Тригонометрические тождества
Но этим возможности тригонометрических функций не ограничиваются. Они способны и на куда более интересные и запутанные взаимоотношения – так называемые тождества. Некоторые из таких тождеств мы уже наблюдали, например,
sin (–A) = –sin A
cos (–A) = cos A
Но их, конечно же, куда больше.
Из тождеств рождаются формулы, притом весьма полезные. Ими-то мы и займемся в этом разделе.
Первое тождество основывается на формуле единичной окружности:
x? + y? = 1
Под эту формулу должна подходить точка (cos A, sin A), принадлежащая единичной окружности. Следовательно, (cos A)? + (sin A)? = 1, из чего проистекает, пожалуй, наиболее важное тригонометрическое тождество.
Теорема: Для любого ?A
cos? A + sin? A = 1
До сих пор все произвольные углы мы обозначали буквой A. Но это не значит, что вы обязаны всегда так делать, можно брать и другие буквы, например, x:
cos? x + sin? x = 1
В тригонометрии для этой цели часто используется греческая буква ? (тета) –
cos? ? + sin? ? = 1
А бывает и так, что вообще ничего не используется:
cos? + sin?= 1
Но перед тем как доказывать какое бы то ни было тождество, нужно найти длину отрезка прямой. В этом нам поможет теорема Пифагора.
Теорема (формула расстояния между двумя точками): Обозначим длину отрезка прямой от точки (x1, y1) до точки (x2, y2) буквой L. Тогда
Например, длина отрезка от точки (–2, 3) до точки (5, 8) равна
Доказательство: Возьмем две точки (x1, y1) и (x2, y2). Начертим прямоугольный треугольник, гипотенузой которого будет отрезок, соединяющий эти точки. На рисунке выше длина основания равна x2 – x1, а высота – y2 – y1. Следовательно, согласно теореме Пифагора, гипотенуза L равна
L? = (x2 – x1)? + (y2 – y1)?
то есть 
что и требовалось доказать.
Отступление
Чему будет равна диагональ в коробке размером a ? b ? c? Возьмем прямоугольник, образующий дно этой коробки, и обозначим пару противоположных его углов буквами O и P. Длина и ширина при этом будут равны соответственно a и b, а диагональ OP – ?(a? + b?).
Теперь проложим линию c от точки P к точке Q, образующей угол, противолежащий O. Чтобы найти расстояние от O до Q, нам понадобятся длины катетов прямоугольного треугольника 
и c. Применим к ним теорему Пифагора и получим, что длина диагонали OQ равна
Ну а теперь собственно тождество – столь же полезное, сколь и красивое. Доказательство может показаться несколько запутанным, поэтому можете смело его пропускать (хотя я все же советую вам в нем разобраться – оно ляжет в основу доказательства других тождеств).
Теорема: Для любых углов A и B
cos(A – B) = cos A cos B + sin A sin B
Доказательство: На единичной окружности, центром которой является точка O, расположены точки P (cos A, sin A) и Q (cos B, sin B). Предположим, что длина отрезка PQ равна с. Что можно сказать о ней?
В треугольнике OPQ отрезки OP и OQ являются радиусами единичной окружности, а значит, их длина равна 1, а ?POQ может быть измерен как A – B. Следовательно, согласно закону косинусов,
c? = 1? + 1? – 2(1)(1) cos (A – B) = 2 – 2 cos (A – B)
С другой стороны, формула расстояния приводит нас к уравнению
c? = (x2 – x1)? + (y2 – y1)?
поэтому расстояние c от точки P = (cos A, sin A) до точки Q = (cos B, sin B) соответствует
c? = (cos B – cos A)? + (sin B – sin A)? = cos? B – 2 cos A cos B + cos? A + sin? B – 2 sin A sin B + sin? A = 2 – 2 cos A cos B – 2 sin A sin B
где последнее представление основывается на уравнениях cos? B + sin? B = 1 и cos? A + sin? A = 1.
Соединив эти уравнения для c?, получаем
2 – 2 cos (A – B) = 2 – 2 cos A cos B – 2 sin A sin B
Вычтем из обеих частей 2, разделим их на –2 и получим
cos (A – B) = cos A cos B + sin A sin B
что и требовалось доказать.?
Отступление
Формула для cos (A – B) основывается на законе косинусов и исходит из того, что 0° < A – B < 180°. Но ту же теорему можно доказать и выйдя за рамки подобных ограничений. Если переместить треугольник POQ по часовой стрелке на B градусов, мы получим конгруэнтный ему треугольник P'OQ', в котором Q' будет располагаться на оси x в координатах (1, 0).
Так как ?P'OQ' = A – B, P' = (cos (A – B), sin (A – B)). Согласно формуле расстояния для P'Q' будет верно следующее:
c? = (cos (A – B) – 1)? + (sin (A – B) – 0)? = cos? (A – B) – 2 cos (A – B) + 1 + sin? (A – B) = 2 – 2 cos (A – B)
Из этого можно заключить, что c? = 2 – 2 cos (A – B), при этом нам не нужны ни теорема косинусов, ни предположение об угле A – B. Ну а дальнейшее доказательство можно скопировать с предыдущего.
Обратите внимание, что при A = 90° формула для cos (A – B) утверждает следующее:
cos (90° – B) = cos 90° cos B + sin 90° sin B = sin B
Происходит это на том основании, что cos 90° = 0, а sin 90° = 1. Если в этом уравнении заменить B на 90° – B, получим
cos B = cos 90° cos (90° – B) + sin 90° sin (90° – B) = sin (90° – B)
Мы уже доказали правдивость этих утверждений на примере B как острого угла. Однако алгебра позволяет нам пойти дальше и подтвердить их для любого значения B. Так, если заменить B на – B, мы придем к
cos (A + B) = cos A cos (–B) + sin A sin (–B) = cos A cos B – sin A sin B
так как cos (–B) = cos B, а sin (–B) = –sin B. Если предположить, что B = A, у нас получится формула функций двойного угла:
cos (2A) = cos? A – sin? A
А так как cos? A = 1 – sin? A и sin? A = 1 – cos? A, мы также можем утверждать, что
cos (2A) = 1 – 2 sin? A и cos (2A) = 2 cos? A – 1
Из этого тождества косинусов проистекает аналогичное тождество синусов, например,
sin (A + B) = cos (90 – (A + B) = cos ((90 – A) – B) = cos (90 – A) cos B + sin (90 – A) sin B = sin A cos B + cos A sin B
B = A приводит нас к формуле функций двойного угла для синусов –
sin (2A) = 2 sin A cos A
а замена B на – B – к
sin (A – B) = sin A cos B – cos A sin B
Давайте соберем в одну таблицу все тождества, которые мы успели вывести в этой главе:
Повторюсь: использовать буквы A и B вы не обязаны, сгодятся и любые другие (скажем, cos (2u) = cos?u – sin?u или sin (2?) = 2 sin ? cos ?).