сочинил еще письмо соседке Мартышки и еще одно письмо соседке тетки Мартышки, а всего он сочинил три письма и надписал три конверта. И когда Павиан пришел к своей госпоже, та обрадовалась, понюхала письма и сказала своему слуге Павиану: "Заклей их в конверты и опусти в почтовый ящик!" Павиан отвечал: "Слушаю и повинуюсь!" Но прошли дни и недели, а ответа не было. И снова пошел Павиан к Ворону, тот опять написал подобострастное письмо очковой змее и еще три письма, а всего он написал четыре письма. И с ними Мартышка приказала поступить так же. И снова прошли дни, а ответа не было. И еще раз пошел Павиан к Ворону, они сочинили еще одно письмо хмурому султану тьмы, который носит клобук нежданного ужаса, и еще четыре письма, а всего они написали пять писем. И снова не было ответа. И тогда Мартышка отправилась за советом к Джиннии, чье безобразие славилось на весь подземный мир и от чьего вида тошнило даже гиену.

Джинния стала колдовать и налить жабью печень, поджелудочную железу утконоса и евстахиеву трубу пиявки, умершей от огорчения в разлуке со своим пиявом. PI когда Джинния начадила так, что сама стала чихать и кашлять, то возопила:

"Горе тебе, о мать бедных! Горе тебе, дитя опрометчивости!

- 471 -

Ты отдала свои письма и конверты слепому пустомеле и дурному чтецу. По тому, как шипит на ведьминой жаровне поджелудочная железа и как дымит печень, я вижу ясно, что этот сын невежества и враг письменных знаков перепутал конверты! И теперь я вижу, что эта путаница и есть причина всех твоих несчастий!"... Вот что рассказывала Шехерезада.

Скажи, пожалуйста, как ты думаешь, возможно ли, чтобы никто из адресатов не получил ни одного письма, если они засунуты в конверты наугад?

- А что дальше было в этой сказке? - спросил Илюша.

- Дальше начинается еще сказка, так как Джиния поясняет Мартышке свою мысль новой сказкой, где каждое из действующих лиц, в свою очередь, опять рассказывает по сказке, и так далее, как и полагается у Шехерезады. А что ты скажешь насчет вероятности того, что ни одна душа не получит своих писем?

- Хм... - сказал Илюша. - Я что-то не пойму, как и взяться за эту задачу! Есть три письма и три конверта, значит надо прикинуть, какие могут быть тут комбинации, то есть как вообще можно вложить письма в конверты.

- Правильно.

- Вот я попробую так, - решил Илюша, - сперва отмечу письма тремя буквами (большими), а потом буду переставлять конверты (я их отмечу маленькими буквами).

- Попробуй.

Илюша составил такую табличку:

Слева он поставил номера возможных комбинаций конвертов, а справа - сколько адресатов при данной комбинации конвертов получат свои письма.

- Значит, так, - сказал Илюша, - есть три письма А, Б и В и три конверта а, б и в. Если конверты расположатся при засовывании в них писем наугад так, как это у меня записано под номером первым, то все трое получат свои письма, так как каждая малая буква в этом случае соответствует большой.

Во втором случае только адресат А получит свое письмо, а Б и В не получат, ибо письмо Б засунуто в конверт для В, и наоборот. В четвертом и пятом случаях никто ничего не получит: все конверты перепутаны. Какова же вероятность того, что никто не получит? Всех возможностей шесть, а никто ничего не получает в двух случаях. Значит, вероятность равна двум шестым, или одной третьей. Верно?

- 472 -

- Правильно! Одна треть. Вот мы и нашли ответ на обезьянью задачку. Вопрос этот сейчас исчерпан полностью.

А теперь давай попробуем поговорить на ту же самую тему, только немножко поглубже копнем, куда обезьяна докопаться не сумела бы. Так вот, как ты думаешь: что же станется с этой вероятностью, если число писем, а стало быть и конвертов, начнет возрастать?

Илюша ответит не сразу. Подумав, он сказал так:

- Мне кажется, что она должна увеличиваться.

- Почему?

- Потому что может быть только один случай, когда все письма попадут по адресу, и, значит, вероятность того, что все получат своп письма, будет падать по мере увеличения количества писем, так как и число комбинаций будет расти.

- Это справедливо. Но я тебя спрашиваю не о вероятности того случая, когда все адресаты получат своп письма, а о совершенно противоположном случае, когда никто не получит своего письма, так как все конверты перепутаны, другими словами, когда в твоей табличке ни разу ни одна большая буква не совпадет с маленькой.

Илюша не знал, что ответить.

- А если попробовать для четырех писем? - сказал он.

- Ну что ж! - отвечал Радикс. - Последуем примеру нашей мартышки.

И Илюша составил табличку:

- Ну, кажется, все! - с облегчением сказал Илюша, составив эту длинную таблицу. - Значит, все получат свои письма тоже только в одном случае. Эта вероятность теперь падает от одной шестой до одной двадцать четвертой.

- 473 -

А никто не получит своего письма теперь в девяти случаях. Значит, вероятность этого равна девяти двадцать четвертым, или трем восьмым. А для трех писем получалась одна треть. Можно так написать:

1/3 и 3/8

или 8/24 и 9/24.

Значит, вероятность того, что никто не получит своего письма, немного увеличилась. На одну двадцать четвертую.

- Это, конечно, очевидно. А как ты думаешь, что будет далее, если мы будем еще увеличивать число писем?

- Боюсь сказать, - отвечал Илюша. - Как будто вероятность должна понемножку расти?.. Нет, не знаю!

- Допустим, что она "понемножку" будет расти. А нельзя ли выяснить, как именно будет она расти?

Илюша не знал, что ответить.

- Я могу тебе чуточку подсказать. Если мы возьмем пять писем, то эта вероятность будет сорок четыре сто двадцатых, а если возьмем шесть писем, то она будет двести шестьдесят пять семьсот двадцатых.

- Длинные дроби какие-то. Ничего не поймешь!

- Не торопись, - отвечал Радикс. - Давай обратим внимание на то, сколько всего может быть комбинаций. Тут дело обстоит примерно так же, как с перестановками в Дразнилке.

Помнишь?

- Помню! - обрадовался Илюша. - Для трех было шесть, для четырех - двадцать четыре, для пяти - сто двадцать...

- Для шести?

- Для шести - семьсот двадцать... Постой-ка! Ведь в тех дробях, которые ты мне только что назвал, знаменатели тоже точь-в-точь такие же?

- Вот то-то и дело! Ну-ка, поворачивай мозгами!

- Назови мне опять эти дроби, я их запишу.

1/3, 3/8, 44/120, 265/720

- Приведу-ка я их к одному знаменателю, - решил Илюша.

240/720, 270/720, 264/720, 265/720

Долго он смотрел на то, что получилось, и наконец Радикс объяснил ему:

- 474 -

- Вероятность того, что никто не получит своего письма, то увеличивается, то уменьшается, а изменяется при этом все медленнее и медленнее. Обрати внимание на то, что первые дроби разнятся друг от друга на одну двадцать четвертую, следующие две - на одну сто двадцатую, следующие две - на одну семьсот двадцатую. А если взять еще одну дробь, то она уже от последней будет отличаться на дробь, равную единице, деленной на 5040. Следующая разность будет равна единице, деленной на 40320... Ты, может быть, помнишь это число?

- Помню, - довольно мрачно ответил Илюша, ибо это воспоминание ему не очень-то нравилось.

- Таким образом, изменение вероятности будет идти все медленнее и медленнее. Скоро это и заметить будет невозможно. Ну, а какой же вывод из этого можно сделать, по-твоему?

Илюша думал, думал, но придумать ничего не мог. Никакого вывода у него не получалось.

- Вот как тут обстоит дело, - отвечал Радикс, - здесь мы имеем дело с процессом, который напоминает процесс нарастания суммы бесконечной убывающей геометрической прогрессии. Как там, так и тут слагаемые становятся все меньше и меньше. Как там, так и тут, если число случаев растет до бесконечности, сумма этих слагаемых стремится к определенному пределу (из чего, впрочем, отнюдь не следует, что если слагаемые какого-нибудь ряда уменьшаются, то у их суммы обязательно существует предел; но в данном случае это будет так). Однако тут есть одна немаловажная подробность, касающаяся того, как. именно наша переменная вероятность приближается к своему пределу. Она-то тебя и путала, когда ты смотрел на дроби. В геометрической прогрессии мы просто приближаемся к пределу: что ни шаг, то все ближе. Здесь это дело обстоит не так; вероятность все время колеблется то в одну сторону, то в другую: то она чуть побольше предела, то чуть поменьше. Вспомни-ка нашу "змейку" из Схолии Двенадцатой. Размахи этих колебаний все уменьшаются, и абсолютная величина разности между вычисленной вероятностью и ее пределом падает и падает. Если мы число писем будем увеличивать до бесконечности, то предел этот будет равен примерно 0,367879441171442... Это число замечательное, и мы уже встречались с ним (вернее сказать, с его обратной величиной) в Схолии Семнадцатой. Оно имеет отношение и к логарифмам, и к нашим друзьям комплексным человечкам, и к гиперболе, и к цепной линии, и еще к очень многому в математике, оно нее находится в большой дружбе с числом я и даже приходится ему в некотором роде родственником. Если ты разделишь единицу на это число, то получишь не что иное, как знаменитое неперово число, основание натуральных логарифмов.

- 475 -

- Опять эта знаменитость! - воскликнул Илюша. - Но, значит, пределы встречаются не только при вычислении площадей? И как это опять одно за другое цепляется!

- Бывает, бывает! - отвечал Радикс. - По этому же примерно поводу мне рассказывали такой любопытный случай.

Некий путешественник попал в одном восточном городе на большой базар. Потолкавшись и насмотревшись на изобилие всякой всячины, которая там продавалась, обменивалась и воровалась, он остановился в укромном уголке, где столпилась небольшая кучка людей. Когда он протискался поближе, то увидел сухорукого беднягу, державшего у себя на коленях шестиугольную деревянную досточку с нарисованными символами, а в руке рожок для игральных костей. Приглядевшись, он заметил, что поверхность доски была разделена на семь частей: кружок посредине и шесть секторов в разные стороны. Кружок был разрисован, а в шести секторах было изображено: пика, бубна, черва, трефа, якорь и роза. Это была игра. Заключалась она в следующем: шесть человек из присутствующих ставили каждый по одной монете на шесть секторов досточки, кому на что нравилось. Костемет брал три игральные кости (на каждой из них были изображены те самые символы, что и на досточке), подбрасывал их, а затем опрокидывал рожок на средний, разрисованный кружок. Когда же все ставки были сделаны, он поднимал рожок, и все видели, какпе на всех трех костях выпали символы. Как только все это выяснялось, костемет тем игрокам, которые ставили на выпавшие символы, отдавал их ставки вдвое. Так что трое выигрывали и получали ставки шестерых и были, разумеется, тем много довольны. А трое других, оставаясь в проигрыше, лишались своих ставок. Другими словами, костемет брал у шестерых, а отдавал троим все, что он перед этим получил. Наш путешественник, разглядев сие чудо, подивился: какая же корысть костемету сидеть на базаре целый день, брать у шестерых и отдавать троим? Однако некий базарный завсегдатай стал с нашим путешественником спорпть, замечая, что трудно найти такого осла на двух ногах, который стал бы день-деньской сидеть на солнцепеке с единственной целью отдать троим взятое у шестерых, что костемет хоть и безобидный человек, но себе на кусок хлеба тоже как-нибудь заработать должен, однако, не будучи жадным до наживы, удовлетворяется малым, и, хотя он нередко ничего не получает, время от времени ему перепадают две монеты, а иной раз и чеmыре; что не так много...

- 476 -

pi

Так вот, попробуй рассуди, кто был прав: первый или второй из собеседников? А также выясни, стоило ли людям играть в такую игру и во что им обходилось это удовольствие.

- По-моему, - отвечал Илюша, - это не так трудно.

- Конечно, не так уж трудно.

Мы с тобой и потрудней задачи разбирали. Я хочу задать тебе еще один престранный вопрос.

Я возьму колоду карт, тщательно их перетасую и сдам всю колоду четырем игрокам. Возможно ли, чтобы при этой сдаче каждый из игроков получил одну масть всю целиком, начиная с короля и до двойки и туза.

- Вероятно, возможно, - ответил юноша. - Но только мне кажется, что это чрезвычайно редкая вещь.

- Вещь не частая, что и говорить, - усмехнулся Радикс. - Но однажды в одном лондонском клубе это все-таки случилось. Игроки до того были поражены, что позвали администрацию клуба и составили специальный протокол о таком удивительном случае. Как, по-твоему, правы они были или нет?

- Не знаю, - вымолвил Илюша. - Мне кажется, что они, наверно, обрадовались такой небылице, как радуется всякий, кто найдет редкую вещь, вроде белой вороны.

- Так вот, видишь ли, самое курьезное в этом случае заключается в том, что с моей точки зрения, удивляться здесь было совершенно нечему. Мои расчеты, совершенно элементарные, доступные любому человеку, знакомому с дробями, говорят, что этот случай нисколько не более вероятен или невероятен, чем всякая иная сдача карт.

- Как так? - в удивлении спросил мальчик.

- 477 -

- Очень просто. С колодой карт возиться долго, возьмем случай попроще, но совершенно аналогичный. Я кладу в рожок шесть игральных костей. Подсчитаем, какова вероятность того, что при первом бросании выпадут на первой кости единица, на второй двойка, и так далее по порядку до шестой, на которой должна выпасть шестерка. Ясно, что вероятность того, чтобы на первой кости выпала единица, равна одной шестой. Вероятность того, чтобы на второй кости выпала двойка, тоже равна одной шестой. Но вероятность того, чтобы одновременно на первой выпала единица, а на второй выпала двойка, будет равна

1/6 • 1/6 = 1/36

Это так называемое умножение вероятностей, то есть произведение соответствующих вероятностей, в справедливости чего ты очень легко можешь убедиться, подсчитав соответствующие статочности (или шансы). Подобным же образом вся искомая вероятность будет равна:

1/6 • 1/6 • 1/6 • 1/6 • 1/6 • 1/6 = 1/6⁶ = 1/46656

Действительно, вероятность невелика. Но вот в чем тут дело.

Закажи себе еще какую-нибудь - совершенно произвольную - комбинацию очков на шести костях (ну хотя бы, чтобы на каждой кости выпало по пятерке), и ты увидишь, что вероятность ее выпадения совершенно такова же. И какую бы комбинацию из шести случаев ты ни задумал, вероятность ее появления нимало не изменится. Отчего же игроки так удивлялись столь обыкновенному происхождению? Да просто потому, что ту комбинацию, которую они встретили, легко запомнить и отличить от любой другой. И все! Я думаю, ты согласишься, что не менее удивительно было бы, если бы карты распределились у игроков таким образом:

- 478 -

Так вот, поверь мне, что при такой удивительной раздаче никто бы не стал удивляться, звать старосту клуба и сочинять протокол[42].

Илюша не мог не согласиться.

- Мы с тобой разобрали несколько примеров, которые дают представление о задачах теории вероятностей. В наше время эта наука имеет исключительное значение для всех областей естествознания. А поднял ее до высоты подлинной математической науки великий русский ученый Пафнутий Львович Чебышев. Ученики Чебышева А. А. Марков и А. М. Ляпунов прославились также трудами в этой области. На каком бы языке ни попалась тебе книга по теории вероятностей, в ней обязательно встретятся эти три славных русских имени. И в наши дни советские математики достигли больших успехов в развитии теории вероятностей. Всему ученому миру известны имена советских ученых А. Н. Колмогорова, Н. В. Смирнова, Е. Е. Слуцкого и немало еще их талантливых учеников, последователей и сотрудников, которые с превосходными результатами развивают и продолжают их замечательные труды.

Однако, - вдруг поспешно добавил Радикс, - мы заговорились.

Надо прибавить шагу, а то опоздаем..

И они пошли дальше через сумрачные залы, библиотеки, лаборатории и еще через ряд каких-то помещений, которые то напоминали цех завода, то внутренность астрономической вышки, то машинное отделение подводной лодки, то какие-то подземные пещеры. Один зал был весь заполнен громадным быстро вертящимся- волчком, который, покачиваясь, описывал хитрые петли по полу. В другом качался огромный маятник.

В третьем по воздуху ходили широкие радуги, светящиеся кольца и точки. И конца этому не было. Но вот они подошли к огромным воротам, напоминавшим ворота какого-то великаньего завода. Радикс положил лапку на уста свои и еле слышно произнес:

- Тесс!..

Затем он чуть-чуть приоткрыл створку этих огромнейших ворот, и Илюша получил возможность заглянуть туда - за ворота. Но там творилось что-то до такой степени ослепительное, быстрое и трудно уловимое, что Илюша даже весь похолодел. Огромнейшие сверкающие спирали крутились там, то вспыхивая, словно громадные звезды (в сотни раз ярче солнца!), то угасая, оглушительно произнося какие-то непостижимые слова, творя на лету какие-то дивные организмы, напоминавшие не то колоссальных драконов, не то оживших древних идолов, то рассыпаясь миллионами огоньков, то вновь собираясь в целые моря трепещущего и невыносимого сияния...

- 479 -

- Что это такое? - в ужасе спросил мальчик.

А Радикс еле слышно шепнул ему:

- Это кормчие будущего мира, это - кибернетосы...

Наконец они остановились перед громадными дверями, которые были плотно закрыты, и на часах перед ними стояли крошечные карлики с длиннейшими пиками. Один из карликов важно приподнял свою пику и провозгласил:

- Пришельцы, ведом ли вам Знак Величия?

Радикс почтительно ответил:

- Известен в точности, о Карло Пиконосный!

Пиконосец медленно отступил в сторону и опустил пику.

Карлики сейчас же расступились, а громадные двери медленно растворились. Радикс мигнул Илюше, и они вошли в огромный зал, дальний конец которого был очень ярко освещен.

- Послушай, - сказал шепотом Илюша своему спутнику, - этот Карло Пиконосный спрашивал про тот перламутровый чертеж?

Радикс молча кивнул в ответ.

- А что это было такое? Какие-то прямые, кружок?

- Прямые, - ответил ему на ухо Радикс, - это ЕГО придворные дамы Касательные, а кружок - это ЕГО мажордом Циклмейстер, он облечен великим доверием и изволит измерять ЕГО кривизну.

Илюша хотел было спросить: "Кого его?", но не решился и промолчал.

Они довольно долго шагали по мягким коврам и наконец подошли к возвышению, на котором стоял длинный стол, а за ним сидело много народу, самого странного и необычайного, однако кое с кем из присутствующих Илюша был уже знаком.

Мальчик увидал раньше всех Уникурсала Уникурсалыча, который старательно и поспешно чинил длиннейший карандаш. В кресле слева сидела тетушка Розамунда, а ее язычок вился в воздухе с присущей ему замысловатостью. Справа выглядывал Односторонний Бушмейстер. Над столом висели знаменитые часы тетушки Розамунды, которые шли то в одну, то в другую сторону. Немного в стороне сидели Совершенные Древние Красавицы, а над столом покачивалась какая-то разноцветная бахрома, которую Илюша видел, кажется, на платье Великой Теоремы. Мнимий Радиксович и масса его родственников тоже были здесь. Около них сидели три Мушкетера и попивали вино из девяти бутылей, а рядом сидел старец в парчовом халате и держал Зерцало Четырех Стихий. Около стояла волшебная бутылка плененного Джинна, а рядом сидел сонный и сердитый Салуникур Салуникурыч. Тут же стояло знаменитое колесо с самовращающимся числом.

- 480 -

Вдали покачивались тени слонов и осликов, а внизу у стола расположилось множество карликов из прогрессии. На полу была большая куча песку, а рядом с ней задумчивый философ, который пытался ее пересчитать по одной песчинке. Он весь был обмотан лентой с пропастью пулей. Тут же, разумеется, были Коинкос и Асимптотос, а сзади стоял их превосходный сыр и корзина с разными геометрическими плодами. От всего этого увиденного у Илюши в глазах зарябило. Он опустил глаза и тут же заметил, что идет по коврику, где выткан необыкновенно сложный лабиринт, в центре которого сияет лилия, напоминающая своей формой нижнюю половину псевдосферы.

Когда они подошли ближе, за столом возникло множество Великих Змиев, которые медленно покачивались на своих хвостах. Илюша глянул на них не без страха, однако Мнимий дружески подмигнул ему, а кругом на стенах вдруг ярко вспыхнули Златоиссеченные Звезды, стало сразу светлее.

- Подойдите! - глухо произнес один из Великих Змиев.

Радикс и Илюша приблизились к столу. Все участники этого удивительного заседания забыли о своих занятиях и начали смотреть на наших друзей до того внимательно, что Илюша вдруг подумал, что если его внезапно спросят: "Сколько будет пятью пять?", так он нипочем не ответит. Он растерянно посмотрел в сторону, но быстро отвернулся, ибо сбоку на парте торчало унылое чучело Фиолета Чернилыча Зазубрилкпна, около которого деловито сновал большой паук и плел свою многоугольную паутину, а сзади стояла большая доска, на которой было написано мелом изречение римлянина Цицерона: "Еггаге humanum est", что означает: "Человеку свойственно ошибаться".

- Радикс! - произнес снова Великий Змий. - Ты привел сюда человечье дитя?

- Я, - тихо ответил Радикс. - Такова моя обязанность с давних пор. Я веду их, и некоторые идут сразу, а другие упираются. Но этот мальчик не упирался. Я провел его через Великие Испытания, но он не испугался, а я немножко помогал ему, но и это тоже моя обязанность. И я рад этому, потому что он не отвергал моей помощи и не пренебрегал ею, а старался. Он летал по касательной и блуждал по лабиринтам, пил чудный напиток из Кеплерова фонтана и вкушал конические сыры.

- Хорошо, - отвечал Совершенный Змий, отец змиев. - Мы видели это и знаем это. Я спрошу теперь моих братьев: достойно ли это человеческое дитя нашего высокого и великого привета?

Вдруг откуда-то вылетел Ворон, громко захлопал крыльями, сел на краешек стола и провозгласил:

- 482 -

0

- Ты сам пришел в нашу волшебную Страну Сказки, - ну и получай наш подарок!

Илюша глядел во все глаза на Ворона, но тут что-то заиграло и заблистало ярким светом, и он увидел, как перед ним постепенно возник сияющий всеми красками радуги удивительный чертеж..

Все замолкло в почтительном молчании. А затем все хором тихо сказали:

Мы - Числа, Суммы, Дуги.

Нас очень-очень много.

Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!

А Радикс наклонился немного к Илюше и сказал:

- Ради тебя появился сам ВОЛШЕБНЫЙ ДВУРОГ. Запомни его уравнение:

483

Это он сам!

Затем все карлики из прогрессии встали рядами и запели хором:

Затрубили трубачи,

Барабанщики забили,

Заскрипели скрипачи,

И волынщики завыли!

Бей! Звони в колокола!

Гряньте, медные тарелки!

Тру-ту-ту и тра-ля-ля!

Дудки, флейты и сопелки!

И рядом завертелись карусели, поплыли кругом коньки и лодки, запели гармони, и ловкие парнишки пошли раскачивать качели под самые облака. А карлики все пели:

Станут ночи светлым днем,

Золотые, голубые,

Будут сыпаться дождем

С неба звезды огневые!

И стало еще светлей, и еще больше всякого потешного огня рассыпалось повсюду. А карлики пели:

Эй, врали, весельчаки,

Шутники и скоморохи,

Болтуны и чудаки,

Собирающие крохи

Всяких милых пустяков,

Сказок, басен и стихов!

Немедленно вперед выскочил Уникурсал Уникурсалыч, Кандидат Тупиковых Наук, и раскланялся, прижимая руки к груди. Все захохотали, потому что всем было известно, что он был Первый Враль Волшебного Мира. А сбоку показался Кот в Сапогах, подмигнул Илюше и вытащил из своей охотничьей сумки малюсенького льва.

И тут так грохнуло, что Илюша даже подпрыгнул. В это время дивный чертеж ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА блеснул Илюше прямо в глаза, так что он должен был зажмуриться, а Великий Змии наклонился и сказал ему укоризненно и настойчиво:

- Илюша!.. Илюша!..

Илюша хотел было спросить, почему чертеж так светит, что прямо смотреть невозможно, но язык у него почему-то не хотел слушаться... Он открыл глаза - и снова перед ним что-то мелькнуло яркое и ослепительное. А кто-то опять сказал очень серьезно:

- Илюша!..

Снова что-то сверкнуло.