Классика геометрии

Геометрия уходит корнями далеко вглубь веков – во времена Древней Греции. Оттуда же происходит и само название этой чудесной во всех отношениях науки: «гео» на древнегреческом означает «земля», «метрия» – «измерение». Оно говорит само за себя, давая нам ясное представление о том, зачем вообще придумали геометрию – чтобы измерять земельные участки, на которых планировалось вести строительство или другие работы. А еще ее использовали в астрономии. Но древние греки не были бы древними греками, если бы не отшлифовывали любое свое знание до абсолютно идеальных форм, превращая его в искусство – такое, каким не устают (и никогда не устанут) восхищаться их потомки, сколько бы тысячелетий ни прошло. И по сей день главной книгой геометрии остаются написанные в 300 году до нашей эры «Начала» Евклида – сокровищница всех наших знаний о геометрии, лучший на все времена учебник. В «Началах» разъясняется, что такое математическая строгость, дедуктивный и аксиоматический методы, доказательство… – Все то, на чем до сих пор строится любая работа любого математика.

Евклид выдвинул пять аксиом (также называемых постулатами) – положений, интуитивно понятных каждому и потому не требующих доказательств. Именно они суть основа всего, из чего состоит геометрия – и все теоремы так или иначе базируются именно на них. То, что перечислено чуть ниже, конечно же, не являются цитатами из «Начал», но наши формулировки никоим образом не противоречат их сути. Итак:

Аксиома 1. Любые две точки пространства могут быть соединены только одним отрезком прямой.

Аксиома 2. Отрезок этот можно продолжать в обоих направлениях до бесконечности – так получаются прямые.

Аксиома 3. Для любых двух точек O и P можно очертить только одну окружность с центром в точке O и точкой P, лежащей на окружности.

Аксиома 4. Все прямые углы равны 90°.

Аксиома 5. Если точка Р не лежит на прямой l, можно провести через точку P одну и только одну прямую, которая будет параллельна прямой l.

Отступление

Думаю, тут важно оговориться, что здесь мы ведем речь о так называемой плоской геометрии (или планиметрии) – особом разделе евклидовой геометрии, в основе которой лежат построения на двухмерной (скажем, x и y) плоскости. Любое, даже самое незначительное изменение одной из аксиом приведет нас в некую совершенно иную (при этом весьма интересную и необязательно бесполезную) математическую систему. Есть, например, сферическая геометрия, которая изучает точки и фигуры не на плоскости, а на поверхности сферы: «прямые» в ней превращаются в круги с максимальной длиной окружностей (они называются большими кругами), что приводит к обязательному их пересечению в той или иной точке, а значит, и к отрицанию существования параллельности.

А если в пятой аксиоме предположить, что через точку P можно провести не одну, а две прямых, параллельных прямой l, мы придем к системе, которая называется геометрией Лобачевского, и ко всему многообразию ее удивительных теорем. Многие художники – такие, скажем, как Мауриц Эшер[19] или Дуглас Данхэм[20] – используют ее для создания завораживающих графических композиций; последний, к слову сказать, любезно позволил мне показать вам одно из своих творений:

Конечно же, пятью аксиомами, сформулированными Евклидом, геометрия не ограничивается, поэтому не удивляйтесь, если на этих страницах вы найдете и другие. Ну а поскольку эта книга – отнюдь не учебник, мы, пожалуй, не будем тратить время на обстоятельное доказательство прописных истин и объяснение элементарных понятий, тем более с нуля. Я очень высокого мнения о своем читателе и считаю аксиомой, что он помнит со школы (или просто знает), что такое точка, прямая, угол, круг, периметр, площадь и так далее. К тому же я по мере сил буду избегать профессиональной лексики и всяких специфических и понятных, пожалуй, только математику, обозначений – ведь в центре нашего внимания не наука как таковая, но ее магия, способная затронуть струны любой, даже самой далекой от геометрии, души.

Я абсолютно уверен, например, что вы уже знаете (ну или готовы принять на веру), что градусов в любом круге ровно 360 и что обозначается это как 360°. А любой находящийся в этом круге угол, таким образом, будет равен значению от 0° до 360°. Представьте себе стрелки часов, сходящиеся в самом центре циферблата. В час дня или ночи стрелки располагаются так, будто «отрезают» от круга одну двенадцатую – значит, угол между ними равен 30°. В три часа стрелки «отрежут» уже четверть круга

и образуют угол 90° (такой угол называется прямым, а прямые или лучи, которые его образуют, – перпендикулярными друг другу). Прямая же линия, которую образуют стрелки ровно в шесть часов, образует угол 180°.

А вот одно очень полезное и часто встречаемое на практике обозначение: отрезок прямой, лежащий между точками A и B, выглядит в записи как AB. Если же вам нужно оперировать его длиной, черточку сверху ставить не нужно: длина отрезка AB составляет AB.

Две прямые при пересечении всегда образуют четыре угла. Взгляните на рисунок – что вы видите? Видите, что два прилежащих (смежных) угла (a и b, например) образуют линию? Такие углы называются дополнительными (потому что дополняют друг друга до 180°, которые нам дает линия).

Это справедливо в отношении всех четырех пар смежных углов, то есть

a + b = 180°

b + c = 180°

c + d = 180°

d + a = 180°

Если вычесть второе уравнение из первого, получится, что a – c = 0. Следовательно,

a = c

А вычитание третьего уравнения из второго приведет нас к

b = d

Так у нас получаются еще две пары углов – a и с и b и d, которые называются вертикальными. Ну а теорему вертикальных углов, утверждающую их равенство, мы с вами только что доказали.

Осторожно, двери закрываются! Следующая остановка – доказательство того, что сумма углов абсолютно любого треугольника равна 180°. Но сначала – несколько фактов о параллельных прямых. Две прямые считаются параллельными, если они никогда – ни на видимом отрезке, ни в бесконечности – не пересекаются. Посмотрите на рисунок: вот две параллельные прямые (l₁ и l₂), а вот – третья прямая (l₃), непараллельная им и, следовательно, пересекающая их в точках P и Q соответственно. Приглядитесь чуть внимательнее: l₃ «разрезает» l₁ и l₂ абсолютно одинаково, под одним и тем же углом, то есть a = e. Углы a и e в таком случае являются соответственными (равно как b и f, c и g, d и h). Равенство их настолько очевидно, что вполне может считаться аксиоматичным, хотя и не может быть доказано ни одним из пяти евклидовых постулатов. Значит, теперь у нас есть новая аксиома.

Аксиома соответственных углов: Соответственные углы всегда равны.

В соединении с теоремой вертикальных углов аксиома говорит нам, что, согласно рисунку выше,

a = c = g = e

b = d = h = f

(Книги по математике в большинстве своем предлагают специальные названия для каждой из возможных пар: углы a и g, например, образующие фигуру, которая напоминает латинскую букву Z, называются внутренними накрест лежащими.) Эти равенства говорят нам, что любой из этих 8 углов равен своему парному вертикальному, своему парному соответственному и своему парному внутреннему накрест лежащему. Понимание этого нужно нам, чтобы доказать одну из основных теорем геометрии.

Теорема: Сумма углов любого треугольника равна 180°.

Доказательство: Возьмем треугольник ABC (см. рисунок) с углами a, b и c. Через его вершину (то есть точку B) проведем прямую, параллельную его же основанию (то есть прямой, проходящей через точки A и С).

Образовавшиеся при этом углы d и e вместе с углом b образуют линию, поэтому d + b + e = 180°. Обратите внимание, что углы a и d и углы c и e при этом являются внутренними накрест лежащими, следовательно, d = a, а e = c, что приводит нас к a + b + c = 180°, что и требовалось доказать.

Отступление

Теорема о сумме углов треугольника, равной 180°, крайне важна для понимания сути планиметрии. В других же геометрических системах она не работает совершенно: для примера можно спроецировать тот же треугольник на сферу-«глобус», причем так, чтобы он начинался на «северном полюсе», спускался к «экватору» вдоль любой из «линий долготы», там заворачивал направо в первый раз, а после прохождения четверти «планеты» – и во второй, возвращаясь к «северному полюсу». Получившийся таким образом треугольник будет иметь три прямых угла, дающих вместе не 180, а целых 270°. В сферической геометрии сумма углов треугольника есть величина непостоянная: она все больше отдаляется от значения в 180° при малейшем увеличении его площади и находится к ней в прямой пропорциональной зависимости.

На занятиях по геометрии в школе или университете очень много внимания уделяется доказательству конгруэнтности объектов: это значит, что, перемещая, вращая или отображая зеркально одну фигуру, мы можем получить совпадающую с ней другую. Например, изображенные на рисунке треугольники ABC и DEF являются конгруэнтными, поскольку при смещении влево треугольник DEF полностью совпадет с треугольником ABC. На рисунке это показано с помощью специальных меток: если соответствующие стороны или углы двух фигур маркированы одинаковым количеством черточек, они равны.

Для этого даже есть специальный математический символ – ?; наша запись, таким образом, будет выглядеть как ABC ? DEF, что значит, что стороны обоих треугольников и их углы идеально друг с другом совпадают: стороны AB, BC и CA равны сторонам DE, EF и FD (соответственно), а углы по вершинам A, B и C равны углам по вершинам D, E и F (также соответственно). Именно это мы и имеем в виду, когда отмечаем одинаковым количеством черточек совпадающие стороны и углы этих двух по сути разных (хоть и равных) треугольников.

Остальное – дело техники. Если вы, например, имеете дело с двумя равносторонними треугольниками и знаете, что углы двух из трех пар равны (допустим, ?A = ?D и ?B = ?E), вы можете смело утверждать, что равными будут углы и третьей пары – а значит, треугольники являются конгруэнтными. Информации тут даже больше, чем нужно: нам вполне достаточно знать, что равными будут боковые стороны треугольников (AB = DE и AC = DF) и углы между ними (?A = ?D). А дальше все просто: BC = EF, ?B = ?E, а ?C = ?F. Из этого вытекает аксиома конгруэнтности треугольников по двум сторонам и лежащему между ними углу.

Это именно аксиома, а не теорема, поскольку доказать ее с помощью уже существующих аксиом невозможно. Зато, принятая на веру, она ложится в основу других не менее полезных теорем конгруэнтности а) по трем сторонам; б) по одной стороне и двум прилежащим к ней углам; и в) по двум углам и прилежащей к одному из них стороне. (Не существует только теоремы конгруэнтности по двум сторонам и прилежащему к одной из них углу: для стопроцентной уверенности угол все же должен находиться между сторонами.) Самой интересной из них мне кажется теорема а), ведь изначально в ней вообще никак не упоминаются углы, равенство которых доказывается через равенство сторон.

Но вернемся к аксиоме по двум сторонам и углу между ними и докажем с ее помощью одну замечательную теорему, касающуюся равнобедренных треугольников. Равнобедренным называется такой треугольник, две из трех сторон которого имеют одинаковую длину. (И кстати, уж коли об этом зашла речь – есть и другие виды треугольников: равносторонние – в которых все три стороны равны; прямоугольные – в которых один угол равен 90°; остроугольные – в которых все три угла меньше 90°; и, наконец, тупоугольные – в которых один угол больше 90°.)

Теорема о равнобедренном треугольнике: Если в равнобедренном треугольнике ABC стороны AB и AC равны, противолежащие этим сторонам углы будут также равны.

Доказательство: Из точки A проведем линию так, чтобы она делила ?A ровно пополам и пересекала отрезок BC в точке X, как на рисунке. Это биссектриса угла A.

Получившиеся таким образом треугольники BAX и CAX являются конгруэнтными согласно аксиоме по двум сторонам и лежащему между ними углу: BA = CA (что следует из понятия равнобедренности), ?BAX = ?CAX (что следует из понятия биссектрисы), а AX = AX (вернее, не так: отрезок AX не уникален, он появляется одновременно в двух треугольниках и не меняет свою длину). А так как BAX ? CAX, также равны будут и остальные стороны и углы, в том числе ?B = ?C, что и требовалось доказать.?

Отступление

То же можно доказать и с помощью теоремы конгруэнтности по трем сторонам. Для этого возьмем точку M как середину отрезка BC, то есть чтобы BM было равно MC. Проведем линию по отрезку AM. Как и в предыдущем доказательстве, треугольники BAM и CAM будут конгруэнтными, потому что BA = CA (равнобедренность), AM = AM, а MB = MC (потому что точка M находится ровно посередине BC). Следовательно, согласно доказательству по трем парам сторон, BAM ? CAM, что говорит нам о равности лежащих в них углов, в том числе и ?B = ?C, что и требовалось доказать.

Из факта конгруэнтности следует, что ?BAM = ?CAM, следовательно, отрезок AM является биссектрисой. Более того, так как ?BMA = ?CMA и в сумме они дают 180°, каждый из них должен быть равен 90°, из чего следует вывод, что в равнобедренном треугольнике биссектриса, проложенная из угла A, будет перпендикуляром к основанию BC.

Кстати, доказательство от обратного в отношении равнобедренного треугольника тоже вполне эффективно, то есть если ?B = ?C, то AB = AC. Для этого, как и в самом первом доказательстве, проведем биссектрису из точки A в точку X. Утверждение, что BAX ? CAX, в этом случае следует из теоремы конгруэнтности по двум углам и прилежащей к одному из них стороне: ?B = ?C (согласно изначальному условию), ?BAX = ?CAX (согласно определению биссектрисы), а AX = AX. Значит, AB = AC, то есть треугольник ABC является равнобедренным.

Теорему эту можно применить и к равностороннему треугольнику: если равны все стороны, значит, равны и все углы. Следовательно, поскольку в сумме своей три угла дают 180°, имеем сопутствующую теорему.

Сопутствующая теорема: В равностороннем треугольнике каждый из углов равен 60°.

Согласно теореме конгруэнтности по трем сторонам, если в треугольниках ABC и DEF совпадают все стороны (то есть AB = DE, BC = EF, а CA = FD), их углы будут также совпадать (то есть ?A = ?D, ?B = ?E, а ?C = ?F). Верным ли будет обратное предположение, что, если в треугольниках ABC и DEF совпадают все углы, будут совпадать и их стороны? Конечно же, нет – просто посмотрите на рисунок:

Два треугольника с равными углами называются подобными. Если треугольники ABC и DEF являются подобными (что обозначается как ?ABC ~ ?DEF или просто ABC ~ DEF), то ?A = ?D, ?B = ?E, а ?C = ?F. То есть один из них, по сути, является уменьшенной (или увеличенной) версией второго. Поэтому при ABC ~ DEF их стороны находятся в пропорциональной зависимости друг от друга по некоторому положительному масштабирующему коэффициенту k: DE = kAB, EF = kBC, а FD = kCA.

Все это поможет нам ответить на второй вопрос нашей викторины, с которой мы начали главу. Давайте вспомним все условия. У нас есть две параллельные прямые: на нижней пролегает отрезок XY, на верхней – точка P. Нашей задачей было найти такое местоположение точки P, при котором треугольник XYP имел бы наименьший периметр. Преобразуем правильный ответ в теорему.

Теорема: треугольник XYP имеет наименьший периметр, если точка P, которая расположена на прямой, параллельной его основанию, находится точно в середине отрезка XY.

И хотя для того, чтобы подтвердить это предположение, достаточно пары нехитрых вычислительных операций, побалуем себя изысканным геометрическим подходом (доказательство получится очень долгим и немного запутанным, поэтому, если хотите, можете особо в него не вчитываться, а то и вовсе пропустить).

Доказательство: Предположим, что точка P располагается абсолютно в любом месте на верхней прямой, а точка Z располагается прямо над точкой Y. (Точнее говоря, точка Z должна быть расположена так, чтобы линия YZ, проведенная от нее в точку Y, была строго перпендикулярна как нижней, так и верхней прямым, как показано на рисунке чуть ниже.) Продолжим линию YZ до точки Y?так, чтобы отрезок Y?Z был равным отрезку ZY. Другими словами, если бы верхняя прямая была зеркалом, точка Y? была бы отражением точки Y.

Треугольники PZY и PZY? будут конгруэнтными согласно аксиоме по двум сторонам и лежащему между ними углу: PZ = PZ, ?PZY = 90° = ?PZY?, а ZY = ZY?. Следовательно, PY = PY?, из чего и будем исходить далее.

Периметр треугольника YXP есть сумма длин трех отрезков:

YX + XP + PY

а так как мы только что доказали, что PY = PY?, тот же периметр можно представить в виде

YX + XP + PY?

Длина YX не зависит от P, так что задачу по поиску ее местонахождения можно упростить до поиска наименьшего значения XP + PY?.

Отрезки XP и PY образуют ломаную линию, которая соединяет точки X и Y?. Но так как наиболее кратким путем между двумя точками будет не ломаная, а прямая линия, в оптимальном варианте точка P* должна располагаться на одной прямой с точками X и Y?, причем на месте ее пересечения с верхней горизонталью, как на рисунке ниже. Все? Нет, еще не все: нам же нужно доказать, что P* находится точно над центральной точкой отрезка XY.

Обозначим точку, находящуюся прямо под точкой P* буквой M. Отрезок P*M при этом будет перпендикулярен XY. Так как верхняя прямая параллельна нижней, длина P*M должна быть равна длине ZY. В принципе, это понятно и так, ведь расстояние между двумя параллельными прямыми равно всегда – хоть на видимом участке, хоть в бесконечности, – но дополнительным подтверждением тому является отрезок MZ, который дает нам два конгруэнтных (согласно теореме – по двум углам и прилежащей к одному из них стороне) треугольника MYZ и ZP*M.

Чтобы доказать, что точка M лежит ровно в центре отрезка XY, докажем сначала подобность треугольников MXP* и YXY?. Обратите внимание, что ?MXP* и ?YXY? суть один и тот же угол, ?P*MX = ?Y?YX, так как они оба прямые, а раз мы имеем полное совпадение в двух парах углов, совпасть должны углы и в третьей паре, чтобы в каждом треугольнике получилось по 180°. Каким будет масштабирующий коэффициент? Согласно построению,

YY? = YZ + ZY? = 2YZ = 2MP*

поэтому масштабирующий коэффициент будет равен 2. Следовательно, длина XM составляет ровно половину от длины XY, а отрезок XM заканчивается ровно в центре отрезка XY.

Обобщая, мы можем утверждать, что для того, чтобы треугольник XYP имел наименьший периметр, точка P* верхней прямой должна располагаться точно над центральной точкой отрезка XY.?

Порой геометрические задачи можно решить с помощью алгебры. Предположим, например, что отрезок AB лежит на поверхности с координатами (a₁, a₂) для точки A и координатами (b₁, b₂) для точки B. Тогда точка M, располагающаяся в середине этого отрезка, будет иметь координаты

как показано на графике. То есть если, скажем, A = (1, 2), а B = (3, 4), центром отрезка AB является точка M = ((1 + 3)/2, (2 + 4)/2) = (2, 3).

За этим кроется один полезный факт о треугольниках. Начертите треугольник и соедините друг с другом центральные точки любых двух его сторон. Видите, что получается? Ответ кроется в следующей теореме.

Теорема о центральных точках треугольника: В треугольнике ABC линия между центральной точкой стороны AB и центральной точкой стороны BC будет параллельна стороне AC. Более того, при длине стороны AC, равной b, длина отрезка, соединяющего центральные точки двух других сторон, будет равна b/2.

Доказательство: Поместим треугольник ABC на плоскость так, чтобы точка A располагалась в координатах (0, 0), сторона AC была строго горизонтальной, а точка C, таким образом, имела координаты (b, 0), как показано на рисунке ниже. Обозначим координаты точки B как (x, y). Тогда центральная точка отрезка AB будет находиться в координатах (x/2, y/2), а центральная точка отрезка BC – в координатах ((x + b)/2, y/2). Так как у них одни и те же y-координаты, соединяющая их линия должна быть строго горизонтальна, то есть параллельна стороне AC. Более того, длина этой линии составит (x + b)/2 – x/2 = b/2, что и требовалось доказать.

Теорема о центральных точках треугольника поможет нам разгадать фокус, с которого начиналась эта глава: тогда мы взяли четырехугольник ABCD и соединили центральные точки его сторон так, что образовался еще один четырехугольник, EFGH, который оказался (и всегда окажется) параллелограммом. Давайте разберемся, почему так происходит. Диагональная линия, проведенная от вершины A к вершине C, образует два треугольника ABC и ADC (см. рисунок).

Применив теорему о центральных точках треугольника, мы обнаружим, что отрезок EF будет параллелен отрезку AC, который в свою очередь будет параллелен отрезку GH. Следовательно, EF будет параллельна GH. (Более того, EF и GH будут иметь одинаковую длину, равную половине AC.)

Проведем точно такую же диагональ из вершины B к вершине D и увидим, что FG и HE также параллельны и равны по длине. Следовательно, EFGH является параллелограммом.

Большинство из разобранных нами теорем связано с треугольниками, что ничуть не удивительно, ведь в геометрии этой фигуре уделяется много внимания. Кстати сказать, треугольник есть не что иное, как наипростейшая разновидность полигонов (многоугольников). Дальше идут четырехугольник (четырехсторонний полигон), пятиугольник (пятисторонний полигон) и так далее. Полигон, количество сторон которого равно n, иногда называется n-угольником. Мы уже доказывали, что сумма всех углов треугольника равна 180°. А что насчет остальных полигонов? Любой четырехугольник, будь то квадрат, прямоугольник или параллелограмм, имеет четыре стороны. В прямоугольнике, как явствует из его названия, все 4 угла являются прямыми, то есть равными 90°, а значит, составляют в сумме 360°.

Следующая наша теорема будет верна для любого четырехугольника.

Теорема: Сумма углов четырехугольника равна 360°.

Доказательство: Возьмем любой четырехугольник с вершинами A, B, C и D (вроде того, что изображен на рисунке). Из угла A в угол C проведем линию так, чтобы она разделила четырехугольник на 2 треугольника, сумма углов каждого из которых равна 180°. Следовательно, сумма углов четырехугольника составит 2 ? 180° = 360°

Чтобы проследить общую закономерность, разберем еще одну теорему.

Теорема: Сумма углов пятиугольника равна 540°.

Доказательство: Возьмем пятиугольник с вершинами A, B, C, D и E (вроде того, что изображен на рисунке). Линия, проведенная от вершины A к вершине C, разделит пятиугольник на четырех– и треугольник. Сумма углов треугольника ABC составляет 180° (это мы знаем уже давно), сумма углов четырехугольника ACDE – 360° (это мы доказали только что). Следовательно, сумма углов пятиугольника – 180° + 360° = 540°.

Этот алгоритм можно применять снова и снова, к любому полигону, вплоть до n-угольника.

Здесь отлично сработает метод индукции: для этого надо разделить наш n-угольник на n – 2 треугольников, поэтапно соединяя линиями вершину A со всеми остальными.

Теорема: сумма углов n-угольника равна 180(n – 2) градусам.

А теперь… просто следите за волшебной палочкой! Начертите восьмиугольник (восьмисторонний полигон) и поставьте внутри него 5 точек – где угодно. А теперь соедините их с вершинами углов и друг с другом так, чтобы у вас получались треугольники (именно треугольники – никаких других фигур). Процесс этот называется триангуляцией, и вот несколько его примеров. (Последний восьмиугольник я оставил пустым, чтобы вы могли проделать это сами.)

В обоих моих примерах восьмиугольники разбиты ровно на 16 треугольников. Столько же должно получиться у вас в третьем октагоне вне зависимости от того, где именно вы поставили 5 точек. (А если вдруг нет, значит, вы где-то ошиблись – в этом случае просто внимательно приглядитесь к каждой доле и убедитесь, что в ней ровно 3 точки, а не 4; если же их все-таки 4, проведите линию от одного угла доли к другому, чтобы разделить ее на два треугольника.) Объяснить это можно с помощью следующей теоремы.

Теорема: В процессе триангуляции n-сторонний полигон, имеющий внутри некое количество точек, равное p, будет разделен ровно на 2p + n – 2 треугольников.

В нашем предыдущем примере n = 8, а p = 5, поэтому треугольников получается 10 + 8 – 2 = 16.

Доказательство: Предположим, что в процессе триангуляции у нас получается количество треугольников, равное T. Мы можем доказать, что T = 2p + n – 2, решив одну арифметическую задачку двумя разными способами. Итак, внимание!

Вопрос: Чему будет равна сумма углов всех треугольников?

Ответ 1: Так как количество треугольников равно T, а сумма углов каждого из них – 180°, общая сумма составит 180T градусов.

Ответ 2: Разобьем задачу на две. Углы, прилежащие к каждой из внутренних точек (напомним, что их количество равно p), образуют окружность, следовательно, их общая сумма составит 360p градусов. С другой стороны, из предыдущей теоремы мы знаем, что сумма углов n-угольника равна 180(n – 2) градусам. Значит, всего получится 360p + 180(n – 2) градусов.

Из двух ответов составим уравнение

180T = 360p + 180(n – 2)

Разделим обе части на 180, что даст нам

T = 2p + n – 2

что и требовалось доказать.?