11. Лошадиное доказательство

Теорема: Все лошади одного цвета.

Доказательство. Докажем утверждение теоремы по индукции.

При n = 1, то есть для множества, состоящего из одной лошади, утверждение, очевидно, выполнено.

Пусть утверждение теоремы верно при n = k. Докажем, что оно верно и при n = k + 1. Для этого рассмотрим произвольное множество из k + 1 лошадей. Если убрать из него одну лошадь, то их останется k. По предположению индукции все они одного цвета. Теперь вернем на место убранную лошадь и заберем какую-либо другую. Опять-таки по предположению индукции и эти k оставшихся лошадей одного цвета. Но тогда и все k + 1 лошадей будут одного цвета.

Отсюда, согласно принципу математической индукции, все лошади одного цвета. Теорема доказана.