Схолия Девятая,
Схолия Девятая,
из которой на миг показывается страшное древнее чудовище, но в это время нашим друзьям приходится выводить из большого затруднения одного беспамятного краснобая, впавшего в полное отчаяние после того, как он увидал самое обыкновенное колесо. Из чувства признательности сей последний сообщает Илюше несколько новых и очень удобных способов сокращения дробей. Непонятливость Илюши приводит его в великое негодование, и он пытается поправить дело назидательной легендой о том, как одного живого слона разделили на три части к полному удовольствию не только делителя, но даже делимого и частного. Естественно, что в силу этого он узнает еще более поучительную историю царевича Аритамвары, который питал непреодолимое отвращение к небесным светилам, по-видимому путая их с кубическими корнями. Нелишним, однако, будет заметить, что именно в этой увлекательной схолии с полной необходимостью и достаточной убедительностью выясняется, чего именно недоставало в рассуждениях не слишком догадливого юноши, который не мог разобрать крайне важный вопрос об изумрудно-золотистом плаще, о доблестной шпаге и о пресловутом, многоученом городе Саламанке.
- Так, - сказал Илюша. - Ну, теперь я, кажется, кое-что разобрал. Не то чтобы совсем, а все-таки! Конечно, я бы без тебя здесь пропал. Самому бы нипочем не додуматься. Ну, Дразнилка - это еще туда-сюда! А остальное уж очень хитро.
- 146 -
Очень... Слушай-ка, а когда же ты мне расскажешь, кто такой был Бриарей?
- Бриарей? - повторил Радикс, немного понизив голос. - Это, по-видимому, был неглупый дядя, если судить по тому, что у него было пятьдесят голов...
- Пятьдесят? - переспросил Илюша, решив, что Радикс смеется над ним.
- Именно пятьдесят! Он один представлял собой целую академию, и, кроме того, с ним связываться но стоило еще и потому, что у него было сто рук.
- Как - сто рук?
- Ну, а как же иначе? На каждую голову две руки! Самое простое умножение. Это, видишь ли, относится еще к тем стародавним временам, когда существовали те сказки, которые называются мифами, и люди верили им.
Но в эту минуту совсем рядом раздались такие пронзительные, протяжные и горькие вздохи, что Радикс остановился и посмотрел в ту сторону.
Перед ними стоял Уникурсал Уникурсалыч, и на его личике было написано полное уныние.
- Я, - произнес Командор Ордена Семи Мостов, ломая руки, - в полнейшем отчаянии... я...
- Надеюсь, - прервал его обеспокоенный Радикс, - ты не собираешься произнести перед нами речь?
- О черствые сердца! - отвечал Доктор Четных и Нечетных Узлов. - Я пришел за утешением и не собираюсь произносить речь. Но я сочинил речь, полную удивительных цветов красноречия. И вот она-то и привела меня в отчаяние...
- Хорошо, что только тебя! - пробормотал Радикс.
- О пресветлая богиня Лилавати! - воскликнул Магистр Деревьев. - Не перебивай меня, неблагодарное чудовище, а выслушай своего собрата, попавшего в беду.
- В чем же дело? - нерешительно спросил Илюша.
- В том, - произнес похудевший от огорчения Уникурсал Уникурсалыч, - что я сочинил замечательную речь. Она была посвящена... Чему это она была посвящена? .. Вот не могу припомнить! Впрочем, не в этом дело... Речь была обдумана, переписана. Мало этого, все было в замечательном порядке, то есть, во-первых, каждое слово из моей замечательной речи состояло из одиннадцати букв. Затем в каждой строке было тринадцать слов. Наконец, на странице было тридцать семь строк. Возможно, что это было несчастное число.
- А встретил ли ты хоть одно счастливое число? - спросил Радикс.
- 147 -
- Где там! - отвечал, опустив голову, Кандидат Тупиковых Наук. - Слушай, что было дальше. Я обдумывал эту речь три дня. Я ее переписывал трижды. Я произнес ее трояко, то есть три раза по-разному, в смысле выражения, логических ударений, ораторских жестов и соответственного выражения лица...
- А перед кем же ты ее произносил?
- Перед зеркалом, - отвечал, горестно вздыхая, командор. - Это-то, может быть, и была моя главная ошибка, но дело в том, что я никого не мог застать дома...
- Еще бы! - опасливо вставил Радикс.
- Но опять-таки не в этом дело. Скажи мне, пожалуйста, сколько же это выйдет, если у меня в каждом слове одиннадцать букв, в строке тринадцать слов, на странице тридцать семь строк, а я обдумывал ее три дня, переписывал трижды и произнес вслух трояко?
- Что выйдет? - изумленно воскликнул Илюша, не веря ушам своим.
- Всего! - воскликнул в отчаянии Уникурсал Уникурсалыч.
- Я думаю, - сказал после краткого размышления Радикс, - что он хочет уверить нас, что обдумывал каждую букву. И теперь, по-видимому, спрашивает, сколько всего различных операций было произведено над каждой буквой.
- Дай мне руку! - вскричал магистр. - Ты угадал!
Илюша взял мел и перемножил 27 • 11 • 13 • 37. Вышло 142857.
Уникурсал Уникурсалыч горестно взглянул на Илюшин результат.
- Вот именно. И у меня то же самое получилось.
- Ну, так в чем же дело? - спросил Илюша. - Чем же вы так огорчаетесь?
- Дело в том, - начал снова замогильным голосом командор, - что я имел в виду напечатать ее, дабы всякий мог прочесть эту речь, трактующую о значении... Вот не могу только вспомнить, о значении чего там говорилось!.. Я решил сперва напечатать ее в трех экземплярах, ибо я обдумывал ее три дня, переписывал трижды и произносил трояко. Но мне показалось, что, пожалуй, это будет слишком однообразно, и я отнял от этого числа единицу. Но когда у меня таким образом получилось два экземпляра, я подумал, что самое умное - перемножить два и три, и вышло шесть экземпляров. Потом я рассудил, что ведь можно поступить и проще, то есть умножить два на два, и тогда получается четыре экземпляра.
Затем я добавил к получившейся цифре для красоты единицу, и вышло пять экземпляров. Но тут я догадался, что все это было неправильно, а на самом деле надо возвести два в третью степень. И я решил напечатать восемь экземпляров.
- 148 -
И вот только тут я сообразил, что молено поступить гораздо умнее, другими словами - умножить три на три, так как девять, несомненно, будет самым подходящим числом экземпляров, ибо ведь девять - это трижды три, а я обдумывал мою речь три дня, переписывал ее трижды и произносил трояко, как это я вам только что повторил в четвертый раз и, по-видимому, опять без всякого толку!.. Когда же я дошел до девяти, то тут мне стало ясно, что десять гораздо более круглое число.
Тогда я не понял, какое это было страшное предзнаменование! .. Вы сейчас и сами увидите, до какой бездны отчаяния может довести человека круглое число! Однако мне что-то шепнуло, что это очень опасно, и я из осторожности решил добавить к десяти единицу, просто для симметрии. Когда же я это сделал, то из-за какого-то неопределенного опасения решил еще удвоить это число, а для красоты добавить еще единицу. Однако, когда я сосчитал, сколько раз менял решение, оказалось, десять раз, а так как круглое число внушало мне смутный ужас, то я решил отнять у последнего числа единицу, потом умножить его на четыре, а затем снова добавить для красоты единицу...
Тут Уникурсал Уникурсалыч остановился, вытер пот со своего измученного столь сложными расчетами чела и еле вымолвил:
- Уф, прямо замучился! Так вот, весь вопрос заключается в том, сколько же теперь должно получиться...
- Понять все равно ничего не возможно, - сказал Радикс. - Его загадочная речь состоит из одних "отчего" и "почему", а о том, "что" здесь имеется в виду, он ни словом не упоминает, поэтому не стоит и голову ломать. В общем, он хочет умножить сто сорок две тысячи восемьсот пятьдесят семь еще на что-то. Попробуем понять хоть это.
- Не на "что-то", а на множители -
3, 2, 6, 4, 5, 8, 9, 10,11, 23 и 89. И всё!
- Что же тут трудного? - спросил Илюша.
- Трудного ничего нет. Но самое ужасное заключается в том, что на что ни множь это проклятое число, получается все то же самое. В нем есть какой-то центр. Какой? Не могу понять. И вот вокруг него-то это заколдованное число и вертится, как колесо!
Тут Уникурсал Уникурсалыч на минутку выскочил и быстро прикатил здоровенное колесо, на котором было написано злополучное число.
Против начальной единицы командор поставил на стене мелом крестик.
- О ты, очаровательный отрок, постигший таинства умножения! Ну-ка, давай умножать.
- 149 -
Илюша начал множить 142 857 на три. Получилось 428 571.
Командор повернул влево свое колесо на одну цифру. Действительно, против крестика теперь стояла четверка, а все остальное шло тем же порядком.
Илюша посмотрел недоуменно на колесо и начал множить на два. Вышло 285 714. Командор передвинул колесо еще на одну цифру. И опять дальше все пошло в том же порядке.
Илюша помножил на шесть. Вышло 857142. Колесо подвинулось еще на одну цифру. Помножили на четыре. Получилось 571428. Колесо снова повернулось на одну цифру.
Помножили на пять. Вышло 714 285.
- Видишь! - вскричал, вытаращив глаза, Уникурсал Уникурсалыч. - Разве это число? Ты множишь, стараешься, обливаешься потом, а оно вертится да вертится!
- Ну, дальше ему уже вертеться некуда, - заметил Илюша.
- Как бы не так! Ты посмотри, что дальше будет.
Илюша умножил на восемь. Вышло 1142 856.
- Ну, - сказал магистр, - возьми эту лишнюю единицу, которая торчит спереди, и прибавь к последней цифре.
Илюша прибавил, и вышло опять 142857.
- Теперь на девять, - потребовал командор.
Умножили на девять. Получилось 1285713. А когда первую единицу прибавили к последней цифре, вышло 285714.
- 150 -
- Та же самая история, что с двойкой! - сокрушенно сказал командор.
Умножили на десять. Вышло 1428570. А когда прибавили сзади первую единицу, то снова получилось 428571, как было с тройкой. Умножили на одиннадцать. Получилось 1571427.
Опять прибавили переднюю единицу к последней цифре, получилось 571428, как с четверкой. Когда умножили на двадцать три, вышло 3285711, но когда переднюю тройку прибавили к последней цифре, опять вышло 285714, как с двойкой.
Умножили на восемьдесят девять, получилось 12741273.
А когда 12 взяли спереди и прибавили обычным образом к тому, что осталось, вышло 741 285.
- Ну вот, - сказал Илюша, - теперь уже не то.
- Невелика разница! - мрачно ответил магистр. - Только дне цифры перескочили. А в остальном все то же самое.
Илюша начал внимательно осматривать умножения. Все было верно.
- В чем тут дело? Можешь ты выяснить, есть у этой нелепой штуки если не смысл, то по крайней мере хоть начало?
- По-видимому, - сказал неторопливо Илюша, - здесь получается тоже циклическая перестановка.
- Что?! - произнес словно насмерть перепуганный командор. - Что за чудные речи достигли моего скромного слуха?
Илюша посмотрел на него. Командор стоял подбоченясь, высоко задрав голову. Он мгновенно исцелился от своего отчаяния и обрел снова прекрасное настроение.
- Какая прелесть! - сказал он. - Вот какой замечательный юноша! И как остроумно - назвать это мое убогое, нескладное колесо... циклом! И моя бедная речь... О чем я там писал? Ах, вспомнил! О способах произношения цикловидных слов. Как раз!
Илюша беспомощно оглянулся на Радикса, но, кроме равнодушия, на его личике абсолютно ничего нельзя было прочесть.
А доктор продолжал:
- В жизнь мою не слыхал я ничего столь ученого. А скажите, великий победитель Бушмейстера, к чему вы изволили произнести эти таинственные слова? Даже в допущении, что вы правы, что из этого следует?
Но Илюша стоял красный как рак и молчал как рыба.
Увы, он не знал, что отвечать! Перестановка была, конечно, циклическая, это верно, но почему? Об этом-то Илюша не мог ничего сказать. И, в общем, получилось, что Уникурсал Уникурсалыч прав: произнести эти слова Илюша сумел, а объяснить, что хотел сказать, не мог. Мальчик решил не сдаваться.
- 151 -
Поэтому стал снова рассматривать все свои умножения: на два, на три, на четыре, на пять, на шесть... Так. А на семь?
Нет, на семь он не множил. По-видимому, Кандидат Тупиковых Наук не заставлял его множить на семь. А ну-ка попробуем! Илюша умножил 142 857 на семь и получил 999 999.
"Вот странная история! - подумал он. - Все цифры давали один и тот же фокус, а если на семь помножить, получается совсем не то..."
Илюша снова начал внимательно осматривать результаты своих умножений и обратил внимание на то, что если написать число два раза подряд, то есть 142 857142 857, то при умножении на семь получится не шесть, а уже двенадцать девяток, и, следовательно, повторяя этот порядок цифр, можно получить умножением на семь любое число девяток... Что же это значит? Илюша обратил внимание на то, что получалось при умножении на два и на одиннадцать. Мальчик вдруг храбро схватил мел и написал:
1571427
* 2
--------
3142854
В это время Радикс пробормотал себе под нос очень неразборчиво: "Слюнки капали с усов..." Тут Илюша воодушевился и начал делить единицу на семь. Как он и ожидал, получил в результате 0,142857142857... При этом он заметил, что остатки шли следующим образом: 3, затем 2, потом 6, вслед за этим 4 и, наконец, 5, что и объяснило всю загадку командорского колеса. И он написал рядом с делением еще столбик цифр:
- 152 -
Илюша обернулся и увидел, что Уникурсал Уникурсалыч смотрит так, будто потерял всякий интерес к проблеме колеса.
- Это одна седьмая, - сказал Илюша, - вот и все. Цикл в данном случае - это период дроби. А множители вы называли в том порядке, в котором идут остатки при делении, чтобы ваше колесо после каждого умножения поворачивалось как раз на одну цифру.
- Одна седьмая! Одна седьмая! - сердито повторил Уникурсал Уникурсалыч. - А что, если я возьму колесообразное число и разделю его пополам, по три цифры в каждой половинке. У меня будут теперь два числа - 142 и 857.
Если я их сложу, то получу 999. Могу разбить и на три: 14, потом 28 и 57. Сложу и получаю снова 99. А это что означает?
Илюша внимательно посмотрел на свою табличку и ответил:
- Если я возьму 0,142, то это будет одна седьмая с точностью до одной тысячной, а если возьму 0,857, это будет шесть седьмых с той же точностью. Если их сложить, будет семь седьмых, то есть единица. Так как мои дроби не очень точные, то я получаю вместо единицы 0,999. То же и с тремя числами.
- А зачем ты множил 1 571427 на два?- спросил Радикс.
- Потому что мне показалось, что это похоже на половину архимедова числа. Я перемножил, получил 3,14 с лишним, и тут-то я убедился, что это одна седьмая[14].
- 153 -
- А кстати, скажи, умеешь ли ты сокращать дроби? Сократи шестнадцать шестьдесят четвертых.
Илюша пожал плечами, написал дробь, сократил ее на четыре, потом еще раз на четыре. Вышла одна четвертая.
- Какая невероятная канитель! - сказал с отвращением командор. - Выспаться можно, покуда ты тут возился. Вот, как я сокращаю.
Командор взял мел и написал:
16 / 64 =
... и вычеркнул шестерки...
= 1 / 4
- Это случайно так у вас вышло, - ответил Илюша.
- Как это случайно? - возопил командор. - Пожалуйста!
И он написал следующее равенство:
19 / 95 =
... а теперь девятки ...
= 1 / 5
А затем еще и еще:
29 / 95 = 2 / 5; 49 / 98 = 4 /8
- А тут уж не вышло, - сказал Илюша. - Еще можно сократить.
- Неважно! - воскликнул Командор Ордена Семи Мостов. - Это не может опорочить самый принцип моего способа. Например, до сих пор ты полагал, что число "сорок девять" можно разбить лишь на две семерки, а я доказал последним примером, что это просто предрассудок.
- Семерки - это множители, - ответил Илюша, - а девятка - одно из слагаемых.
- Так вот в том-то и дело! Ты должен слушать и внимать, а не тараторить как сорока.
Илюша совсем уж готов был ему ответить, что если кто-нибудь и тараторит, то, во всяком случае, не он, но решил, что лучше не стоит злить эту ехидную личность, и промолчал.
- Я уверен, - продолжал Магистр Деревьев, - что ты вполне способен оценить необыкновенные преимущества моего способа, ибо ты только что доказал мне поразительную быстроту твоего ума, сразу заметив, что дробь четыре восьмых относится к классу сокращаемых дробей.
- 154 -
Подумайте только, какая ученость в столь нежном возрасте! Догадаться самому, безо всякой посторонней помощи, что восемь делится на четыре! Великолепно! Мы выхлопочем тебе орден не Семи Мостов, а Семидесяти Семи Слонов и Пятидесяти Пяти Ослов!
Я потом расскажу тебе историю этого необыкновенного ордена, который довольно легко получить, но от которого потом не так-то просто отвязаться...
- Что это еще за история о слонах и ослах? - мрачно спросил Радикс.
- Очень поучительная история, - с готовностью отвечал командор. - Дело было очень давно, во времена Великого Могола, царство коего отличалось необыкновенной пышностью.
Некогда к драгоценному дворцу Великого Могола подъехали три прекрасных принца из дальней страны. Когда они были допущены перед очи повелителя Вселенной (таков был титул этого могущественного властителя), старшин принц попросил позволения говорить и сказал так: "О владыка владык, ты, перед которым дрожит подлунная, преклони слух твой к нашему горю! Наш отец, повелитель Высокой области, над которой парят облака (да будет благословенна память его!), соизволил покинуть сей бренный мир и оставил нам богатое наследство.
Но в стране у нас нет такого человека, который помог бы нам разделить эти богатства так, чтобы воля отца нашего, как требуют обычаи нашей страны, была исполнена слово в слово, и поделить так, чтобы люди не смеялись над нами". Повелитель Вселенной спросил их, каково наследство. Старший принц отвечал, что самая трудная часть наследства заключает в себе семьдесят семь могучих слонов, гордость и украшение их прекрасной страны, над которой парят облака.
Отец же их повелел, чтобы старший сын взял себе треть всех слонов, средний - одну шестую, а младший - одну двенадцатую.
- 155 -
Однако никто в их великой, прекрасной стране не может решить, как исполнить это странное повеление, ибо для того, чтобы взять от семидесяти семи слонов одну треть, следует взять двадцать пять слонов и еще две трети слона, но от живого слона невозможно отделить две трети, без того чтобы прекрасное это животное не превратилось в бездыханную тушу, тогда как о тушах в завещании почему-то ничего не сказано. Надо сказать, что некоторые вельможи Великого Могола, стоявшие у трона своего повелителя, при этих словах начали как-то странно отворачиваться в сторону, будто чем-то поперхнулись. В эту минуту мальчик, который держал павлинье опахало над головой повелителя Вселенной, опасаясь, как бы сей грозный владыка не приказал внезапно отделить некоторую часть от каждого из гостей для скорейшего разрешения этой трудной задачи, попросил слова и сказал так:
"Если повелитель Вселенной даст мне на две недели пятьдесят пять царских ослов, то я поделю наследников без обиды и вернусь с пятьюдесятью пятью царскими ослами обратно". Великий Могол поглядел на мальчика и опустил свои царские веки в знак согласия... Когда они прибыли с пятьюдесятью пятью ослами в дальнюю страну, над которой парят облака, Помаватель царского опахала поставил на большой площади столицы в ряд сперва семьдесят семь слонов, которые были причиной этого беспримерного смятения умов в дальней стране, а потом пятьдесят пять царских ослов, которые пришли с ним. Слоны стояли слева, а ослы справа. "Вот, - сказал Помаватель опахала, - здесь перед вами стоят сто тридцать два прекрасных животных. Треть их составляет сорок четыре. Они пойдут старшему принцу. Начнем слева". И тотчас же погонщики слонов подняли свои бодила, и сорок четыре слона ушли с площади.
- 156 -
А мальчик продолжал: "Одна шестая часть ста тридцати двух животных есть двадцать два, и они пойдут среднему принцу".
И двадцать два слона тоже ушли с площади. "А младшему принцу полагается одна двенадцатая, и это будет одиннадцать животных". И последние одиннадцать слонов ушли с площади. "А теперь, - сказал в заключение юный Помаватель, - все видят, что здесь остались только пятьдесят пять ослов, которые и пойдут со мной обратно, ибо мне сдается, что ослов в вашей стране имеется и без того достаточное количество".
Вот какова эта поучительная история. В ее честь и был учрежден этот чудный орден, который ты, разумеется, вполне заслужил...
Илюша хотел было сказать, что это совершенно детская задачка: стоит только привести эти дроби к одному знаменателю и... но, опасаясь выслушать еще одну похвальную речь своему глубокомыслию, вздохнул и прикусил язык.
- Надо тебе пояснить, - продолжал командор, - что на лицевой стороне этого ордена изображены две трети слона, мирно пасущиеся на травке, причем эта правдивая картинка окружена павлиньими перьями, а на обратной стороне изображено доброе личико скромного ослика, который...
- Фу! - вздохнул почти в изнеможении Радикс.
- Итак, - вымолвил, покосившись на него и переведя дух, неутомимый командор, - я не стану уверять тебя, любезный друг, что ты заслужил это отличие, ты и сам, полагаю, не станешь с этим спорить... Но вернемся к моему удивительному изобретению: самый важный пункт его заключается в том, что оно доказывает, что можно сокращать слагаемые...
- Как это так? - не выдержал Илюша. - Из-под знака суммы нельзя сокращать!
- Заблуждение! - возопил Доктор Четных и Нечетных Узлов. - Глубочайшее заблуждение! И я сейчас тебе это докажу. По-твоему, значит, такое вот выражение нельзя сократить:
(a + bc) / (a + b)
- 157 -
- Конечно, нельзя, - отвечал немедля Илюша. - Что тут сокращать!
- А я сейчас тебе докажу, что поскольку это вполне возможно, то я вправе написать:
(a + bc) / (a + b) = (a + c) / a
- Чепуха, и больше ничего! - пробормотал Илюша.
- А я сейчас тебе докажу, что это не чепуха. Подставляю в эти выражения числа и получаю:
(6 + 2•3) / (6 + 2) = (6 + 3) / 6 = 3/2
А коли тебе этого мало, я могу подставить и другие числа.
Пожалуйста:
(2 + 3•6) / (2 + 3) = (2 + 6) / 2 = 4
Вот тебе и все. Просто и ясно. В первом случае сокращаю двойки, во втором - тройки. Совершенно новые горизонты в арифметике! Ну, что же ты на это скажешь, будущий кавалер Ордена Семидесяти Семи Слонов?
- Ну, что тут говорить! - возразил мальчик.
- Как что говорить? Ты оспариваешь мой метод, но ты не можешь оспорить мои бесподобные примеры! Однако в таком случае докажи: каким образом случилось, что примеры мои не противоречат твоей старушечьей арифметике, а мои удивительные принципы находятся с ней в непримиримом противоречии?
Илюша постоял, подумал, поглядел искоса на ехидное личико командора и неуверенно произнес:
- Ну, это вроде того, как доказывается, что два равняется пяти или что-нибудь в этом роде.
- Два равняется пяти?- изумленно повторил командор - В первый раз в жизни слышу! Это неверно. А вот, что одиннадцать равняется двенадцати, - это уж точно.
- Как так? - спросил Илюша, вдруг вспомнив с досадой, что он уже слышал от Радикса что-то про это нелепое равенство.
- 158 -
- Чрезвычайно просто! Чтобы доказать эту несомненную истину, я беру квадраты этих чисел, то есть 121 и 144, затем беру их разность, которая будет 23, и составляю следующее простенькое равенство:
144-121 = 276 - 253,
с которым ты, надеюсь, спорить не будешь. Затем я вычитаю из каждой его части по 155, от чего справедливость равенства не нарушается:
144 - 121 - 155 = 276 - 155 - 253,
делаю частично указанные действия и получаю:
144 - 276= 121-253.
Затем я прибавляю к каждой части получившегося равенства одну и ту же дробь, что опять-таки не нарушит справедливости моего равенства:
144 - 276 + 529/4 = 121 - 253 + 529/4.
Далее я замечаю, что теперь и левая и правая части равенства представляют собой полные квадраты, а следовательно, я могу написать:
(12 – 23/2)2 = (11-23/2)2
Теперь я извлекаю квадратный корень из обеих частей равенства:
12 – 23/2 = 11-23/2
Минус двадцать три вторых слева и справа взаимно уничтожаются, и мы получаем...
Командор снова схватил мел и написал громадными цифрами:
11 = 12
- 159 -
- Что и требовалось доказать. Просто и ясно!
Хотя Илюша уже сообразил, что спорить с командором довольно накладно, ибо каждое лишнее возражение ведет только к тому, что он тебе подсовывает еще новую головоломку, однако тут он догадался наконец, что надо не просто отрицать, а доказать, и всерьез, что командорские россказни просто враки. Он внимательно просмотрел весь ход вычислений этого "доказательства" и сказал:
- Так можно доказать все, что хочешь. А в скобках у вас разные знаки! Вот и вся хитрость. Очень просто.
- Хм... - произнес разочарованно командор, - знаки!
Знаки! Подумаешь, какая важность! Ну, допустим, что знаки. .. Ну, а как же насчет моих дробей?
Илюша вздохнул и уставился снова на командорские дроби.
Наверно, он стоял так молча, не отрывая глаз от них, минут десять. Потом сказал:
- Конечно, это можно сделать. Если записать вот этот первый пример с дробью – 16/64, положив, что шесть равняется а, тогда как четыре равняется b, то получим:
(10 + а)/( 10a + b) = 1/b
А теперь я буду действовать так:
10b + ab = 10а + b;
9b = 10а - ab;
9b = а(10 - b),
и следовательно,
а = 9b / (10 - b)
и теперь получается неопределенное уравнение. Не очень, конечно, удобное уравнение, потому что оно второй степени, но все-таки решить в целых числах можно. В крайнем случае, я буду подставлять цифру за цифрой вместо b, пока а не получится целым числом, не больше девяти. Вот вы это и сделали. И все остальное тоже делается совершенно так же. Вот и все.
- Хм... - протянул Уникурсал Уникурсалыч. - Вот как! Странная история!
- 160 -
- Я знаю гораздо более странную историю, - возразил Радикс, - которая касается того, каких блестящих результатов можно добиться с помощью красноречия.
- Это, наверно, очень интересная история! - воскликнул Илюша, у которого отлегло от сердца, когда он смекнул, что, кажется, на этот раз отделался от командорских ехидств. - Расскажи-ка ее, пожалуйста!
- Дело это тоже происходило довольно давно, - начал Радикс, - и, может быть, это было в той самой стране, о которой нам только что рассказывал Уникурсал Уникурсалыч.
Но только это было еще несколькими веками раньше, чем история со слонами. Итак, некогда прекрасный и светлый юноша, царевич Аритамвара, сын света и радость мира, захотел ввести в дом свой юную жену. Он пришел к отцу своему, который владел подлунным миром и кротко управлял им.
"О царь и повелитель! - сказал царевич. - Я хочу ввести в дом мой молодую и прекрасную царевну, дабы она была супругой моей". - "Хорошо, - отвечал ему царь, - пусть дворцовые женщины введут девушек, и пусть придет наш царский звездочет, владеющий числами: он даст нам добрый совет". Когда все повеления были исполнены, царь сказал:
"Пусть владеющий числами даст нам совет". - "О царь, - отвечал ему мудрец, - пусть будет так: я задам семи девушкам один и тот же простой вопрос, а по их ответам ты, покровитель мудрейших, и ты, благородный Аритамвара, сын света, вы сами увидите, как надобно будет поступить". - "Это поистине мудрые речи, - ответил царь звездочету. - Да будет так". Тут дворцовые женщины избрали из сонма девушек тех, которые были прекраснее всех, самого доброго нрава и чьи речи были сладким медом для храбрецов. А владеющий числами приказал подводить их по одной к трону владеющего подлунной. И вот к трону подошла первая. Звездочет спросил ее: "Скажи мне, цветок зари, сколько будет три и три?" - "Шесть", - ответила ему девушка и засмеялась. Тогда владеющий числами приказал увести ее и привести другую. И он задал ей тот же самый вопрос. "Это будет шесть, если я сложу их, - отвечала она, - и это будет тридцать три, если написать их рядом". Третья ответила: "Это будет шесть, если сложить; тридцать три, если написать рядом; это будет ничего, если вычесть". Четвертая сказала: "Шесть, если я сложу; тридцать три, если напишу рядом; ничего, если вычту; девять, если умножу". Пятая отвечала: "Шесть, если сложить; тридцать три, если написать рядом; ничего, если вычесть; девять, если умножить; единица, если их разделить друг на друга". Шестая сказала так: "Шесть, если сложить; тридцать три, если написать рядом; ничего, если вычесть; девять, если их перемножить; единица, если их поделить друг на друга, и это будет двадцать семь, если возвести три в третью степень. Так учит великая богиня чисел". Седьмая отвечала звездочету: "Пусть великая богиня чисел откроет сыну света свои прекрасные тайны! Вот как говорит она: это будет шесть, это будет тридцать три, это будет ничего, это будет девять, это будет единица, это будет двадцать семь и это будет тридцать шесть двадцать пятых с небольшим, если я из трех извлеку корень третьей степени. Вот как говорит пресветлая богиня чисел, та, которая улыбается, когда земледелец считает свою скотину, царь свои сокровища, а звездочет светила небесные, что сияют кротким светом и проходят свои небесные пути по чудным законам, которые любезны великой богине. Вот каковы слова благодатной богини чисел, но это еще не все, ибо ее речи суть многие, и все они прекрасны". Тогда звездочет сказал: "О великий царь, и ты, сын света! Вы слышали разные ответы на мой вопрос, и теперь вы можете решить сами, которая из девушек достойна стать супругой царевича". Царь сказал: "Я вижу, что милые и прелестные красавицы моей страны недаром провели свою нежную юность, они знают мудрость, и сердце мое радуется. Пусть сын мой, царевич Аритамвара, выбирает теперь сам, ибо это будет его супруга".
Царевич низко поклонился своему отцу и премудрому звездочету и сказал: "Я выберу первую. Она очень хорошо смеется.
- 161 -
И мне нравится, что она говорит коротко и ясно".
Илюша захлопал в ладоши от восторга, а Уникурсал Уникурсалыч как-то рассеянно повернулся на одной ножке и втихомолку исчез. А Илюша посмотрел на Радикса и спросил:
- Есть еще такие дроби, из которых получается колесо, вроде вот этого из одной седьмой?
- Как не быть! Например, одна семнадцатая. Только там число будет подлиннее, потому что
1/17 = 0,0588235294117647...
То же самое будет и с одной двадцать девятой, только там после запятой будет уже целых двадцать восемь цифр. Для этого знаменатель дроби должен быть простым числом, а период его должен заключать в себе на единицу меньше цифры, чем единиц в ее знаменателе. У тебя была одна седьмая, а в периоде было шесть цифр. Для одной семнадцатой в периоде будет шестнадцать цифр. Такой период называется "полным периодом", или "совершенным".
Илюша помолчал и вдруг сказал с жаром:
- А все-таки он ужаснейший человек, этот командор!
- 162 -
- Да что ты! - усмехнулся Радикс. - Конечно, он насмешник, а все-таки сознайся: если бы он так тебя не запутал и не разозлил, ты бы, пожалуй, не догадался насчет неопределенного уравнения и насчет одной седьмой? А?
Илюша посмотрел на своего приятеля с негодованием. Он хотел ему сказать, что тут ничего трудного нет и что он все равно бы догадался, но почему-то покраснел и ничего не сказал.
- Н-да... - неопределенно промычал Радикс. - Все это, конечно, очень приятно, трогательно, всепохвально, умно, тонко, глубоко и широко. А скажи, пожалуйста, кстати, не знаешь ли ты, как поживают наш почтенный судья дон Базилио и трое друзей дона Диего?
Илюша как-то странно смутился и сказал, что он не совсем понял эту странную задачку из Схолии Седьмой.
- А-а-а... - протянул Радикс. - Вон оно в чем дело-то!
А еще на Уникурсала Уникурсалыча рычишь. А сам, значит, насчет завещания дона Диего ни так ни сяк...
После долгих и, надо признаться, довольно нелегких размышлений Илюша наконец пришел к целому ряду важных выводов, которые позволили ему решить эту хитрую задачку.
Когда Илюша взялся за дело как следует, то скоро ему надоело писать имена друзей дона Диего, и он обозначил дона Альваро, дона Бенито и дона Висенте начальными буквами их имен: А, Б и В. Он решил, что надо рассмотреть в качестве возможных порядков выбора все шесть возможных перестановок трех букв этих, то есть:
АБВ АВБ БАB БВА BАБ ВБА.
Очевидно, что три данных условия должны исключить из этих комбинаций ровно пять, так чтобы могла остаться только одна единственная комбинация, которая уже не будет противоречить ни одному из трех условий завещания. Вместе с тем, как было указано в завещании дона Диего, ни одно из этих условий не является лишним, то есть невозможно исключить те пять комбинаций, которые должны быть отброшены, только на основании одного условия или каких-нибудь двух из трех условий.
Когда, таким образом, было выяснено и решено, что именно надо делать, Илюша начал решать задачу.
"Надо, - сказал он себе, - выяснить, о ком из троих друзей мне следует предположить, что именно этот человек видел дона Диего в зеленом плаще, а о ком - что тот именно давал ему табакерку и прочее, ибо только таким образом можно найти основания для того, чтобы отвергнуть пять комбинаций из шести. Притом надо внимательно следить, чтобы ни одно из трех условий не оказалось лишним. Если это случится, то, значит, я пошел по неверному пути.
- 163 -
Раньше всего выясняется, что кто-то, и ни в коем случае не дон Альваро, должен был видеть дона Диего в зеленом плаще, иначе первое условие было бы лишним. Значит, первое условие указывает нам, что дон Альваро не может оказаться на последнем месте, то есть мы можем совершенно отвергнуть порядки БВА и ВБА. Кроме того, первое условие может еще исключать порядок БАВ, если дон Бенито видел завещателя в зеленом плаще, и может исключать порядок ВАБ, если его видел дон Висенте.
Далее очевидно, что дон Висенте не мог быть в Саламанке в 1694 году, так как иначе второе условие ничего не сообщало бы нам о порядке выбора и, следовательно, было бы лишним.
Кроме того, это условие может исключать порядки АБВ и АВБ, если дон Альваро давал табакерку, порядки БАВ и БВА, если табакерку давал дон Бенито, и порядки ВАБ и ВБА, если это сделал дон Висенте.
Наконец третье условие может исключать порядки АБВ и ВАБ, если дон Альваро первый стал носить шпагу, и порядки ВАБ и ВБА, если первым нацепил шпагу дон Висенте".
Чтобы можно было соединить воедино все эти выводы, Илюша немедленно составил небольшую табличку (которую можно увидеть на следующей странице); в ней он отметил, на основании какого условия может исключаться каждый из шести возможных порядков выбора.
"Легче всего, очевидно, - рассуждал Илюша, - может остаться неисключенным порядок АВБ, который можно отвергнуть только на основании одного условия - именно второго - в том случае, если А давал табакерку. Но тогда вместе с АВБ отвергается одновременно и порядок АБВ. Если же допустить еще, что Б видел дона Диего в зеленом плаще, то первое и третье условия вместе исключат и все остальные комбинации и у нас ничего не останется. А если допустить, что завещателя видел в зеленом плаще не Б, а В, то тогда все три последние комбинации отвергаются с помощью первого условия, то есть третье условие окажется лишним. Следовательно, и это предположение неверно".
Таким образом, обе Илюшины попытки исключить порядок АВБ привели его к противоречию. А если это так, то очевидно, что это-то и есть тот самый порядок, который имел в виду дон Диего: первым должен был выбирать дон Альваро, вторым - дон Висенте и последним - дон Бенито.
Когда Илюша наконец это выяснил, ему захотелось разобраться и в остальных подробностях и проверить, каким же образом должны были исключаться все порядки выбора, кроме назначенного.
- 164 -
Он уже догадался, что табакерку давал не А, но если это так, то отделаться от порядка АБВ можно только при помощи третьего условия. И в таком случае первым должен был нацепить шпагу А.
Дальше, если допустить, что табакерку давал В, то тогда второе условие окажется лишним в том случае, если порядок БАВ исключать на основании условия первого, а если его отвергать на основании условия второго, то первое окажется лишним. Поэтому приходится прийти к выводу, что табакерку мог дать дону Диего только Б. Но если при этом тот же Б видел завещателя в зеленом плаще, то окажется, что второе условие лишнее. В таком случае только один В мог видеть дона Диего в зеленом плаще.
В итоге Илюша пришел к следующим выводам:
1)дон Альваро первый стал носить шпагу;
2)дон Бенито давал табакерку;
3)дон Висенте видел завещателя в зеленом плаще и не был в Саламанке в 1694 году.
Вернувшись к своей табличке, Илюша смог восстановить, как должен был рассуждать сам дон Диего в то время, когда все друзья помнили указанные в завещании обстоятельства.
- 165 -
Он записал аккуратно:
"АБВ исключается условием третьим, так как А первый стал носить шпагу.
АВБ не противоречит ни одному из условий.
БАВ исключается условием вторым, так как табакерку давал Б.
ВБА по той же причине исключается тем же условием, а кроме того, еще и условием первым.
ВАБ исключается условием первым, так как В видел дона Диего в зеленом плаще, а кроме того, и условием третьим, потому что А первый стал носить шпагу.
ВБА исключается первым условием".
Когда Илюша все это рассмотрел, то убедился, что нельзя отбрасывать ни одного из условий дина Диего, потому что тогда сейчас же вновь оживет по крайней мере еще одна из комбинаций, кроме АВБ. Илюша заметил еще и то, что хотя в третьем пункте и говорится о случаях, когда А или Б выбирают во вторую очередь, но на самом деле этого не получается, так что из третьего условия вовсе не следует, что А или Б должны выбирать во вторую очередь, - оно только исключает те порядки выбора, которые завещателю не правились.
Когда Радикс просмотрел таблички Илюши, он отнесся к ним с одобрением и сказал:
- Если ты понял, как решаются подобного рода задачи, могу тебе предложить еще две задачки в том же роде. Вот они:
I. В читальном зале главной научной библиотеки ВОЛШЕБНОГО ДВУРОГА за квадратным столом, стороны которого были расположены по странам света, работали четверо ученых: математик, физик, филолог и историк.
Каждый из них в своем спортивном клубе был чемпионом: один по плаванию, другой по теннису, третий по шахматам и четвертый по конькам.
При этом:
а)когда случайно погас свет, то сидевший с северной стороны отказался проверять пробки, так как он боялся удара током;
б)математик сидел против чемпиона по теннису, а историк против чемпиона по шахматам;
и) сидевший с западной стороны утверждал, что
г)чемпион по теннису уверял физика, что битва при Калке произошла в 1322 году;
д)чемпион по плаванию сидел по правую руку историка.
- 166 -
Кто где сидел и кто каким видом спорта занимался?
II. У каждого из пяти офицеров, имена которых начинались буквами А, Б, В, Г и Д и которые по чинам были полковник, майор, капитан, старший лейтенант и младший лейтенант, среди четырех остальных было два ближайших друга.
Один из друзей офицера В был выше его по чину. Старший лейтенант никогда не бывал в Крыму. Оба друга Б и оба друга Г воевали на территории Германии, однако друзья полковника в Германии совсем не были. Офицер Г воевал на Северном Кавказе вместе с обоими своими друзьями, а младший лейтенант там не бывал. Майор служил на Дальнем Востоке с обоими своими друзьями, а офицер Г был тоже на Дальнем Востоке, но только с одним из своих друзей. Полковник вместе с обоими друзьями воевал в Крыму, но не был па Дальнем Востоке. Д не бывал ни в Крыму, ни на Северном Кавказе. Разбери-ка: кто чей друг и кто какой имеет чин?
- Хорошо, - сказал Илюша, - постараюсь решить. Но скажи мне, пожалуйста, какие это задачи? Ведь это же но алгебра?
- Нет, это наша математическая логика.
- Мне казалось, что до сих пор я понимал, что такое логика; это чтобы рассуждать основательно и разумно... А что такое эта твоя математическая логика? Какая разница с обыкновенной?
- Разница в том, что математическая логика представляет собой некоторый род исчисления. Это своего рода алгебра, у которой имеются собственные правила, которые и точнее и шире правил обыкновенной логики[15]. Многое в силу ее алгебраичности может быть превращено в ряд обыкновенных вычислительных правил. Поэтому современные электронно-счетные машины получили возможность доказывать, например, теоремы.
- И трудные теоремы?
- Да, не легенькие...
- Все это очень странно! - сказал Илюша. - Неужели можно поверить, что машина может думать?
- Трудно ответить, конечно, на этот вопрос. Думать, как человек, машина, возможно, и не может, но решать задачи, над которыми человек размышляет иной раз очень долго и это ему нелегко дается - вот это она может. Конечно, не всякие задачи, но некоторые удается. И совсем неплохо! Ты, кажется, ничего не имеешь против шахмат?
- 167 -
- Решительно ничего!
- Тогда позволь показать тебе одну позицию на шахматной доске, которая была предложена электронно-счетной машине. Смотри:
Белые: Kpgl, Фdl, Ла1 и е2, Ch6, Kh5, а2, b2, сЗ, f2, g2, h2.
Черные: Kpg8, Фf5, Лd8 и h8, Kf7, a7, b7, b4, c7, c4, d3, h7.
В этой позиции белые начинают и дают мат в три хода.
Попробуй найди-ка решение!
А когда найдешь, сам увидишь, что в легкой партии можно не только его не найти, а даже и прозевать эту победу. А потом скажи мне, надо думать, чтобы решить эту задачу, или нет? Машина решила эту задачу мигом.
- Так-то оно так, - задумчиво вымолвил мальчик, рассмотрев шахматную диаграмму, - а все-таки это очень похоже на трехходовую задачу, которой только нарочно придана видимость живой партии... То есть мне так кажется. Потому что черный король стоит в пату - никуда двинуться не может, - и белым надо только отвести черного ферзя с того места, где он защищает поле f6... Вот они это и делают в два хода. Но все-таки интересно! Если разобрать как следует, то этот пример не очень убедителен... А вот насчет доказательства трудных теорем - другое дело!
- Почитай специальные книжки, - ответил Радикс, - в двух словах это все рассказать нельзя, потому что эта логика довольно своеобразная и нелегкая наука. Могу привести еще один хороший пример. Как будто у твоего папеньки стоит на письменном столе электрическая лампа? Скажи, пожалуйста, как она зажигается?
- У лампы в цоколе, - отвечал мальчик, - есть такая кнопочка. Нажал - лампа зажглась, нажал еще раз - потухла.
- Так-с, - ответствовал Радикс, - давай попробуем все это выразить на языке нашей логики. Пусть зажженная лампа обозначается единицей, потухшая - нулем. А эту операцию нажатия кнопки мы будем тоже именовать единицей. Разумеется, ничего иного под этими символами теперь понимать нельзя.
Но если мы так условились, то будет справедливо равенство:
- 168 -
(1 + 1 = 0), ибо если ты дважды нажал кнопку, то лампа гореть не будет. И вообще всякая сумма четного числа единиц будет равна нулю, а нечетного - единице. Например, если ты нажал кнопку три раза подряд, то (1 + 1 + 1 = 1), то есть лампа будет гореть. Единица в левой части равенства - это нечто вроде отрицания "не": нуль в правой части говорит, что ничего не изменилось. Если лампа не включена, то, прибавляя "не", получаем "не не включена", то есть включена, и наоборот.
- Вот как... - недоуменно пробормотал Илюша.
- И представь себе, что такого рода равенства ныне имеют немалое значение для замечательных современных электронно-счетных машин.
- 169 -