Основная теорема анализа

Основная теорема анализа

Анализ бесконечно малых — своеобразный мост между производными и интегралами: основная теорема анализа гласит, что интегрирование и вычисление производной являются взаимно обратными операциями. Точнее говоря, если мы хотим вычислить интеграл

то, согласно основной теореме анализа, достаточно найти функцию F такую, что

F’(t) = f(t)

для любого t в интервале между а и b. В этом случае

Функция f должна обладать еще одним свойством — непрерывностью, на котором мы не будем останавливаться подробно.

Рассмотрим на примере, как основная теорема анализа упрощает вычисление интеграла

Этот интеграл в зависимости от его интерпретации можно использовать для расчета площади, ограниченной параболой; площади, ограниченной спиралью Архимеда; а также пути, пройденного телом, которое движется со скоростью v(t) = t².

Согласно основной теореме анализа, достаточно найти функцию, производной которой будет функция t². Это нетрудно сделать с помощью правила вычисления производной степенной функции:

f(t) = tⁿ.

Тогда

f’(t) = t^n-1.

Отсюда нетрудно вывести, что производная функции t³/3 в точности равна t². Следовательно:

Как мы уже упоминали выше, путь, пройденный за 4 секунды телом, которое в течение t секунд движется со скоростью t², определяется интегралом:

Следовательно, достаточно подставить в предыдущую формулу а = 0 и b = 4:

Рассмотрим спираль Архимеда — кривую, получаемую равномерным движением точки вдоль луча, который, в свою очередь, равномерно вращается вокруг своего начала. Будем считать, что точка движется вдоль луча со скоростью 1м/с, скорость вращения луча постоянна. Чтобы найти площадь, ограниченную первым витком спирали Архимеда, нужно вычислить интеграл

Достаточно подставить в предыдущую формулу а = 0 и b = 2?

Именно этот результат получил сам Архимед, который изложил его иначе: «Площадь первого витка спирали равна трети площади круга, радиус которого равен длине пути, пройденного точкой вдоль прямой во время первого витка». В самом деле, так как на первом витке спирали точка проходит вдоль прямой путь, равный 2?, круг этого радиуса будет иметь площадь p ? (2?)² = 4?³, о чем пишет Архимед.

Автор этой книги не ставил перед собой задачу подробно рассказать о понятиях и методах анализа бесконечно малых. Намного интереснее то, каким образом математики открыли эти понятия и как они изменялись со временем. В следующих главах мы расскажем об интеллектуальной эпопее длиной почти в две тысячи лет. Читатель узнает, как Ньютон, Лейбниц, Эйлер, Коши и другие великие математики создавали и последовательно видоизменяли понятия дифференциала, производной, интеграла и предела, пока они не приобрели тот вид, в котором известны нам сегодня.