Схолия Одиннадцатая,

Схолия Одиннадцатая,

которая, во-первых, довольно длинная, а во-вторых, не так уж проста, так что читателю придется проявить если не упрямство, то немалое упорство, коли он хочет и дальше играть в схолии. Однако если не читать этой схолии, то и вообще больше ничего читать в этой книжке не придется. Поэтому тот, кто хочет читать далее Одиннадцатой Схолии, должен запастись мужеством. Тогда он узнает кое-что новое о яблоках, о кружочках и прутиках одного не очень послушного и даже упрямого мальчика, который жил неподалеку от одной большой горы. Именно тут Илюша слышит превосходные арифметические рассуждения, но как только дело чуть-чуть касается геометрии, поднимается невероятная кутерьма, вызванная появлением некоего неуклюжего авиадесанта, одолеть который только и можно с помощью вышеупомянутого упрямства.

- Ну-с, уважаемый Илья Алексеич, - произнес важно Радикс, - изложите мне вкратце, как вы себя изволите чувствовать.

Илюша посмотрел на него немного подозрительно, припомнив не совсем приятный разговор с командором, но потом решил, что вряд ли Радикс вспоминает именно об этой истории.

- 180 -

- Во-первых, - начал Илюша, - мне никогда в голову не приходило, что у нас здесь столько чудес. Во-вторых, я никогда не думал, чтобы такой пустяк, как, например, Дразнилка, мог привести к таким серьезным и сложным выводам.

Правда, мне папа раз прочел две строчки из стихов, которые написал поэт Баратынский про Ньютона, но только я... если уж по совести сказать... пропустил эту штуку мимо ушей...

- А ты помнишь эти строчки?

- Помню, - ответил Илюша. - Вот как там сказано:

Плод яблони со древа упадает,

Закон небес постигнул человек.

Ну, это в том смысле, что человек, увидавши вещь самую простую, которую все видали миллионы раз, подумал над ней, как следует размышлять настоящему ученому, и открыл, что такое всемирное тяготение. Только я не знаю, так я рассказываю или нет.

- Приблизительно так, - сказал его друг. - Как будто и на самом деле с Ньютоном случилось нечто в этом роде, но в данном случае ведь не это самое важное. Ты ведь вспомнил об этом стишке потому, что теперь ты заметил, как размышление над предметами самыми простыми и обычными может привести нас к очень важным и глубоким заключениям. Так я тебя понял?

- Да, - ответил Илюша, - я как раз это и хотел сказать.

- Хорошо, что ты это заметил. Надо только еще вспомнить вот о чем. Эти стихи неправильны и в другом смысле.

Дело в том, что один человек никогда бы не смог путем размышления открыть столь сложный закон. Нужна была работа целых поколений мыслителей, чтобы постепенно подвести человечество к такому состоянию знаний, когда стало возможно такое открытие. Законы падения тел были впервые научно определены великим Галилеем, жившим в Италии в шестнадцатом и семнадцатом веках. Ньютон родился в Англии как раз в год смерти Галилея. И все работы Галилея были к его услугам. Вот как было на самом деле. Однако, конечно, даже и такого великого мыслителя, как Галилей, было еще мало для этого. На самом деле работа великого Ньютона была гениальным итогом работы гораздо большего числа людей. В их числе нельзя не назвать еще астронома-наблюдателя Тихо де Браге и великого его последователя Иоганна Кеплера. А к этому надо еще добавить, что как Галилей, так и Кеплер - оба они опирались на замечательные труды Николая Коперника...

- Как интересно!..

- 181 -

- Конечно! По этому поводу мне припомнились сейчас еще и другие стихи, которые высказывают примерно ту же самую мысль, но, пожалуй, в более удачной форме, потому что стихи, которые ты прочитал, вспоминают Ньютона, на мой взгляд, совершенно не к месту. С другой стороны, однако, возможно, что первая, еще не совсем ясная идея о всемирном тяготении, как это иногда бывает в таких случаях, действительно могла возникнуть у ученого, когда он услыхал, как стукнулось о землю упавшее яблоко. Кажется, что это случилось внезапно, но на самом деле ученый давно уж размышлял об этом. Был еще такой английский поэт Александр Поп. Жил он в восемнадцатом веке, пользовался в свое время большой известностью, и его сочинения до сих пор высоко ценятся на его родине. Так вот, однажды он написал такие стихи:

Был скрыт закон небес во мгле, но бог сказал:

"Да будет Ньютон!" - И свет просиял над миром.

В этих стихах Поп подражает Библии, где рассказывается, что бог сотворил мир из ничего, просто путем заклинаний. Ты, я полагаю, прекрасно понимаешь, что эти древние сказки ни в малой мере не объясняют происхождения мира и его устройства, что нужны были миллионы лет постепенного развития, чтобы мир стал таким, какой он есть, и что это может выяснить только наука, а не сказки. Совершенно то же возражение мы должны высказать и стихам Попа: "Вы, дорогой поэт, придумали очень занимательно о Ньютоне, с этим мы не спорим, но, по существу, вы неправы, ибо творения Ньютона не с неба свалились, а есть результат упорной и долгой работы людей ученых, как и он, его предшественников, плод постепенных и отнюдь не легких усилий всего мыслящего человечества. С другой стороны, мы хорошо понимаем, что Ньютон был не человек, а истинное чудо, но тогда надо сделать оговорку, что это не какое-нибудь сверхъестественное чудо, а одно из таких чудес, которые всегда делало, делает и будет делать человечество". Можно еще добавить, что нередко очень важные открытия появляются на белый свет как бы неожиданно, и люди им удивляются. Но затем обычно выясняется, что это удивительное открытие давно уже где-то потихоньку вызревало, только не все это замечали.

Илюша долго молчал, затем сказал:

- А еще меня очень удивил треугольник Паскаля. Кажется, просто - сложение, и больше ничего, - а какие замечательные вещи получаются из него!

- А ты никогда не слыхал, как учился математике этот Паскаль, когда он был совсем маленьким?

- Нет! - воскликнул Илюша. - Расскажи, пожалуйста!

- 182 -

- Ну, слушай. Дело было в семнадцатом веке. Блез Паскаль родился во французском городе Клермонте. Сейчас этот город называется Клермон-Феран и находится в департаменте Пюи-де-Дом, где имеется одна довольно большая гора, около полутора километров высотой, с таким же названием.

Я вспоминаю о ней потому, что некоторые работы Паскаля, были связаны с этой горой. То, что я тебе сейчас расскажу о детстве Паскаля, основано на свидетельстве его сестры и очень похоже на правду. Отец Паскаля был по тем временам очень образованный человек, недурной математик, переписывался с Ферма. Этьен Паскаль хотел дать своему сыну хорошее образование. Так как в то время все научные труды писались главным образом на латинском языке, то отец Паскаля считал, что мальчик раньше всего должен изучить латынь и знать ее настолько хорошо, чтобы свободно читать как современные ему ученые сочинения, так и сочинения древних математиков. Отец Паскаля был человек строгий и требовательный.

Он сам занимался с сыном древними языками. И вот однажды во время урока мальчик спросил своего сурового отца: "Что такое геометрия?" Отец ответил ему, что сейчас не время об этом говорить, потому что они занимаются латынью. Однако, услышав такой вопрос, отец решил, что не следует говорить так, чтобы мальчик подумал, что геометрия это нечто такое, о чем ему не следует знать, и добавил, что геометрия учит нас, как нарисовать совершенно точную фигуру и как узнать, в каких отношениях находятся части этой фигуры друг к другу. При этом отец сказал, что сыну сейчас рано еще не только заниматься этим, но даже и думать об этом. Математические сочинения хранились у отца Паскаля под замком, и говорить при мальчике о математике избегали. И все-таки мальчик Блез начал думать над тем, что ему сказал отец, не зная о геометрии ничего, кроме этой фразы отца. Затем при помощи кусочка угля он стал рисовать на полу детской геометрические фигуры и размышлять над тем, каким образом можно вычертить точный круг или равносторонний треугольник. Так как он не знал, как геометры называют свои отрезки, углы и прочее, то он выдумал им свои названия. Отрезок он называл прутиком, окружность - кружком. Ему было всего двенадцать лет.

И вот однажды его отец, случайно зайдя в эту комнату, застал его за этим занятием. Отец в удивлении спросил, что это он делает. Мальчик смутился, ибо ему было запрещено даже и думать о геометрии, и отвечал, что он играет... и вот сейчас только что он пришел к одному очень смешному заключению, а именно: заметил, что из прутиков у него выходят разные уголки - маленькие, средние и большие.

- 183 -

- Постой-ка! - воскликнул удивленный Илюша. - То есть он сам додумался до того, что существуют острые, прямые и тупые углы?

- Вот именно. Но слушай, что было дальше. А когда он стал рассматривать свои "треуголки" (то есть треугольники), то заметил, что если взять все три уголка и сложить их вместе, то получается каждый раз не больше и не меньше, как два средних уголка.

- Послушай! - воскликнул Илюша. - Да может ли это быть? Выходит, что он сам, один, своим умом дошел до утверждения, что сумма углов треугольника равна двум прямым?

Как же это возможно?

- Представь себе, что это для него оказалось возможным!

Отец его был удивлен этим не меньше тебя. Он пошел к одному своему другу, рассказал об этом и прямо заплакал от радости. История эта хорошо известна. Есть даже статуэтка, изваянная французским скульптором Моро-Вотье, изображающая, как маленький Блез рисует треугольник на полу. После этого случая Этьен Паскаль дал сыну "Начала" великого Евклида, причем Блез получил позволение читать их только в свободное время. Надо тебе еще знать, что "Начала" Евклида, хотя в них говорится о планиметрии примерно то же самое, что и в твоем школьном учебнике геометрии, изложены очень сложно, по-старинному. Чтобы дать тебе представление об этом, укажу хотя бы на то, что Евклид в своих четырехстах семидесяти предложениях, составляющих около шестисот страниц, не всегда ссылается на ранее доказанные теоремы, а когда дело доходит до какого-нибудь уже доказанного положения, которое ему надобно по ходу рассуждения, он часто доказывает это положение опять с самого начала. Все пропорции записаны словами, так как тогда ни знаки действий, ни алгебраические обозначения еще не употреблялись. Хорошо известная тебе алгебраическая формула квадрата суммы, которую мы получаем простым умножением, у Евклида доказывается геометрически, и это доказательство содержит в себе без малого триста слов! Вот и представь себе, какими же способностями и каким трудолюбием должен был обладать этот мальчик, чтобы одолеть такую книгу! А он одолел ее самостоятельно так хорошо, что шестнадцати лет написал работу по геометрии, которая была одной из первых новых работ по геометрии со времен великого Архимеда. А через три года Паскаль построил первую в мире счетную машину, которая в те времена казалась самым настоящим чудом.

- Вот здорово! А мы-то в школе хнычем, что наша геометрия трудная!

- 184 -

- Разумеется, - отвечал Радикс, - не всякому природа дает такие способности. Но трудолюбие такое может развить в себе всякий, если только он действительно любит науку и хочет быть полезен людям, когда вырастет.

- Ах! - воскликнул Илюша. - Конечно, это ужасно неприятно, когда тебе тыкают в нос, что вот, дескать, у Сеньки Золотарева всегда чистая тетрадка, а у тебя вечно клякса на кляксе! Терпеть не могу! Но вот когда ты мне рассказываешь такие замечательные вещи про Паскаля, мне самому хочется все делать так, как он делал.

- Заметь, - прибавил Радикс, - что сейчас это гораздо легче, потому что твои учебники - это просто настоящие шоколадки по сравнению с тем, что представляют собой "Начала" Евклида.

- Да, - сказал Илюша, - вот уж я не думал услыхать от тебя такие удивительные истории, после того как ты спел песенку про сов и мышей!

- Одно другому не мешает, - отвечал, улыбаясь, Радикс. - Почему бы нам и не пошутить? Это только лентяи думают, что у нас здесь скучно. Но, чтобы шутить, надо кое-что знать. А когда ты что-нибудь узнал, ты должен вспомнить хоть на минутку, сколько замечательных людей положили всю свою жизнь для того, чтобы ты мог все это узнать.

- Нет, - сказал Илюша, - теперь я всегда буду помнить об этом!

- Смотри! - сказал Радикс. - Есть ведь такая поговорка: "Давши слово, держись, а не давши - крепись".

- Нет, нет, - сказал горячо Илюша, - нечего тут крепиться! Я не забуду. Только мне бы хотелось еще кое-что узнать про Паскалев треугольник и про гору Пюп-де-Дом.

- Про горку эту мы поговорим в свое время. А насчет треугольника я вот что хотел у тебя спросить. Ты обратил внимание на его второй столбец?

Илюша посмотрел на табличку

1 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 3 6 10

1 4 10

1 5

1

и сказал:

- Во втором столбце просто стоят цифры по порядку: раз, два, три, четыре, пять... Что же тут интересного?

- Кое-что любопытное есть и тут. Скажи-ка, пожалуйста, а как бы ты определил этот ряд, если бы тебя спросили, как он устроен?

- 185 -

- Устроен он, по-моему, очень просто. В начале стоит единица, а каждый следующий его член получается путем прибавления той же единицы к предыдущему члену.

- Правильно. А знаешь ли ты, как называется ряд, устроенный по этому правилу? Он называется арифметической прогрессией.

- Ах да! - ответил Илюша. - Это я знаю. Я только не догадался, что ты именно об этом спрашиваешь.

- Значит, ты, наверное, знаешь и то, что такое геометрическая прогрессия?

- Конечно, - ответил мальчик. - Она очень похожа на арифметическую, только там каждый член получается не прибавлением какой-нибудь величины, а умножением на что-нибудь.

- А помнишь ли ты, как называется величина, которая прибавляется к каждому члену арифметической прогрессии, и та, на которую умножается каждый член геометрической?

- Помню. В арифметической эта величина называется разностью прогрессии, а в геометрической - знаменателем прогрессии.

- Ну-ка, - сказал Радикс, - напиши мне арифметическую прогрессию. Первый член у нее, конечно, будет единица, а разность - два.

Илюша взял мел и написал:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19...

- А теперь геометрическую.

Илюша написал:

1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512...

- Прелестно! - заметил Радикс. - Это какие у тебя прогрессии?

- Возрастающие.

- В высшей степени очаровательно! Ну, а давай-ка теперь убывающие.

Илюша написал следующее:

1, -1, -3, -5, -7, -9, -11, -13 ...

а затем:

1, 1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64, 1/128 ...

- Ну-с, юноша, - сказал после этого Радикс, - а способны ли вы дать мне определение той и другой прогрессии?

- 186 -

- Способен. Арифметической прогрессией называется ряд чисел, из которых каждое получается из предыдущего прибавлением постоянного положительного или отрицательного числа, которое называется разностью прогрессии. Геометрической прогрессией называется ряд чисел, из которых каждое равняется предыдущему, умноженному на постоянное число, целое или дробное, которое называется знаменателем прогрессии. Да это ты мне целый экзамен устраиваешь!

- Терпи, казак, - отвечал Радикс. - Без этого дальше и носа сунуть не дадут. Впрочем, может быть, тебе хочется, чтобы тебя не я, а Уникурсал Уникурсалыч экзаменовал?

- Нет уж, спасибо! - воскликнул испуганный Илюша. - Ну его совсем! Начнет опять нести свою околесицу да язвить, пока в голове полная каша не получится, а потом изволь в этой путанице разбираться.

- Раз мы с тобой вспомнили о нем, так не хочешь ли ты, кстати, решить две его задачки, не то что очень трудные, но все-таки над которыми надо немножко призадуматься? Вот что гласит первая: "В ночь на восемнадцатое июля тысяча пятьсот десятого, если не ошибаюсь, года большой корабль знаменитого флорентийского мореплавателя Америго Веспуччи вошел в устье некоторой большой реки за океаном и стал на якорь. Ночью же с борта корабля была спущена веревочная лестница с пятнадцатью деревянными перекладинами, доходившая как раз до адмиральской шлюпки, на которой Америго и отправился немедленно на берег. Расстояние между смежными перекладинами равнялось одному с четвертью английскому футу, который примерно равен тридцати с половиной сантиметрам. На рассвете начался прилив, вследствие которого вода в реке стала подниматься, будем считать с шести часов утра, со средней скоростью одного метра в час. Спрашивается: на сколько ступеней должен был подняться по веревочной лестнице в четверть девятого утра восемнадцатого июля тысяча пятьсот десятого года знаменитый и отважный мореход Америго Веспуччи, как раз в это время вернувшийся на своей адмиральской шлюпке с берега?"

- Одну минуту, - сказал Илюша. - Я запишу.

- Запиши! Это в таких случаях первое дело!

Илюша начал было записывать, потом остановился.

- Так ведь это... - воскликнул он. - Фу, какая ерунда!

Ха-ха-ха!

- 187 -

- Ну ладно! - засмеялся в ответ Радикс. - А вот и другая задачка: "В старину некий министр должен был выбрать одного из своих подчиненных, чтобы послать его за границу с очень важным порученьем. Так как этот старик министр был уверен, что для этого дела требуется быстро соображать и решать, то, выбрав троих самых способных молодых людей, он велел им стать посредине его кабинета на ковре, так, чтобы они стояли в трех углах некоего равностороннего треугольника. Затем он сказал им: "У меня есть здесь шесть бумажных колпачков: три белых и три зеленых. Сейчас слуги унесут отсюда свет, и я в наступившей темноте надену на голову каждого из вас один из этих колпачков. Затем слуги вновь внесут зажженные канделябры, и тогда каждый из вас, кто увидит у кого-нибудь зеленый колпачок, должен поднять руку. После этого тот, кто догадается, какого цвета колпачок у него на голове, должен опустить руку. Это и будет тот, кому я дам важное поручение". Слуги унесли свет, министр ощупью надел на каждого из испытуемых колпачок, и свет принесли снова. Как только в кабинете министра стало светло, все трое немедленно подняли руки. Прошло еще секунды две, и один из них опустил руку. Спрашивается: какого цвета были на каждом из троих колпачки и как догадался о цвете своего колпачка самый догадливый, то есть тот, кто опустил руку?"

- Постой-ка, - сказал Илюша, - я так понимаю: если на всех были бы белые колпачки, то ведь никто не поднял бы руку?

- Так! - отвечал Радикс.

- Если только на двоих будут белые колпачки, а на третьем зеленый, то совершенно ясно, что руки поднимут...

А если на двоих зеленые, то какая же будет разница с тем случаем, когда... Ах, догадался! Ясно! Ты понимаешь, я было запутался, потому что мне показалось, что два последних случая совершенно одинаковы. Но когда я подумал о том, что тот, самый догадливый, посмотрев на остальных, тут же и опустил руку, я сообразил, в чем дело. Хорошая задачка!

- Задачка недурная, - усмехнулся Радикс - Однако пора нам вернуться к нашим прогрессиям, где все так ясно и просто. Может быть, ты еще припомнишь, чему равняются их суммы?

- Помню, - сказал Илюша не очень решительно, - только мы еще не проходили прогрессий... И я, понимаешь ли, сам... то есть забрался в учебник, ну и... немного покопался. Так что насчет суммы...

- Как же теперь быть? - спросил его, состроив очень сочувственную мину, Радикс. - Положение получается прямо жуткое! Давай попробуем?

- Давай, - отвечал Илюша, упорно глядя не на своего друга, а на пол.

Но он тут же вскинул в удивлении голову, ибо сбоку раздался быстрый топот маленьких ножек и к ним вбежала целая толпа пресмешных карликов в пестрых колпачках. За ними шла вперевалку какая-то толстая особа, довольно невзрачного вида, жалобно подпиравшая щеку рукой.

- 188 -

Один из карликов выбежал вперед, подбежал к Радиксу, стащил с головы свой пестрый колпачок, выставил вперед правую ножку в красном сафьяновом сапожке и весело воскликнул:

- Привет, Радикс Кристофович! Привет вам, славная Сторона! Арифметическая прогрессия имеет честь явиться по вашему глубокомысленному пожеланию в полном составе! Dixi!

- Молодцы ребята! - ответствовал им Радикс.

Тут из толпы карликов выскочил еще один очень худенький человечек, все тело которого, казалось, состояло из одной тоненькой черты. Вместо головы у него тоже была черточка, вместо рук и ног - тоже по черточке. Он стал в очень важную позу, строго и серьезно взмахнул своей черточкой-ручонкой.

Сейчас же карлики, которые стояли сзади, вытащили из-за спины свои охотничьи рога и заиграли очень веселый марш, а остальные мигом пустились в пляс, а затем пропели очень звонко и весело своими тоненькими, словно флейта, голосами:

- Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!

Илюша смотрел как очарованный на этот превосходный балет, а когда они умолкли, очень вежливо сказал человечку черточке:

- Вы, если я не ошибаюсь, разность этой прекрасной прогрессии?

Человечек в знак согласия поклонился Илюше.

- У вас прекрасный хор. И танцоры замечательные!

И оркестр тоже очень хороший! Но почему вы назвали Радикса Кристофовичем да еще славной Стороной? И что значит слово dixi?

- А видите ли, - произнес человечек Разность, - ведь нашему другу недавно стукнуло от роду четыреста сорок лет, ибо именно столько лет прошло с тех пор, как математик Кристоф Рудольф в шестнадцатом веке ввел знак радикала.

В Индии его называли корнем, а в Европе нередко еще стороной, разумея, что подкоренное количество знаменует собой площадь квадрата, сторону какового надлежит найти. Могу еще указать, что в "Арифметике" Леонтия Магницкого, напечатанной в Москве в тысяча семьсот третьем году (в книге, по которой учился сам Ломоносов), корень обозначался прописной латинской буквой R и именовался "радикс" или "бок", то есть "сторона". A "dixi" значит: "Я сказал все, что собирался сказать".

- Ах вот как! - сказал Илюша.

- 189 -

Он хотел еще спросить кое о чем у этого любопытного человечка, но в это время Радикс произнес:

- Ну, друзья, будьте так любезны!

Карлики мигом выстроились в одну линию, причем человечек Разность суетился, мелькая между ними и расставляя их по порядку. Толстая женщина уныло стояла в сторонке, не принимая в этой веселой толкотне никакого участия.

Когда карлики выстроились, на их красивых кафтанчиках вдруг появились блестящие буквы:

a₁, a₂, a₃, a₄, a₅, ... , a_n-1, a_n.

- Это обозначения членов прогрессии. Можно было бы, конечно, их пометить просто буквами а, b, с и так далее, но азбука ведь довольно коротенькая, а номеров у нас сколько хотите, - пояснил человечек Разность - Энный член-это последний, "зн минус первый" - предпоследний, "эн минус второй" - третий с конца. Вот и все.

Тут же все буквы исчезли, а на кафтанчиках карликов появилась та самая прогрессия, которую недавно писал Илюша:

1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19...

Потом карлики вдруг быстро стали парами. Единица стала в пару с девятнадцатью, тройка с семнадцатью, пятерка с пятнадцатью, семерка с тринадцатью, а девятка с одиннадцатью.

Илюша посмотрел с удивлением и тут же заметил, что если взять некоего карлика от начала ряда, а потом найти ему пару, отсчитав то же число с другого конца, то сколько таких пар ни составляй, все они дадут в сумме одно и то же число. Снова у карликов цифры заменились буквами, и Илюша увидел, что к первой паре стоят a₁ и a_n, во второй - a₂ и a_n-1, в третьей - a₃ и a_n-2, и так далее. Когда он это рассмотрел, из толпы карликов вылез какой-то невзрачный лилипут в длиннополом сюртуке, который тащил такие большие конторские счеты, что они были чуть не больше его самого, хотя, в сущности, и лилипут и счеты были очень маленькие. Он подошел к Илюше и пробормотал:

- Я - Число членов прогрессии. Понятно?

Илюша кивнул ему. Тогда карлики снова выстроились в ряд, а за ними появился совершенно такой же ряд, но только расположенный в обратном порядке. Карлики обоих рядов приблизились друг к другу и a_n, опять стали парами: a₁ с a_n, a₂ с a_n-1 и так далее. Но только теперь это произошло очень быстро, потому что им не пришлось перебегать от начала ряда к его концу, так как второй ряд уже был расположен в обратном порядке.

- 190 -

Снова буквы сменились у всех на кафтанчиках цифрами, а рядом со счетоводом появились два маленьких человечка, совершенно таких же, как первый и последний члены ряда. Счетовод Числочленов вытащил откуда-то знак равенства, весьма важно оправил свой долгополый костюм, на котором появилась цифра "10", взял под руку двух маленьких человечков и стал рядом с ними по левую сторону знака равенства. Справа же стояли парами два ряда карликов. Счетовод взмахнул рукой, и один из рядов исчез, но одновременно крайние карлики взяли в руки скобки и рядом появился человечек с надписью "2". Получилось равенство:

10•(1 + 19) =2•(1+3 + 5 + 7 + 9+ 11 + 13+ 15+ 17+ 19)

Илюша посмотрел и сообразил: из каждой пары членов получается 20, членов всех десять - выйдет 200. Это с правой стороны. А с левой счетовод Числочленов равен десяти, а сумма пары 1 и 19 (которая равна сумме любой пары, если пары подбираются, как было сказано выше) дает 20. Десять умножим на двадцать - опять получим 200. Все правильно!

Затем счетовод Числочленов вытащил из своего долгополого сюртучка предлинную черту, посмотрел на нее, расправил, потом положил на пол, и все трое из левой части равенства стали на нее. Засим он поманил пальцем человечка-двойку, который подлез под длинную черту и, оказавшись замечательным силачом, приподнял всю левую часть над собой.

Толстая женщина подошла к ним, а карлики отошли в сторону. Илюша хотел было спросить у этой толстухи, кто она такая, но она проскрипела:

- Я - Сумма. А ты и не признал!

И на ее платье показалась цифра "100".

Илюша сильно покраснел, но ничего не сказал. Перед ним стояло равенство:

[10•(1 + 19)] / 2 = 100.

- 191 -

Все было правильно. Затем цифры быстро сменились буквами, и получилась формула:

S = [ n (a₁ + a_n) ] / 2

Илюша внимательно посмотрел на нее и уверенно произнес:

- Сумма членов арифметической прогрессии равняется половине произведения числа членов на сумму первого и последнего членов.

Счетовод Числочленов немедленно с большой поспешностью соскочил вниз и стал засовывать свою черту в карман, страшно гремя костяшками счетов, которые он боялся выпустить из рук. Карлики крикнули все хором:

- Мы все друзья и слуги ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!

И тотчас же все исчезло, будто вовсе не бывало.

- Ясно? - спросил его с улыбкой Радикс.

- Ясно, - ответил Илюша.

Но в это время снова раздались многочисленные шаги, и появилась новая толпа маленьких пузатеньких человечков, однако эти вели себя гораздо более важно и церемонно, чем первые. Изумительное равнодушие и важность были написаны на их толстеньких сморщенных личиках. Из толпы отделился тощий, длинный человечек в высоком цилиндре, за ленту которого была засунута буква q. Он подошел к Илюше, кивнул и показал двумя длинными пальцами на букву q на своем цилиндре. "Наверно, это знаменатель прогрессии!" - подумал Илюша, решив, что это к ним явилась геометрическая прогрессия в полном составе. Человечек с буквой q посмотрел на него и немедленно кивнул, точно он услыхал, что подумал Илюша. Человечки неторопливо стали в ряд. На их жилетках появились сперва буквы, точь-в-точь такие же, какие были у карликов; a₁, a₂, a₃ и так далее до a_n. А затем буквы исчезли и появились цифры: 3, 6, 12, 24, 48, 96, 192.

Долговязый человечек Знаменатель вытащил из-за ленты своего цилиндра букву q, что-то к ней приладил и опять вставил за ленту, где теперь появилось:

q = 2.

"Знаменатель равен двум!" - подумал Илюша.

- 192 -

Потом человечек достал из своих необъятных карманов две скобки, поставил их с обеих сторон прогрессии, а между человечками поставил по плюсу. Затем подошел к первому члену прогрессии, без труда приподнял его и понес за скобки. Но маленький человечек сопротивлялся и вырывался из рук. По-видимому, что-то было не по правилам. Человечки в скобках тоже волновались.

Тогда Знаменатель пожал плечами и отпустил человечка с надписью "3", и тот побежал вдоль ряда. На его месте появился другой - худой, с надписью "1", и каждый из членов прогрессии, мимо которого он пробегал, моментально сменялся другим, так что, когда человечек, запыхавшись, закончил свои бег и стал рядом, вне скобок, получилось:

3•(1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64).

"Ага! - подумал Илюша. - Значит, он их все сложил, а первый член вынес за скобку".

Человечек Знаменатель утвердительно кивнул Илюше.

Мальчик подумал, что этот безмолвный учитель, который обладает столь тонким слухом, что слышит даже и то, чего ты не произносил, - довольно интересная новость!

Тут же цифры на жилетках человечков заменились буквами:

a₁(1 + q¹ + q² + q³ + q⁴ + q⁵ + q⁶ + ... + q^n-2 + q^n-1).

"Правильно! - решил про себя Илюша. - Просто он заменил цифры алгебраическими обозначениями. Тут в конце стоят q^n-2 и q^n-1 - в том смысле, что прогрессию по тому же правилу можно тянуть вправо до любого члена. А почему членов у нас n, а старший показатель q не n, а (n-1)? Ах да!

Ведь впереди есть еще единица, то есть q°. Значит, один и еще (n-1) - вот и выйдет опять ровно n. Ясно! Значит, в сумме всякой геометрической прогрессии Можно взять первый член за скобку, а в скобках останутся степени знаменателя".

Человечек Знаменатель глянул мельком на Илюшу и, заметив, что тот все понял, даже не счел нужным кивнуть ему.

- 193 -

Затем он поднял свой длиннейший указательный палец правой руки вверх, покачал им торжественно, как бы приглашая Илюшу отнестись повнимательнее к тому, что он сейчас ему покажет. После этого он взял три первых члена из скобок, поставил их перед Илюшей и снова заключил в скобки.

(1 + q + q²)

Затем Знаменатель показал Илюше на эту тройку знаков и выразил на своем лице некое недоумение, как бы приглашая Илюшу объяснить: что он перед ним поставил? Илюша посмотрел на него, потом на троих человечков и ничего не мог придумать. Знаменатель недовольно нахмурился, сделал знак человечкам, и тогда первый и третий поменялись местами. Знаменатель снова сделал недоуменную мину и опять показал Илюше на тройку приятелей. Илюша посмотрел. Перед ним стояло:

(q² + q + 1)

Это было то же самое, только два члена выражения поменялись местами.

"Э! - подумал Илюша. - Да это просто неполный квадрат суммы!"

Не успел он это подумать, как вдруг откуда-то раздалось ядовитое хихиканье, и слишком хорошо ему известный голосок вездесущего Уникурсала Уникурсалыча произнес очень отчетливо:

- Ах, какой догадливый мальчик! А до того, как переставили, это, значит, не было неполным квадратом суммы? Вон как!

Илюша густо покраснел, хотел было что-то ответить, но не мог придумать ничего дельного, а человечек Знаменатель радостно закивал ему в знак согласия, немедленно вычел из самого себя единицу, залез в скобки, и перед Илюшей появилось:

(q² + q + 1) (q - 1) = ?

"Неполный квадрат суммы, - подумал Илюша, - если его умножить на разность первых степеней, будет равен разности кубов. Все ясно. Но к чему это он ведет?"

Человечек Знаменатель хитро подмигнул Илюше, как бы говоря: "Сейчас узнаешь!" - и перед мальчиком появилось:

(q² + q + 1) (q - 1) = q³ - 1.

"Ну конечно!" - подумал Илюша. Затем скобки немного раздвинулись, в них забрался еще человечек. Теперь получилось:

(q³ + q² + q + 1) (q - 1) = q⁴ - 1.

- 194 -

"Ишь ты! - подумал Илюша. - Как же так выходит?" Но когда он попробовал в уме перемножить скобки левой части, то убедился, что как раз так и получается. "Действительно, - подумал он, - когда я умножу q³ на q, то выйдет q³; когда умножу 1 на (- 1), то получится -1, а все остальное взаимно уничтожается, потому что от умножения на q всех членов, кроме первого, я получу q³, q², q и все будут с плюсом, от умножения на (-1) всех членов, кроме последнего, я получу те же q³, q², q, но все будут с минусами. Значит, только и останется q⁴ и - 1. Все верно!"

Тогда в скобки влез еще один человечек, и вышло:

(q⁴ + q³ + q² + q + 1) (q - 1) = q⁵ - 1.

Тут Илюша, рассуждая совершенно таким же образом, пришел снова к заключению, что и это тоже правильно.

А затем человечки стали так:

(q^n-1 + q^n-2 + ... + q⁴ + q³ + q² + q + 1) (q - 1) = qⁿ - 1.

"Так, - подумал Илюша. - Тут начинается с q^n-1. To-есть он хочет сказать, что это правило годится для любой степени".

Подумав немного, Илюша убедился, что Знаменатель совершенно прав.

Вслед за этим его новый приятель быстро схватил скобочку (q-1) и перенес в знаменатель правой части. Получилось:

q^n-1 + q^n-2 + ... + q⁴ + q³ + q² + q + 1 = (qⁿ - 1) / (q - 1).

Затем человечки быстро поменялись местами, и вышло:

1+ q + q²+ q³ + q⁴+...+q^n-2+ q^n-1 = (qⁿ - 1) / (q - 1).

Теперь человечек Знаменатель изобразил на своем личике самую приятную улыбку и снова показал получившуюся формулу Илюше, как бы приглашая его полюбоваться тем, что получилось.

Илюша внимательно посмотрел на формулу и подумал:

"Значит, налево стоит сумма геометрической прогрессии, у которой первый член равен единице. И теперь он получил выражение для этой суммы".

Знаменатель улыбнулся и привел двух человечков, у которых на жилетках стояла цифра "3". Затем между ними возник знак равенства, а у левого человечка тройка заменилась буквой, и вышло:

a₁ = 3.

"Так! - подумал Илюша. - Ну, я уж это знаю: первый член равен тройке".

- 195 -

Тогда у обоих человечков на жилетках появились одинаковые буквы. Человечек Знаменатель поставил одного к левой части своего равенства, а другого - к правой, и вышло:

a₁(1+ q + q²+ q³ + q⁴+...+q^n-2+ q^n-1 ) = a₁ (qⁿ - 1) / (q - 1).

"Обе части он умножил на первый член прогрессии, - подумал Илюша. - Это можно, конечно. Ну, и что ж у нас теперь вышло? Эх! Да это теперь как раз и получилась сумма всей прогрессии!"

В это время появилась какая-то длинная пожилая дама, которая взглянула на Илюшу с возмущением и пожала в ужасе плечами. По-видимому, это была очень нервная особа, потому что человечек Знаменатель обращался с ней до крайности предупредительно. Он подвел ее к своему равенству.

Рыжая дама горестно вздохнула, и на груди ее смутно вырисовалась буква S. "Сумма!" - подумал Илюша, а человечек Знаменатель сочувственно кивнул ему, как бы говоря:

"Пренеприятная особа! Ну, да ведь ничего не поделаешь!"

И получилось следующее равенство:

S = a₁(1+ q + q²+ q³ + q⁴+...+q^n-2+ q^n-1 ) = a₁ (qⁿ - 1) / (q - 1).

= а, с чем Илюша не мог не согласиться, а затем вся серединка формулы исчезла, и появилось окончательное выражение суммы:

S = a₁ (qⁿ - 1) / (q - 1)

- 196 -

Илюша громко и отчетливо произнес:

- Для того чтобы найти сумму геометрической прогрессии, нужно первый член прогрессии умножить на дробь, числитель которой равен разности между знаменателем прогрессии в степени, равной числу членов, и единицей, а знаменателем этой дроби является разность между знаменателем прогрессии и единицей.

Затем человечек Знаменатель разорвал свою дробь надвое:

S = a₁ [qⁿ / (q - 1) - 1 / (q - 1)]

а потом открыл скобки:

S = a₁qⁿ / (q - 1) - a₁ / (q - 1)

А вслед за тем Знаменатель еще раз поглядел на Илюшу и важно поклонился ему.

На лице его было написано полное удовлетворение всем происшедшим.

Рыжая дама сжала свои костлявые пальчики и смиренно посмотрела вверх. Илюша тоже машинально поглядел вверх и вдруг увидел, что на маленьком парашютике спускается крохотный, с кулачок, плюшевый Мишка.

Мишка спустился, встал на задние лапки и сказал Илюше, что его зовут Эн.

- Значит, ты число членов прогрессии?

- Угадал! - пискнул Мишка.

Вслед за этим началось акробатическое представление. Рыжая дама, стараясь не глядеть на Илюшу, стала слева. За ней в воздухе повис знак равенства. Затем Знаменатель повесил в воздухе две большие дробные черты, между ними приладил длинный тонкий минус. При этом он вдруг три раза щелкнул пальцами и превратился из одного человечка Знаменателя в троих, совершенно одинаковых. Один из них забрался на первую из двух дробных черт, рядом с первым членом прогрессии.

- 197 -

Плюшевый Мишка вдруг страшно оживился, прыгнул, точно кузнечик, и прямо с пола перелетел ему на тулью цилиндра. Получилась снова уже известная Илюше формула:

S = a₁qⁿ / (q - 1) - a₁ / (q - 1)

Буква n, которую Мишка столкнул своей плюшевой ланкой с цилиндра человечка Знаменателя, кое-как приподнялась с пола и жалобно пропищала:

- Я буду больше единицы!

В ответ на это плюшевый Мишка, очень удобно примостившийся на краю цилиндра Знаменателя, начал пыхтеть и понемножку толстеть, а дама начала понемногу расти вверх.

Илюша подумал: "Эн увеличивается, и сумма растет.

Ну да, так и должно быть, конечно! Чем больше будет число членов, тем и сумма будет больше. Ясно!"

А Мишка посмеивался и все толстел. Дама тоже все тянулась вверх. Мишка уже стал ростом с кошку, а дама выросла примерно вдвое. Самое странное при этом было то, что она не толстела, а только тянулась вверх и становилась все более тощей. Мишка вырос до размеров целого теленка, так что оставалось только удивляться, как он умещается на цилиндре, уцепившись за него задней лапой. Длинная дама уже даже начала как-то странно покачиваться, точно малейший ветерок мог ее свалить. А Мишка стал как настоящий Топтыгин.

Вдруг дама взвизгнула, ее головка дернулась вниз и вбок, вся она свернулась восьмеркой и упала на бок. А громадная задняя лапа Мишки тоже как-то завинтилась, вроде лежащей на боку восьмерки.

Илюша посмотрел на это и обернулся к Радиксу за помощью.

- 198 -

- Эта упавшая на бок восьмерка, - пояснил тот, - есть знак бесконечности. Если число членов растет безгранично, то и сумма прогрессии растет так же безгранично. В таком случае говорят, что и число членов и сумма прогрессии являются бесконечно большими величинами.

Илюша глянул искоса на Радикса и спросил:

- Так это, значит, и будет бесконечность?

- Н-да... - отозвался Радикс таким недовольным голосом, будто из него кто-то силком вытянул это "н-да"...

Он, видимо, был сильно не в духе.

- Послушан, - сказал Илюша как только умел любезно, - мне ужасно неприятно, что ты так на меня сердишься, но я, честное слово, не хотел тебя сердить. Честное слово! И я буду очень стараться. Только уж ты, пожалуйста, расскажи.

Значит, эта штука будет гораздо больше даже того поразительного архимедова числа, в котором восемьдесят квадриллионов нулей? Что же это за число такое?

Выслушав это, Радикс Нахмурился еще пуще. Видно было, что бедный Илюша, сам того не желая, задел беднягу за живое.

- Начнем с того, - заявил Радикс, - что это вовсе не число! Древний грек, замечательный философ древности Аристотель, который жил в четвертом веке до нашей эры, так говорил о бесконечности. "Она, - говорил Аристотель, - существует только в возможности". Он говорил еще, что это не такая величина, дальше которой ничего нет, а такая, дальше которой всегда есть еще что-то. Как это понимать? А вот как.

Когда мы говорим, что какая-нибудь величина является бесконечно большой, то, значит, мы говорим о величине, во-первых, переменной, а во-вторых, неограниченно возрастающей, вот как наш плюшевый Мишка или Сумма в то время, когда они растут и растут. Какие бы ты ни ставил вехи на пути такой переменной величины, она вce равно уйдет дальше их. Если ты перенесешь эти вехи затем еще дальше, она и за те уйдет, и так всегда будет, как бы ты далеко ни забирался.

Илюша посмотрел на формулу:

- Значит, когда ты говоришь, что наша сумма бесконечно большая, то нельзя понимать, что она стала "бесконечностью", а это только значит что она становится все больше и больше?

- Да. И это потому, что Мишка наш растет.

Попробуй-ка назначь какую-нибудь границу для суммы, назови какое-нибудь число, самое большое, какое тебе придет в голову.

- 199 -

- Ну, например, децильон. Это, помнится, десять в тридцать третьей степени, - подсчитал Илюша.

- Это очень просто, - ответил Мишка. - Ты требуешь, чтобы сумма

S = 3 • (2ⁿ - 1) / (2 - 1) = 3 • (2ⁿ - 1)

стала больше 10³³. Но 2¹⁰ больше, чем 10³, значит, 2¹¹⁰ уж наверно больше, чем 10³³, а у нас там еще множитель "три" в запасе. Но на самом деле не успею я и до ста дорасти, как сумма станет больше твоего числа.

- Верно! А если взять децильон децпльонов (это уже больше девятого архимедова числа), тогда что ты будешь делать?

- Тогда мне придется еще подрасти, - отвечал Мишка. - Вот когда я еще вдвое вырасту, до двухсот, сумма станет больше твоего числа 10⁶⁶. Можешь проверить, коли не лень.

- И так будет, - сказал Радикс, - всегда, какое бы ты число ни назначил. У нас это для краткости выражают так: когда число членов прогрессии со знаменателем, большим единицы или даже равным единице, неограниченно возрастает, сумма стремится к пределу, равному бесконечности.

- Вот тут уж я не понимаю, - ответил Илюша. - Как это - стремится к пределу, когда она как раз возрастает беспредельно? И что это значит - равному бесконечности? Как может быть что-нибудь равно бесконечности?

- Ты совершенно прав, сказал Радикс - Гораздо было бы лучше говорить, что ни к какому пределу она не стремится, ни к чему не приближается, а, наоборот, от всего удаляется... Но, видишь ли, бывают очень важные случаи, когда при таком же поведении Мишки переменные величины взаправду приближаются к каким-то числам, то есть к своим пределам.

- 200 -

Вспомни синьориту Одну Энную: при неограниченном возрастании "эн" она принимала все меньшие и меньшие значения; и про нее мы имеем право сказать, что она приближалась или стремилась к нулю, как к своему пределу.

Поэтому у нас и для бесконечно больших величин, возрастающих неограниченно, употребляют условно такой же способ выражения и говорят, что они "стремятся к бесконечности".

- Да... - задумчиво протянул Илюша. - Я понимаю, что синьорита Одна Энная не может стать равной нулю, а только стремится к нулю. Но ведь можно взять другой пример и выбрать именно такую величину, которая становится действительно равной нулю. Ну вот, скажем, беру я две прямые и буду одну поворачивать так, чтобы угол между прямыми уменьшался. Значит, когда я достигну того, что прямые мои станут параллельно, угол между ними будет просто равен нулю? Так я говорю или нет?

- Так, - ответил Радикс. - Но что же ты хочешь этим сказать?

- Не может ли и с бесконечностью так получиться, что какая-нибудь величина станет действительно равной бесконечности, а не только, как ты говоришь, будет стремиться к ней.

Вот, например, с этими прямыми. Я возьму какой-нибудь отрезок и к нему в одном конце перпендикуляр, а в другом - наклонную. Они пересекутся, скажем, на расстоянии х от основания перпендикуляра. Если поворачивать наклонную, чтобы сделать ее параллельной перпендикуляру, то х будет ведь стремиться к бесконечности в том самом смысле, как ты это говоришь, но когда отрезки станут параллельными, то ведь х и будет равным бесконечности...

Не успел Радикс ответить мальчику на это, как позади них раздалось такое сердитое пофыркивание, что Илюша невольно обернулся. Он увидел, что неподалеку от них стоит все тот же несносный Доктор Замысловатых Узлов и язвительным шепотом говорит следующее:

- О величайшая и пресветлая Лилавати, богиня волшебного мира! Кровь сохнет в жилах моих и уши увядают, когда я слышу эту беспросветную чепуху, что льется из уст этого непросвещенного отрока!

Засим грозный доктор Уникурсальян обратился к Илюшей возопил:

- Отвечай мне: во-первых, что же это будет за х? Стоит только достигнуть параллельности, и наклонная перестанет быть наклонной. И останутся два перпендикуляра, которые, как, может быть, и тебе известно, ни в какой точке пересекаться не умеют. А ведь, по-твоему, х, как это донеслось до слуха моего, есть именно расстояние от основания перпендикуляра до точки, которой нет?

- 201 -

- Ну хорошо, я скажу иначе, - возразил Илюша. - Просто возьму перпендикуляр и буду двигать по нему точку, начиная от какой-то начальной - той, которая была основанием перпендикуляра, - все дальше и дальше так, чтобы расстояние х от начальной точки стремилось к бесконечности. Так вот, когда я вместо отрезка перпендикуляра до удаляющейся точки возьму всю эту часть перпендикуляра, то есть весь луч, идущий в одном направлении от начальной точки, то тогда можно уж сказать, что этот луч имеет длину, равную бесконечности, то есть что расстояние х уже стало действительно бесконечностью.

- Сказать можно все, что угодно, - сердито отвечал командор, - а какой в этом будет смысл? Что вы разумеете под словом "длина", юноша? Если я вас правильно понял, то вы имели в виду длину отрезка, а ведь это не что иное, как число, которое можно получить, если этот отрезок измерять, откладывая на нем единицу длины. Но перед вами не отрезок, а луч, и откладывать на нем единицу можно сколько угодно раз, но от вашей цели вы при этом будете все так же далеки, как в самом начале, хотя бы вы и отложили единицу децильон децильонов раз. Ибо попробуйте, сделав это, удалиться на столь же почтенное расстояние от вашей работы и посмотреть издали: вам покажется, что вы еще с места не сдвинулись. Конечно, можно сказать, выражаясь, однако, совершенно условно, что "длина луча равна бесконечности", по и это опять будет иметь только тот смысл, что сколько бы раз ни откладывал ты единицу меры вдоль луча, этому не будет конца, то есть какое бы число ни назначить, единицу можно отложить еще большее число раз.

- А почему же, - спросил Илюша, - нельзя просто сказать, что единица отложится "бесконечное число раз"? Ведь мы говорим же, что число всех чисел бесконечно или что на отрезке умещается бесконечное число точек...

- И здесь эти выражения имеют тот же самый смысл, - отвечал Радикс (ибо Магистр Деревьев уже исчез). - Сосчитать все точки на отрезке невозможно. Когда ты говоришь, что число точек на отрезке бесконечно, то только признаешься в том, что сколько бы точек ты ни отметил, всегда можно найти на отрезке еще одну, не отмеченную, и так дальше, без конца. Недаром же мы произносим слово "бес-конечность".

Вспомни Архимеда: ведь как раз его задачей и было доказать современникам, что какое бы большое число ни назвать, всегда можно построить еще большее.

- 202 -