Бесконечно интересно

Когда еще, как не в конце, под самый занавес, говорить о бесконечности? И когда еще, как не в конце, вспоминать начало? А в начале у нас была сумма всех чисел от 1 до 100:

1 + 2 + 3 + 4 +… + 100 = 5050

А потом – и сумма чисел от 1 до n:

А еще были другие суммы чисел конечных диапазонов. В этой главе мы попытаемся сосчитать те числа, ряд которых имеет начало, но не имеет конца, например,

(надеюсь, мне удалось убедить вас, что в результате получится 2, причем не приблизительно, а ровно 2). Некоторые такие ряды дают очень интересные результаты сложения, например,

А другие – вовсе не имеют их, как, скажем,

В математике принято считать, что суммой всех положительных чисел является бесконечность, что записывается следующим образом:

1 + 2 + 3 + 4 + 5 +… = ?

то есть результат постоянно растет, не имея при этом верхнего предела. По сути, это означает, что ответ превосходит любое число, которое только может возникнуть у вас в голове – сотню, миллион, квадриллион… И все-таки в конце главы мы увидим, что вполне бывает, например, и такое:

Заинтригованы? Уверен, что да. Уже через несколько строк мы покинем привычный нам мир и отправимся в сумеречное царство бесконечности, где возможны самые странные вещи, – в царство, манящее всех математиков своей неизведанностью и красотой.

Является ли бесконечность числом? Не совсем, хотя с ним порой и обращаются, как с обычным числом: вы вполне можете натолкнуться на что-нибудь вроде

Теоретически никакого самого большого числа нет: вы всегда можете прибавить к нему единицу и получить еще большее число. Символ ? по существу обозначает величину «произвольно большую» или бо?льшую, чем любая другая положительная величина. Другой полюс бесконечности представлен ??, величиной меньшей, чем любая другая отрицательная величина.

Кстати, количества, выражаемые как ? – ? (бесконечность минус бесконечность) или 1/0 являются неопределенными. Конечно, очень велико искушение заявить, что 1/0 = ?, потому что при делении единицы на все меньшую и меньшую положительную величину частное будет расти. Но ведь если делить 1 на все меньшие и меньшие по абсолютной величине отрицательные числа, то частное будет представать все большим и большим по абсолютной величине отрицательным числом.