Алгебра в графиках

В XVII веке в математике произошел настоящий прорыв: французы Пьер де Ферма и Рене Декарт независимо друг от друга придумали отличный способ визуализации алгебраических уравнений (равно как и алгебраическую запись геометрических объектов).

Начнем, пожалуй, с графика простого уравнения

y = 2x + 3

Оно означает, что любое значение переменной х мы должны удвоить, а потом прибавить к нему 3 – так у нас и получается y. В таблице ниже приведены несколько возможных пар значений для x и y. Рядом с таблицей – график, на котором все эти значения отмечены точками, и можно легко видеть, что все они определенным образом упорядочены. Посмотрите на координаты: (–3, 3), (–2, –1), (–1, 1) и так далее. Соединив эти точки одной линией и уведя ее в бесконечность, мы получим то, что называется графиком. График рядом с таблицей есть отображение уравнения y = 2x + 3.

Добавим немного необходимой терминологии. Горизонтальная линия на нашей картинке называется осью X, вертикальная – осью Y. Сам график составляет линия с наклоном 2, которая пересекает ось Y в точке 3. Наклон – это степень «крутизны» линии. Наклон, равный 2, обозначает, что каждый раз, когда x увеличивается на одну единицу, y всегда будет увеличиваться на две (что очень хорошо видно из таблицы). Алгебраически точка пересечения с осью Y – значение y при x = 0. Геометрически же все очевидно: это точка пересечения графика с вертикальной линией. То есть график уравнения

y = mx+ b

представляет собой линию с наклоном m, которая пересекается с осью Y в точке b (и наоборот). Линия обычно ассоциируется с ее уравнением, Поэтому мы можем просто сказать, что график на предыдущем рисунке – это линия y = 2x + 3.

А вот график линий y = 2x – 2 и y = –x + 7:

Первая линия y = 2x – 2 имеет наклон 2 и пересекается с осью Y в точке –2 (график получается параллельным линии y = 2x + 3 с полным сдвигом вниз по вертикали на 5). Наклон второй линии y = –x + 7 равен –1, поэтому при увеличении x на единицу на ту же единицу уменьшается и y. Призовем на помощь алгебру, чтобы найти точку (x, y) пересечения этих двух линий – именно в ней значения наших двух переменных совпадут, и x мы будем искать исходя из того, что он здесь равен y. Иными словами, нам надо решить

2x – 2 = –x + 7

Добавим к обеим частям сначала x, потом 2 и получим

3x = 9

то есть x = 3. А зная x, мы можем использовать другое уравнение, чтобы найти y. Если y = 2x – 2, значит, y = 2(3) – 2 = 4 (а y = –x + 7 дает нам y = –3 + 7 = 4). Значит, графики пересекаются в точке (3, 4).

Зная две точки, лежащие на одной прямой, нарисовать график в виде целой линии становится делом техники. Немного сложнее иметь дело с квадратичной функцией (и фигурирующим в ней x?). Самое простое для отображения в виде графика – уравнение y = x? (изображен ниже). Подобные графики называются параболами.

А вот график уравнения y = x? + 4x – 12 = (x + 6)(x – 2).

Обратите внимание, что, когда x = –6 или x = 2, y = 0. Это легко заметить на графике – в тех двух его местах, где парабола пересекает ось x. И совсем не случайно, что самая нижняя ее точка располагается точно в центре между ними – при x = –2 и y = –16. Это вершина.

С параболами мы сталкиваемся каждый день. Каждый раз, когда вы видите движущийся по кривой предмет, будь то летящий мяч или струя воды в фонтанчике, вы, в сущности, видите параболу (просто взгляните на картинку чуть ниже). Свойства параболы активно используются в устройстве фар, телескопов, спутниковых тарелок и многих других приборов.

Еще немного терминологии. До этого все наши примеры содержали в себе многочлены – комбинации чисел и одной переменной (скажем, x), которая может быть возведена в положительную целую степень. Наибольшую из степеней входящего в многочлен одночлена называют степенью многочлена. Например, 3x + 7 – это (линейный) многочлен первой степени. Многочлен второй степени, вроде x? + 4x – 12, называется квадратным, многочлен третьей степени (5x? – 4x? – ?2) – кубическим. Бывают многочлены и других, б?льших, степеней (я, правда, никогда не слышал их специальных названий – главным образом, думаю, потому, что не так уж и часто они встречаются. Интересно, насколько часто используются в профессиональной литературе термины «квартический», «квинтический» и т. п. многочлены? Встречаются, наверное, но я, честно говоря, по этому поводу настроен немного скептически). А еще бывают многочлены, в которых нет переменных (например, 17) – о таких говорят, что они стоят в нулевой степени. Ну и последнее, что вам нужно знать о многочленах – это то, что многочленом не может быть сочетание с бесконечным количеством чисел. Например, 1 + x + x? + x? +… – не многочлен, а так называемый бесконечный ряд, о которых мы поговорим подробнее в главе 12.

Обратите внимание, что в случае с многочленами степень, в которую возводятся переменные, может быть выражена только положительным целым числом – ни в коем случае не отрицательным и не дробным. То есть если вам попадается уравнение с чем-нибудь вроде y = 1/x или y = ?х, это не многочлен, потому что 1/x = x^–1, а ?х = x^?.

Корнями многочлена мы считаем такие значения х, при которых многочлен равняется 0. Например, 3x + 7 имеет один корень, а именно x = –7/3. А вот у x? + 4x – 12 два корня: x = 2 и x = –6. А x? + 9 корня (в смысле, действительного корня) не имеет вообще. Обратите внимание, что каждый многочлен степени 1 (линейный) имеет один корень в силу того, что он пересекает ось X только в одной точке, квадратный – не больше двух. Многочлены x? + 1, x? и x? – 1 имеют соответственно ноль, один и два корня.

А вот графики двух кубических многочленов, на которых вы легко заметите, что в обоих – максимум три корня.

В главе 10 мы рассмотрим основную теорему алгебры, которая гласит, что каждый многочлен, возведенный в степень n, имеет не более n корней. Более того, он может быть разложен на линейную и квадратную части. Например,

имеет три корня (1, 2 и –3). В свою очередь,

x? – 8 = (x – 2)(x? + 2x + 4)

имеет только один действительный корень – при x = 2 (и еще два комплексных, но им придется подождать до главы 10). Сегодня, кстати, очень легко можно найти график практически любой функции, просто набрав нужное вам уравнение в своем любимом поисковике. Просто напечатайте что-нибудь вроде y = (x^3 – 7x + 6)/2, и получится рисунок наподобие тех, которые представлены в этой книге.

В этой главе мы научились легко находить корни любого линейного или квадратного многочлена. А еще есть формулы для нахождения корней многочленов третьей или четвертой степеней, но они очень-очень сложные. Вывели их еще в XVI веке, а потом еще две сотни лет ведущие математики занимались поиском такого же уравнения для многочлена пятой степени. Лучшие умы бились над этой проблемой и никак не могли найти решения, пока в начале XIX века норвежский математик Нильс Абель не доказал, что создать такую формулу для пятой и более высокой степени просто-напросто невозможно. Это приводит нас к каламбуру, который считают забавным только математики: «Почему Исаак Ньютон не смог доказать теорему невозможности формулы для пятого порядка? – Потому что корни с деревьев не падают!»

Примеры доказательств невозможности чего-либо мы рассмотрим в главе 6.

Отступление

Почему x^–1 = 1/x? Конкретнее, почему 5^–1 = 1/5? Взгляните на такую закономерность:

5? = 125, 5? = 25, 5? = 5, 5⁰ =? 5^–1 =?? 5^–2 =???

Обратите внимание, что с каждым уменьшением степени на единицу число делится на 5, что имеет для нас смысл, если над этим задуматься. Ведь тогда 5⁰ = 1, 5^–1 = 1/5, 5^–2 = 1/25 и так далее. Настоящая же причина этого – правило действий со степенями, согласно которому x^ax^b = x^a+b. Лучше всего он работает, когда a и b – положительные и целые величины. Так, x? = x · x, а x? = x · x · x. Значит,

x?x? = (x ? x) ? (x ? x ? x) = x⁵

Если мы хотим, чтобы правило работало при значении степени, равном 0, необходимо, чтобы

x^a+0 = x^ax⁰

а так как левая часть становится равна x^a, этому же значению должна быть равна правая часть, что возможно только при x⁰ = 1.

Желание же применить закон к отрицательным величинам вынуждает нас признать, что

x?x^–1 = x^1+(–1) = x⁰ = 1

Разделим обе части на x и получим, что x^–1 должен равняться 1/x. По той же причине x^–2 = 1/x?, x^–3 = 1/x? и т. д.

Применение закона к целым величинам дает

x^?x^? = x^?+? = x? = x

Следовательно, умножая x^? на x^?, мы получаем x, а это значит, что x^? = ?x (при условии, что x является положительным числом).