Радианы и графики в тригонометрии
До сих пор нам встречались углы, значения которых находились исключительно в диапазоне от 0 до 360 градусов. Но пристальный взгляд на единичную окружность невольно заставляет усомниться в обоснованности выбора числа 360. Сделан он был давным-давно, еще в древнем Вавилоне, где в обиходе была шестидесятеричная система счисления, использовавшаяся в том числе и в календаре (да-да, число 360 подозрительно напоминает количество дней в году). Альтернатива была предложена много позже, в XIX веке, когда в математике – а затем и в других науках – появилось понятие радиана, представляющего собой
2? рад = 360°
или, другими словами,
Для тауистов, почитающих число t как 2?,
В числовом же выражении 1 радиан примерно равен 57°.
Но зачем они нужны, спросите вы. И чем вдруг научному сообществу так не угодили привычные всем градусы?
В круге с радиусом r угол в 2? радианов охватывает длину окружности 2?r. Если взять часть этого большого угла, величина дуги, отделяемой этой частью, будет в 2?r раз больше получившейся дроби. Если говорить конкретнее, то 1 радиан «захватывает» дугу длиной 2?r(1/2?) = r, а m радианов – дугу длиной mr. В единичной окружности значение угла в радианах равно длине соответствующей ему дуги. Разве не удобно?
А вот единичный круг, поделенный на самые «популярные» углы – значения выражены как в градусах, так и в радианах.
Для сравнения – версия с t вместо ?.
На рисунках, кстати, очень хорошо заметно, насколько t удобнее ?. Для угла 90° (занимающего четверть окружности) представление в радианах выглядит как t/4; для угла 120° (треть окружности) – как t/3; для угла 60° (одна шестая окружности) – как t/6; t же есть, по сути, один полный оборот, то есть угол 360°.
Как нам еще предстоит убедиться, радианы позволяют значительно упростить формулы и уравнения подсчета тригонометрических функций. Формулы синуса и косинуса, например, можно превратить в «бесконечные ряды многочленов»:
sin x = x – x2/3! + x5/5! – x7/7! + x9/9! –…
cos x =1 – x2/2! + x4/4! – x6/6! + x8/8! –…
но только если x измеряется в радианах. Или при исчислении, например, мы увидим, что cos x есть производная функция sin x при том же условии. Так же и графики тригонометрических функций y = sin x и y = cos x строятся обычно на основании радианного представления x.
Графики эти будут повторяться с шагом 2? (тауисты, на старт!). Происходит это из-за того, что как синус, так и косинус берут свои начала в окружности, а угол x + 2? по своей природе ничем не отличается от угла x. Именно поэтому эти функции называются периодическими, а шаг 2? – периодом синуса и косинуса. Кстати, если сдвинуть график косинуса вправо на ?/2, он точь-в-точь совпадет с графиком синуса, потому что значение ?/2 в радианах соответствует углу 90°. Из всего этого следует, что
sin x = cos (?/2 – x) = cos (x – ?/2)
(например, sin 0 = 0 = cos (–?/2), а sin ?/2 = 1 = cos 0).
Тангенс, равный, как мы помним, sin x/cos x, так и останется неопределенным при cos x = 0 (что происходит всякий раз, когда линия графика проходит ровно посередине двух значений, кратных числу ?). Значит, период тангенса равен ?.
Синуса и косинуса, в принципе, достаточно, чтобы прийти к любой другой периодической тригонометрической функции. Именно благодаря такому своему уникальному свойству, как периодичность, они обрели огромную популярность для решения практических задач, в условиях которых заложена цикличность и «сезонность». Это и измерение температур, и анализ экономических данных, и многое другое. А еще с тригонометрическими функциями так или иначе связаны звуковые колебания, волны на воде, электричество и даже сердцебиение.
Ну и, по традиции, в завершение главы – самое интересное: между тригонометрией и числом ? существует удивительная, поистине волшебная связь. Хотите ее увидеть? Возьмите калькулятор и наберите на нем столько пятерок, сколько получится. У меня, например, на экране уместилось их целых 16 – 5 555 555 555 555 555. Теперь посчитайте величину, обратную этому числу; у меня получилось
1/5 555 555 555 555 555 = 1,8 ?10–16
Нажмите кнопку «sin» и посмотрите, что у вас получилось (вначале может идти несколько нолей – просто не обращайте на них внимания). Лично на меня с дисплея смотрело число
3,1415926535898 ? 10–18
которое (после отбрасывания 17 нолей, идущих за запятой) почти в точности повторяло первые 16 цифр числа ?! К тому же результату можно прийти, начав с любого числа, состоящего как минимум из пяти пятерок.
В этой главе мы выяснили, зачем нужна тригонометрия, и увидели, как она помогает нам лучше понять свойства треугольников и окружностей. Тригонометрические функции – не просто «вещи в себе», они взаимодействуют, вступая друг с другом в замысловатые, но прекрасные в своей стройности отношения. А еще мы проследили их связь с числом ?. Теперь черед за двумя другими важнейшими для математики величинами: иррациональной e = 2,71828… и мнимой i.