Схолия Восьмая,

We use cookies. Read the Privacy and Cookie Policy

Схолия Восьмая,

из которой любезный читатель узнает о том, как некий скромный знак препинания отправляется прогуляться по бережку весьма живописной речки, но никто из присутствующих никак не может понять, по какому берегу он идет - по этому или по противоположному. Наши друзья пытаются разрешить это небывалое затруднение при помощи карманных часов, но из этого ничего не выходит, потому что эти часы ведут себя не только весьма двулично, но, сверх того, еще находятся в самой тесной дружбе с одним несговорчивым зверьком, по имени спрут. Однако доблестный Илья Алексеевич, не теряя присутствия духа, бросается на своего страшного врага с ножницами и после пятикратного боя выходит из этой борьбы победителем. Естественно, что ему дается награда за этот знаменитый подвиг, благодаря чему он и получает возможность потрогать собственными руками ту самую таинственную бутылку, в которой сидел ужасный джинн из арабской сказки, причем талисман, которым был на тысячи лет запечатан в этой бутылке джинн, оказывается троюродным внуком одного нашего хорошего знакомого.

- Вот что, - сказал Радикс, забираясь в кресло, - ты ведь еще спрашивал насчет двери в домик Розамунды. Понравилась? А ведь признайся: в качестве двери в волшебное царство - устройство самое подходящее! А между тем эту дверь очень легко сделать.

- 128 -

Он протянул Илюше ровную четырехугольную полоску бумаги. На четырех углах ее стояли буквы А, В, С, D.

- Ну-ка, сверни ее кольцом.

Илюша свернул.

- А теперь поверни один конец на сто восемьдесят градусов, то есть обратной стороной, так, чтобы буква С пришлась против А и В - против D. Нажми хорошенько, и концы склеятся.

Илюша так и сделал. И у него в руках оказалась бумажная фигурка, которая нарисована внизу.

- Ну, вот и дверь, - сказал Радикс.

- Как так? - спросил Илюша в недоумении, разглядывая бумажную фигурку.

- А очень просто, - отвечал ему его приятель. - Это односторонний Мебиусов лист. (Вырежи скорее себе полоску бумажки, склей ее, как показано на картинке. Бери полоску в 25 см длиной и в 3 см шириной.)

- Вот какая странная бумажка! - сказал Илюша. - Действительно ты прав, - эта дверь как раз так и была устроена.

Теперь я как будто понимаю, как я очутился с другой стороны, не переходя через край. Какая интересная поверхность!

- Ну, - сказал Радикс, - это еще что! Наш Бушмейстер еще и не такие чудеса может показывать.

- А кто такой Бушмейстер?

- А это такая змея водится в Гвиане. Страшно ядовитая, а хитра, как сам сатана.

Правда, она двусторонняя.

Но наша поверхность тоже очень хитрая, мы ее и прозвали Бушмейстером.

Однако с бумажкой нам будет не очень удобно.

Лучше мы попросим нашего Бушмейстера явиться к нам сюда собственной персоной. А вот и он! Прошу любить да жаловать.

- 129 -

И перед Илюшей повисла в воздухе Мебиусова поверхность, но довольно большая, около метра с лишним, а ширина ленты была сантиметров тридцать. Сделан был милейший Бушмейстер не из бумаги, а из почти совершенно прозрачного стекла. Илюша обошел его со всех сторон и заметил, что лента, из которой сделана односторонняя поверхность, была совершенно лишена толщины, как и полагается настоящей геометрической поверхности, однако была очень крепкая.

- Ну-с, - сказал Радикс, - надо тебе с ним познакомиться. Вот тебе карандаш. Проведи-ка вдоль всего Бушмейстера линию, но только с одной стороны. Начни, например, отсюда.

Попросим его на минуту сделаться непрозрачным.

- Попробую, - сказал Илюша и взял карандаш. - Вот.

И линия у меня сомкнулась, совсем как на обыкновенной ленте.

- Ты думаешь? А ну-ка, покажи мне теперь ту сторону Бушмейстера, на которой ты не проводил линию.

Илюша посмотрел снизу и воскликнул:

- Я вел линию все время с одной стороны, по она оказалась и там тоже! Выходит, что у него одна только сторона и есть. Он действительно односторонний!

А Бушмейстер мгновенно полинял и снова стал прозрачным.

Однако когда мальчик через минуту взглянул на Бушмейстера, он заметил, что теперь по самой середине поверхности течет речка из темной, непрозрачной жидкости. Речка текла в одном направлении и представляла собой движущуюся ленту из жидкости, вставленную в эту стеклянную ленту. Почему эта жидкость не проливалась? Однако если в этом мире Бушмейстер может сам по себе висеть в воздухе, то почему бы не висеть и речке?

Затем Радикс положил на ладошку Илюше что-то совсем крошечное и черненькое.

- Что это такое? - удивленно произнес мальчик.

В ответ с его ладошки раздался тоненький, еле слышный писк:

- Я - Точка! Геометрическая Точка. Неужели не узнал?

Илюша начал было рассматривать свою новую знакомку, но Радикс сказал ему:

- Ну-ка, брось Точку в эту речку.

Илюша бросил Точку, и она поплыла по течению вокруг по всей ленте, вернулась на старое место и опять поплыла в том же направлении. Так что Илюша еще раз мог убедиться, что конца у этой поверхности, как и у окружности, пет.

- Ну, а теперь, - продолжал Радикс, - выуди ее оттуда и положи на бережок, который около тебя.

- 130 -

Илюша выловил Точку и положил ее на берег речки.

- На какой берег ты ее положил? - спросил Радикс.

- Если я стану лицом по течению реки и буду смотреть на ленту сверху, - отвечал Илюша, - то, значит, она лежит на правом берегу.

- На правом? - переспросил Радикс.

- Да, - ответил Илюша.

- Так, - ответил Радикс, - на правом так на правом. Так и запишем: Точка находится на правом берегу речки.

Точка легла на плоскость. Однако лента была настолько тонка, что Точка прошла ее всю насквозь, как чернильная клякса на промокашке, и ее на ленте было отлично видно как сверху, так и снизу.

- Готово! - пискнула Точка из плоскости.

- Прелестно! - отвечал ей Радикс. - А теперь я попрошу тебя, любезная Точечка, двигаться по берегу вниз по течению речки, но, пожалуйста, двигайся как можно медленнее.

Точка послушалась и медленно поплыла внутри ленты.

Илюша отлично видел ее.

- А ты, Илюша, - сказал Радикс, - следи за ней. И как только ты ее снова увидишь сверху, скажи ей, чтобы она остановилась. Понял?

- Понял, - отвечал Илюша.

Точка медленно подошла к тому месту, где лента Бушмейстера поворачивала вниз, исчезла на миг, появилась на сгибе и опять исчезла. Затем Илюша увидел, как она появилась с другого края и начала двигаться вверх. Когда она подошла к нему поближе, Илюша скомандовал:

- Точка, стоп!

Точка остановилась.

- Ты ее видишь? - спросил Радикс.

- Вижу, - ответил мальчик.

- Ясно видишь?

- Совершенно ясно. Она ведь прошла насквозь через ленту.

- Можешь ты мне ответить, на каком она берегу? Только посмотри повнимательней.

Илюша посмотрел и ответил:

- Я смотрю опять сверху. И берег определяю так же, то есть по течению речки. Но только... только... хм... Вот уж я не знаю...

- Чего ты не знаешь?

- Она сейчас на другом берегу!

- На каком другом?

- На левом.

- А ты не ошибаешься?

- 131 -

- Да нет, - ответил Илюша, - я не могу ошибиться, потому что даже поставил мелом крестик на том месте, куда ее положил. И вот крестик остался на правом берегу, а она на левом. .. Послушай, Радикс, а можно, чтобы она еще раз пошла?

- Прошу, - отвечал тот.

- Точка, - сказал Илюша, стараясь говорить как можно более внятно и определенно, - продолжай двигаться в том же направлении, в каком ты двигалась, и так же медленно. Поняла?

- Как не понять! - раздался тоненький писк, и Точка поплыла вдоль по ленте.

Через некоторое время она появилась на правом берегу, около крестика. Илюша не остановил ее, она пошла дальше и снова появилась на левом берегу.

- Значит, - сказал в раздумье Илюша, - ей надо обойти плоскость эту два раза, чтобы попасть на то же самое место.

- Точно! - отвечал Радикс.

- А когда она плыла по поверхности речки, ей надо было обойти плоскость только один раз, - сказал Илюша.

- В этом роде, - рассеянно отвечал Радикс. - Однако это еще не все. Ну, ты, Точка, можешь теперь исчезнуть! Благодарю.

Точка немедленно исчезла, вслед за ней исчезла и речка.

- Вот тут у меня часики есть, - продолжал Илюшин друг, - посмотри-ка!

Илюша взял со стола обыкновенные карманные часы.

Впрочем, при ближайшем рассмотрении они оказались не совсем обыкновенными, потому что были плоские и очень тонкие, примерно в миллиметр толщины, и совершенно прозрачные, так что стрелки можно было видеть с обеих сторон. Шли они очень быстро, и поэтому Илюша ясно видел, как бежит большая, минутная стрелка. Часовая двигалась медленнее, во и ее движение было заметно.

- Положи их на Бушмейстера около твоего крестика, предложил Радикс.

Илюша положил их на самый крестик.

- Ну-ка, часики, - сказал Радикс, - прошу вас, принимайтесь за работу.

Часы сразу ушли в ленту так же, как это сделала Точка.

Они медленно двинулись в путь вдоль ленты вперед, по тому же направлению, по которому раньше текла речка, словно они были вставлены в ленту. Илюша внимательно следил за ними.

Часики плыли, плыли и наконец показались около самого крестика.

- Стойте! Стойте! - закричал Илюша вне себя от удивления,

- 132 -

Часики остановились около крестика, а Илюша смотрел на них и ничего не понимал. Циферблат был виден как будто отраженный в зеркале. Стрелки бежали с прежней быстротой, но уж теперь в обратную сторону, следуя движению переставленных цифр: против часовой стрелки!

- Теперь уж я совсем ничего не понимаю! - воскликнул Илюша в отчаянии. - Ну, идите дальше!

Часы послушались и через некоторое время снова появились у крестика. Теперь у них опять был обычный циферблат, и их стрелки двигались нормально. Затем они вновь появились около крестика, и тут стрелки опять бежали в противоположную сторону.

- Нет, - сказал Илюша, - этого я не могу понять. Они где-то меняют направление движения стрелок.

- Ты думаешь? - спросил Радикс. - Ну хорошо, постарайся проследить, где именно это происходит. Вот тебе вторые часики, такие же. Оставь одни часы около крестика, а сам следи за теми, которые будут плыть в ленте.

Илюша послушался и заметил, что часы, за которыми он следил не отрываясь, ведут себя обычно. Но когда часы добрались до крестика и оказались рядом с теми часами, которые там оставались, Илюша с удивлением обнаружил, что теперь те часы, которые не двигались, идут в противоположную сторону.

- Может быть, - произнес в недоумении Илюша, - я просто смотрю теперь на них с другой стороны ленты?

- С другой стороны? - спросил Радикс. - А когда же ты успел перебраться на "другую сторону"? И что это за "другая сторона"? Ты ведь, кажется, убедился, что у этой поверхности только одна сторона и есть.

- Но мне кажется, что на часы я смотрю с другой стороны!

- Хм... - иронически промолвил Радикс. - Но вот то-то и удивительно, что, оставаясь с той же стороны поверхности, ты ухитрился на часы посмотреть "с другой стороны". Нет, тут дело немножко похитрее. Если эти часы принадлежат ленте, вделаны в нее, то и о них уже нельзя сказать, где у них одна сторона, где другая.

- 133 -

- Да, - сказал Илюша. - Но если лента и часы непрозрачные, они будут в том же месте с другой стороны ленты, и я их не увижу.

- Это так, но если ты хочешь рассуждать о поверхности, у которой нет никакой толщины, то лучше представлять себе ее прозрачной, как мы с самого начала и сделали. А ты рассуждаешь о листке бумаги - это уже, собственно говоря, удвоенный Бушмейстер или, если хочешь, Бушмейстер "в чехле". Но и на нем происходят удивительные вещи: не пересекая края, ты можешь непрерывным движением перейти из точки, которая находится с одной стороны и тебе видна, в точку противоположной "в этом месте" стороны, от тебя закрытой. Ты совершенно правильно выразился сейчас, сказав "в том же месте с другой стороны". Если вырезать маленький кружок из Бушмейстера, то этот кружок будет такой же двусторонний, как и кружок, вырезанный из самой обыкновенной ленты. Но если его окрасить в разные цвета с разных сторон (например, с одной - в синий, а с другой - в красный), потом вставить обратно в ленту и закрасить соседние части ленты в цвет, одинаковый с цветом примыкающей стороны кружка, то может сначала показаться, что закрашены в разные цвета разные стороны поверхности. Но это можно сделать именно только "в данном месте". Если раскрашивать ленту дальше, то синий и красный цвета столкнутся. Где это случится? Сразу "на обеих сторонах"? Или "на одной из них"? Значит, у Бушмейстера, если взять его в целом, действительно нет возможности разграничить одну и другую стороны. Вот поэтому-то мы и называем его односторонним!

Радикс посмотрел на Илюшу, улыбнулся и промолвил:

- Можно проделать еще один интересный опыт с Бушмейстером, который, я надеюсь, покажется тебе более понятным. Пусть снова вдоль всего Бушмейстера, посредине, будет течь широкая речка.

Немедленно на Бушмейстере снова появилась речка.

- Выстроим на речке плотину, - сказал Радикс, - то есть превратим речку в пруд.

Речка сейчас же сделалась спокойной, как пруд, а на Бушмейстере появилась плотина, образовавшая широкую перемычку между тем берегом речки, у которого стоял Илюша, и противоположным.

- Теперь, - продолжал Радикс, - я беру двое обыкновенных на вид карманных часов. Одни я положу в виде островка в пруд слева от плотины, а другие - справа. Сейчас и те и другие часики стоят, а идти они начнут по команде нашей старой приятельницы - Точки.

Немедленно недалеко от плотины на поверхности Бушмейстера показалась и Точка.

- 134 -

- Теперь, - сказал Радикс, - мы пустим нашу Точку в обход пруда, причем она отправится с нашей стороны плотины на другой берег, а затем повернет направо и отправится в обход по берегу. Позволим ей кружиться вокруг нашего пруда в одном и том же направлении столько, сколько ей вздумается. А теперь слушайте меня, вы, часики ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА!

Стрелки показывают, как двигалась Точка.

- Тик-так. Слу-тик-ша-так-ем-тик-так! - ответили двое часиков. - Тик-так. Вот-как! Тик-так.

- Ну-ну! Потише! - заворчал на них Радикс. - Идти еще вам не полагается. Но вы должны пойти, когда каждым из вас скомандует Точка, проходя мимо. И при этом каждые из вас должны пойти так, чтобы ваши стрелки побежали в том же направлении, в котором вас огибает Точка, как будто она зацепила концы стрелок и увлекла их за собой.

Часики в один голос отвечали, что они поняли и так и сделают.

- Точка, вперед! - скомандовал Илюша.

Точка двинулась вперед, перешла через плотину и скомандовала правым часикам: "Шагом марш!" Первые часики немедленно пошли в обычном направлении - "по часовой стрелке", так как Точка, пройдя плотину, повернула направо по берегу пруда и проследовала дальше по изгибу ленты Бушмейстера. Через минуту она появилась снова: Илюша увидел ее слева от плотины, но, к своему удивлению, не на противоположном берегу, а на том самом, с которого она ушла. Точка снова скомандовала, на этот раз левым часикам: "Шагом марш!" Часики затикали, а Точка, пройдя через плотину и продолжая огибать левую сторону пруда, повернула налево и продолжала свое движение в том же направлении по ленте Бушмейстера.

Илюша наклонился над левыми часиками и убедился, что они идут полным ходом, но в направлении "против часовой стрелки", то есть в том направлении, которое в математике называется положительным направлением вращения.

- Вот так история! - сказал Илюша - Часики идут в разные стороны, а Точка обходит пруд все время в одном направлении. Как же это так выходит?..

Илюша еще раз проследил за Точкой и за часиками, посмотрел на все это очень растерянно и почесал в затылке.

- А здорово получается! - произнес наш герой. - Сперва Точка по моей команде идет вперед и пруд у нее справа.

- 135 -

А когда она снова, объехав всего Бушмейстера, подходит к запруде, то пруд оказывается от нее слева... И если даже я просуну голову снизу и буду смотреть как бы "с другой стороны", то опять получается, что сначала пруд у нее слева, а потом справа! А где она меняет свое "правое" на "левое", я найти не могу...

- Вот видишь, - промолвил Радикс наставительно, - на нашей поверхности не только нет "двух различных сторон", на ней нельзя установить и определенного "направления вращения". Одно и то же движение ты можешь воспринимать как вращение в обычном направлении часовой стрелки и одновременно в противоположном. Ведь ты, например, не можешь сказать, как твоя Точка обходит пруд: по часовой стрелке или против? Одно направление непрерывно переходит в другое, когда Точка обегает вокруг ленты.

- Это ужасно трудно понять! - сказал Илюша. - Кажется, просто кусочек бумажки, а показывает какие чудеса!

- То-то и дело! Вот ты и мотай на ус! Ну, теперь еще одно крохотное чудо. Друг сердечный, Бушмейстер, а ты не мог бы немного уменьшиться?

Бушмейстер послушался и уменьшился примерно вдвое.

- Так-с, - сказал Радикс Илюше, поглядывая на него немного иронически. - Вот что: возьми ножницы. Как ты думаешь, можно нашего друга Бушмейстера разрезать вдоль по самой серединке?

- Наверное, можно, - сказал не совсем уверенно Илюша.

- А что из этого получится?

- Ну... получатся... два Бушмейстера. Вот и все.

- И больше ничего?

Илюша задумался и посмотрел внимательно на Бушмейстера.

- Ах нет! - сказал он. - Не только... будет, конечно, два Бушмейстера, но они друг за друга зацепятся... ну, как кольца в цепочке.

- Та-ак-с... - протянул Радикс. - Давай попробуем!

Возьми-ка ножницы и разрежь его, беднягу, вдоль всего брюха, которое в то же время служит ему спиной. Посерединке. Как есть на свете головоногие существа, так и Бушмейстер есть существо спиннобрюхое. Ну-ка, режь!

Посмотрим, что он запоет.

Оказалось, что стекло, из которого был сделан Бушмейстер, прекрасно режется обыкновенными ножницами.

- 136 -

Илюша резал, держась самой середины ленты, добрался до того места, с которого начал резать, и сделал последнее движение ножницами. Разрезы сомкнулись. Илюша вскрикнул и отскочил в сторону. На мгновение он испытал то же самое, что испытывает хорек, около которого мелькнут стальные челюсти капкана, или то, что испытывает водолаз, который глубоко под водой встретится внезапно со спрутом. Он глядел на то, что получилось, и глазам не верил. (А что получилось? Этого рассказать нельзя! Бери скорее ножницы и попробуй разрезать своего маленького бумажного Бушмейстера, как разрезал Илюша. И ты все узнаешь!)

- Ну? Как тебе это нравится? - спросил, улыбаясь, Радикс. - Ты, кажется, этого не ожидал?

- Нет, никак не ожидал.

Илюша обошел около того, что получилось из разрезанного Бушмейстера, постоял, подумал, а потом сказал:

- Теперь я, кажется, понимаю, почему Точке надо было его обойти два раза, чтобы попасть на старое место.

- Да, - сказал Радикс, - наш Бушмейстер до того лукав, что сразу не скажешь, что он выкинет.

- Какая хитрая штука! И я все-таки не совсем понял.

Я, кажется, догадываюсь, что так должно быть, но не могу объяснить, как это происходит и почему. Только ты не смейся.

- Так бывает, - отвечал Радикс, - и нередко. В этом нет ничего смешного. Но только этого еще мало. Надо все разобрать до конца и понять. Значит, ты за какую-то ниточку ухватился. А что это за ниточка? Где ее конец? Надо добиться, чтобы никаких сомнений не осталось.

- Я вот еще хотел что спросить: нельзя ли из Бушмейстера вырезать такую фигуру, чтобы опять получился Бушмейстер?

- Почему нельзя? Можно! Только в таком случае нужно действовать по-другому, - ответил Радикс. - Если ты хочешь вырезать из бумажного кружка другой кружок, поменьше, который, естественно, будет подобен первому, ведь ты не станешь резать первый кружок поперек, по диаметру?

- Ну конечно, нет! Что же это будет за подобие?

- А как же ты поступишь?

- Очень просто! Проколю кружок ножницами, а потом вырежу из серединки маленький кружок. Вот и все. Будет колечко и маленький кружок.

- Так... А теперь сообрази, как можно сделать нечто в том же роде и с нашим другом Бушмейстером.

Илюша задумался, стараясь сосредоточиться.

- Постой! - сказал он. - Ведь Бушмейстер очень похож на цилиндр, открытый снизу и сверху, то есть я хочу сказать, что Бушмейстер похож на цилиндрическую трубу. Но только один край у него перевернут на сто восемьдесят градусов.

- 137 -

Радикс кивнул.

- Если я у него отрежу край... Нет, так не выйдет! Если я буду отрезать у него край, это опять будет то же Самое, как если резать посерединке, только поближе к боку.

Никак не поймешь, как с ним быть! Если я отрежу у цилиндрической трубы край, то это будет опять цилиндрическая труба, только покороче.

А здесь так нельзя.

- А если ты отрежешь у твоей цилиндрической трубы еще другой край?

- Тогда будет три коротенькие трубы, вот и все.

- Хм... - неопределенно промычал Радикс.

Опять Илюша замолчал и задумался.

- Нет, - сказал он наконец, - надо попробовать разрезать Бушмейстера не один раз вдоль, а два раза, то есть разрезать его не надвое, как я пытался сделать, а натрое?

Я буду резать так, чтобы разрезы шли вдоль всего Бушмейстера параллельно, на равном расстоянии друг от друга.

И начну так, чтобы отрезать от него ровно треть его ширины.

- Попробуй.

Илюша подошел к Бушмейстеру и начал резать[12].

- 138 -

К удивлению Илюши, хотя он, по его расчету, уже отрезал один край, разрез не сомкнулся. Когда дело подошло к концу, Илюша последний раз нажал на ножницы и отскочил в сторону.

Бушмейстер метнулся своими петлями сразу во все стороны и неподвижно повис в воздухе.

Илюша подошел, посмотрел очень внимательно, потому что разобрать сразу, что вышло, было не так-то просто, а потом воскликнул:

- Ура! Получился маленький Бушмейстер! Маленький Бушмейстер!

Илюша даже подпрыгнул от удовольствия.

- Но только он зацепился за свой собственный край. Как интересно!

Илюша долго ходил вокруг того, что у него получилось, а затем сказал:

- Слушай, Радикс, мне хочется еще одну штуку попробовать. Попроси его, чтобы он опять сложился.

Но Бушмейстер не заставил себя долго просить и через секунду снова уже висел в своей первозданной красоте.

- Я хочу его теперь разрезать так, как я резал первый раз, - промолвил Илюша. - А потом еще раз тем же способом. Я его делил на две части, потом на три, а теперь хочу поделить на четыре.

Илюша разрезал Бушмейстера надвое. Бушмейстер снова заплясал в воздухе, завинтившись петлями, а потом успокоился и повис неподвижно, по своему обыкновению.

- Теперь-то я уж знаю, что будет! - сказал Илюша, принимаясь резать разрезанного надвое Бушмейстера снова вдоль, во второй раз. - Он теперь еще длиннее станет!

Когда Илюша кончил резать, причудливые петли Бушмейстера снова бурно заплясали в воздухе. А когда танец торжествующего Бушмейстера окончился, мальчик подошел и начал внимательно его рассматривать.

Оказалось, что хитрый Бушмейстер опять обманул Илюшу!

- Да как же это так выходит? - размышлял Илюша вслух.

- Ну, - сказал Радикс, - помоги ему, Бушмейстер! Что ж ты его мучаешь? Разве так с гостями поступают?

- 139 -

В ответ Бушмейстер возмущенно зашипел, точь-в-точь как шипит змея, и весь - заходил ходуном от негодования, но потом все-таки начал медленно прибирать свои петли. Через минуту он был целехонек.

Илюша подошел и заметил, что Бушмейстер несколько изменился в цвете. Если смотреть на него сверху, то левая половина его ленты стала красной, а правая - синей. При этом Бушмейстер стал непрозрачным, а лента его стала потолще.

Илюша посмотрел, провел по Бушмейстеру пальцем и обнаружил, что если идти по красной полосе, то и придешь на красную, а если по синей - только и будешь ходить по синей.

Илюша снова взял ножницы и опять начал старательно резать Бушмейстера, ведя разрез как раз по границе между синей и красной половинками. Когда он кончил, Бушмейстер в полном восторге заплясал в воздухе, а потом опять успокоился. Мальчик начал внимательно разглядывать все его петли, которые так напугали его в первый раз.

Долго он рассматривал эти загадочные причуды Бушмейстера и вдруг воскликнул:

- А-а! Вот оно что! Да, действительно, он мне помог.

Спасибо тебе, Бушмейстер! Теперь мне понятно, в чем дело.

Он перестал быть односторонним.

Действительно, одна сторона разрезанного Бушмейстера была вся синяя, а другая - вся красная. Правда, сразу это было очень трудно заметить из-за сложных петель, но когда Илюша провел по красной стороне пальцем, он убедился, что так действительно и есть.

- Но все-таки, - опять запутался мальчик, - почему же он удваивается, если резать еще раз?

Илюша потер лоб в недоумении и наконец догадался.

- 140 -

- Ну да, - медленно произнес он, - значит, когда его разрежешь, он превращается в цилиндрическую трубу, только перекрученную, потому что у него теперь две стороны. А если разрезать трубу, то, конечно, получится две трубы. Теперь ясно. Я прямо замучился с этим Бушмейстером!

- А почему же он превращается в цилиндрическую трубу? - спросил Радикс.

- Потому что ведь у Бушмейстера один край, или, скажем, ребро...

- Верней сказать, - поправил его Радикс, - у него один берег. А если ты его разрезаешь и твой разрез смыкается, то, следовательно, ты прибавляешь ему еще берег. И тогда он перестает быть односторонним.

Бушмейстер снова свернулся по-старому. И опять стал прозрачным и тонким.

- Ну, теперь, - удовлетворенно произнес Илюша, - я попробую разрезать его вдоль на пять частей. И теперь я уж уверен, что он утроится. И две его части будут двусторонними, а третья будет маленький Бушмейстер.

И Бушмейстер и Радикс оба промолчали. Мальчик взял снова ножницы и опять принялся за свою хоть и не трудную, но зато полную всяких неожиданностей работу.

Наконец он кончил. Бушмейстер плясал на этот раз даже дважды. Илюша с удовлетворением посмотрел на то, что у него получилось после того, как Бушмейстер отплясал второй раз, и убедился, что все так и вышло, как он решил заранее.

- Молодцом! - сказал Радикс. - Ты рассудил правильно.

Бушмейстер страшно зашипел, потом громоподобно захохотал, сложился еще раз по-старому и мгновенно исчез.

- Счастье твое, - сказал Радикс, - что он был сегодня в таком хорошем настроении и был до того любезен, что окрасился даже в разные цвета.

- Да, - подхватил Илюша, - без этого я бы никогда не догадался.

- Это только для тебя, - наставительно произнес Радикс, - а то его нипочем не упросишь. Дело в том, что в самой своей сущности он ведь пленка, вроде мыльного пузыря.

И в этом-то вся его сила. А это уж только для того, чтобы ты догадался, что происходит, когда его режешь[13]. Мы уже упоминали в Схолии Пятой о топологии. Теперь я могу тебе еще сказать, что наш Бушмейстер имеет к этой науке касательство самое непосредственное. Знай, что наука эта весьма была обогащена трудами советских топологов, из числа которых следует назвать П. С. Александрова, Л. С. Понтрягина и П. С. Урысона.

- 141 -

- Только вот еще что, - не совсем уверенно начал Илюша (видно было, что Бушмейстер сильно озадачил его и не выходил у него из головы). - Разве нельзя все-таки как-нибудь из Бушмейстера вырезать двух Бушмейстеров?

Радикс снопа подал Илюше маленького бумажного Бушмейстера, которого они склеили в начале разговора.

- Посмотри, - сказал он, - внимательно. Если мы начнем делать его ленту все шире и шире, то, как ты думаешь, что из этого получится?

- Очень скоро придется остановиться, потому что изгиб мешает расширять ленту.

- Другими словами, - продолжал- Радикс, - если мы будем расширять ленту, то Бушмейстер пересечет самого себя.

Не так ли?

Илюша не мог не согласиться с этим.

- Скажи, пожалуйста, - начал снова Радикс, - ты помнишь арабскую сказку о том, как один рыбак закинул однажды сеть в море и вытащил мертвого осла, а затем судьба послала ему кувшин, набитый песком, а на третий раз - бутылку, запечатанную волшебной печатью Сулеймана, и когда он ее откупорил, из нее пошел дым до самых облаков, который превратился в грозного джинна?

- Ну еще бы! - сказал Илюша. - Я даже в кино эту сказку видел.

- А бутылку ты видел?

- Видел. Бутылка самая обыкновенная. А вот джинн, когда он вылез...

- Да нет! - сказал Радикс. - Ты, верно, не разглядел. В том-то вся сила, что эта бутылка не совсем обыкновенная. Вот она! Пожалуйста, посмотри.

- 142 -

Илюша обернулся и увидел, что на столе стоит очень красивая бутылка прозрачного лилового стекла, самой странной формы. Сперва Илюше даже показалось, что это кувшин, но, посмотрев внимательней, он заметил, что ручка этого "кувшина" была наглухо приделана к его горлышку, так что отверстия, при помощи которого бутылку наполняют жидкостью или выливают из нес жидкость, в этой бутылке не было. Между тем внутри бутылки что-то находилось. Илюша осторожно взял бутылку (вот она нарисована на картинке, смотри!), перевернул ее вверх дном и обнаружил, что в донышке бутылки находится отверстие и в него вставлена довольно широкая пробка, а на ней печать с каким-то таинственным знаком. (И печать нарисована, погляди!)

- Вот так бутылка! - невольно произнес Илюша, рассматривая печать. - А можно ее открыть?

- Сделай милость, открывай.

Илюша осторожно ухватился за выступавший немного краешек пробки. Оказалось, что, несмотря на таинственную печать, пробку очень легко вынуть. Но когда он вытащил пробку, за ней потянулось что-то еще, что напомнило Илюше паука.

- Фу! - сказал Илюша, бросив пробку на стол. - Тут уж пауки завелись!

Однако то, что он бросил на стол, вдруг встало на свои паучьи ножки и оказалось крохотным колченогим человечком, который очень недовольно пробормотал сквозь зубы:

- Разрешите представиться: Салуникур Салуникурыч Салуникуриади. Нельзя сказать, чтобы вы были очень вежливы!

Илюша удивленно взглянул на человечка. Оказывается, пробка была его головой, а таинственная печать - его странным личиком.

- Извините, - растерянно пробормотал Илюша, - я не знал...

- Так что же вам, собственно, от меня угодно? - недовольно спросил Салуникур Салуникурыч.

- Я, - произнес Илюша, кинув взгляд на совершенно равнодушную мину Радикса, - просто хотел посмотреть, что это за бутылка.

- Самая обыкновенная волшебная бутылка джинна, - еще более недовольно произнес колченогий карлик. - Ну, а поскольку джинны теперь повывелись, в ней живу я. Бутылка как бутылка.

Но с этим Илюша не мог согласиться. Он заметил, что отверстие, из которого он вытащил Салуникура Салуникурыча, сужается воронкой, уходя в глубь бутылки, а потом сворачивает куда-то вбок.

- Престранная бутылка! - вымолвил наконец Илюша.

А как же вы в нее влезаете?

- Могу вам показать, - сердито произнес необыкновенный человечек.

- 143 -

Илюша держал бутылку вверх дном. Человечек быстро прыгнул со стола и попал как раз на край ее донышка. Засим он взмахнул ручонками, принял позу пловца, который собирается прыгнуть в воду, протянул руки вперед, прыгнул, попал как раз в воронку, а затем начал углубляться дальше.

При этом он вытянулся и стал похож на червяка. Илюша поспешно приподнял бутылку и стал смотреть на свет. Червеобразный человечек добрался до самой стенки бутылки по трубке, которая шла вбок от воронки, а потом попал во внутренность ручки и по ней стал спускаться вниз. По ручке он добрался до горлышка бутылки, там он выпрямился и оттуда раскланялся с Илюшей. Илюша положил бутылку набок в ожидании, что же будет дальше. Человечек обошел всю свою бутылку и снова через горлышко и ручку вылез вон. Затем он быстро прополз по внешней стороне бутылки, снова дошел до донышка, опять влез в бутылку, опять через внутренность ручки добрался до внутренности бутылки, а потом снова выбрался вон, как и в первый раз.

- Ах! - воскликнул Илюша. - У вашего жилища, значит, тоже только одна сторона, как у Бушмейстера?

- Вот потому-то, - медленно и раздельно произнес Радикс, - она и пересекает самое себя. То есть эта ручка, которая ведь есть не что иное, как горлышко бутылки, проникает внутрь ее и смыкается с ее отверстием снизу, изнутри! Вот как хитро!

- Замечательно! - воскликнул Илюша. - Но я сразу не догадался!

- И поэтому-то, - продолжал Радикс, - если ты ее теперь разрежешь надвое, так, чтобы разрез проходил как раз вдоль всей ручки, ты получишь две плоскости, которые будут очень похожи на Бушмейстера.

Илюша поглядел на чудесную бутылку, а потом на личико колченогого карлика. Затем он взглянул на донышко бутылки А увидел, что вокруг отверстия написано странное слово "Салуникур".

- О! - весело сказал Илюша. - Вот тут какая штука!

Если начать читать с буквы "у" (посмотри на картинку на странице 142), то выйдет Уникурсал... Опять циклическая перестановка! Да! Да! Вы, наверное, знаете Уникурсала Уникурсалыча?

- 144 -

- Это мой троюродный дедушка, - ответил человечек. - Как не знать!

- Позвольте-ка, - весело сказал Илюша, - рассмотреть ваше личико.

И, посмотрев, Илюша быстро убедился, что на таинственной печати джинна нарисована уникурсальная фигура, потому что все узлы ее четные.

- А вот, - добавил Радикс, - тебе еще одна фигурка (см. чертеж на стр. 144). Надо ее склеить так, чтобы совпали точки А и Е, В и F, С и G, D и Н. Попробуй-ка!

- 145 -