Умножение в уме

Вы не поверите, но для того, чтобы легко умножать в уме, хотя бы примерно, достаточно выучить обычную таблицу умножения. А потом – набить руку (не беспокойтесь, учить больше ничего не придется) в решении примеров, в которых однозначное число умножается на двузначное. И снова: главный трюк – считать слева направо. Умножая, например, 8 на 24, умножьте сначала 8 ? 20, а потом – 8 ? 4:

8 ? 24 = 8 ? 20 + 8 ? 4 = 160 + 32 = 192

Хорошо потренировавшись, переходите к перемножению одно– и трехзначных чисел. Это немного сложнее – просто потому, что чуть больше нужно держать в уме. Трюк в том, чтобы последовательно складывать промежуточные результаты и тем самым своевременно освобождать свою «оперативную» память. Например, при умножении 456 ? 7 вашим предпоследним действием должно быть сложение 2800 + 350, а последним – прибавление 42.

Следующий шаг по пути мастера – операции с двузначными числами. Как по мне, так здесь-то и начинается самое веселье, хотя бы потому, что способов, которыми можно достичь нужного результата, много и все они разные. Это значит, что вы можете проверить себя – и одновременно насладиться стройностью арифметических чудес. Рассмотрим всего один пример: 32 ? 38.

Самый популярный (и наиболее близкий к подсчету в столбик) метод – это метод сложения, безотказный в решении почти любой задачи. Он предлагает нам разбить одно из чисел (обычно то, которое состоит из меньших цифр) надвое, умножить каждую часть на второе число, а потом сложить результаты. Например,

32 ? 38 = (30 + 2) ? 38 = 30 ? 38 + 2 ? 38 =…

Как будем умножать 30 ? 38? Сначала умножим 3 ? 38, а в конце прибавим 0. То есть 3 ? 38 = 90 + 24 = 114, поэтому 30 ? 38 = 1140. А потом 2 ? 38 = 60 + 16 = 76. В итоге

32 ? 38 = 30 ? 38 + 2 ? 38 = 1140 + 76 = 1216

Другой способ решить наш пример (особенно если одно из наших чисел заканчивается на 7, 8 или 9) – использовать метод вычитания. Начать следует с того, что 38 = 40 – 2, а значит,

38 ? 32 = 40 ? 32 – 2 ? 32 = 1280 – 64 = 1216

Сложность обоих методов – как сложения, так и вычитания – заключается в том, что они заставляют вас постоянно держать в голове большие числа (вроде 1140 или 1280), одновременно делая другие вычисления. Не самая простая задача. Мне больше по душе метод разложения на сомножители, особенно полезный всякий раз, когда одно из имеющихся у нас чисел является произведением двух однозначных чисел. В нашем примере это 32 – произведение 8 и 4. Следовательно,

38 ? 32 = 38 ? 8 ? 4 = 304 ? 4 = 1216

Если же мы разложим 32 на 4 и 8, получим 38 ? 4 ? 8 = 152 ? 8 = 1216, но я лично предпочитаю умножать двузначное число сначала на больший сомножитель, а промежуточный результат (обычно трехзначный) – на меньший.

Отступление

Метод разложения отлично работает при умножении на 11 – хотя бы потому, что здесь есть один любопытный и при этом простой трюк: нужно просто сложить между собой цифры первого числа и поместить сумму в его середину. Для примера умножим 53 на 11: 5 + 3 = 8, значит, ответ будет 583. А вот 27 ? 11 ? 2 + 7 = 9, в итоге получаем 297. А если сумма больше 9, берем последнюю цифру результата сложения, а первую цифру исходного числа увеличиваем на единицу. Например, 48 ? 11 ? 4 + 8 = 12, значит, ответ будет 528. По аналогии: 74 ? 11 = 814. Этот трюк работает и при умножении на числа, кратные 11, например,

74 ? 33 = 74 ? 11 ? 3 = 814 ? 3 = 2442

Другой интересный метод – метод сближения. Его можно использовать, когда двузначные числа, которые вы перемножаете, начинаются с одной и той же цифры. Неискушенному наблюдателю он может показаться настоящим фокусом. Ведь разве можно просто взять и поверить, что

38 ? 32 = (30 ? 40) + (8 ? 2) = 1200 + 16 = 1216

Вычисления становятся элементарными, если последние цифры двух чисел дают в сумме 10 (как в нашем примере: оба числа начинаются с 3, а сумма их последних цифр – 8 и 2 – равна 10). Вот еще один пример:

83 ? 87 = (80 ? 90) + (3 ? 7) = 7200 + 21 = 7221

Но даже если вторые цифры не дадут в сумме 10, метод от этого не станет менее эффективным и эффектным, да и вычисления усложнятся не так уж и сильно. Чтобы умножить, например, 41 на 44, сначала надо уменьшить меньшее из них на единицу (чтобы работать с круглым числом 40) и, соответственно, увеличить на ту же единицу большее число:

41 ? 44 = (40 ? 45) +(1?4) = 1800 + 4 = 1804

Для 34 ? 37 отнимаем 4 у 34 (и остается 30) и отдаем их 37 (37 + 4 = 41), а потом прибавляем 4 ? 7:

34 ? 37 = (30 ? 41) + (4 ? 7) = 1230 + 28 = 1258

Кстати, помните загадочный пример с 104 ? 109? Там использовался тот же самый метод:

104 ? 109 = (100 ? 113) + (04 ? 09) = 11 300 + 36 = 11 336

В некоторых школах, кстати, учеников заставляют учить не привычную таблицу умножения, которая заканчивается 10, но расширенную до 20. Наш метод сводит эту необходимость на нет:

17 ? 18 = (10 ? 25) + (7 ? 8) = 250 + 56 = 306

Как же так получается, что эта штука работает, спросите вы? Чтобы разобраться, нужно обратиться к алгебре – этим мы займемся в главе 2. А алгебра даст нам еще больше способов счета. Например, ту же задачу можно будет решить еще и вот так:

18 ? 17 = (20 ? 15) + ((–2) ? (–3)) = 300 + 6 = 306

Кстати, о таблице умножения: взгляните на столбцы и ряды однозначных чисел чуть ниже (я же обещал вам это показать, помните?). Перед нами встанет тот же вопрос, который встал перед юным Гауссом: чему будет равняться сумма всех чисел таблицы умножения? Не торопитесь, подумайте: вдруг у вас получится найти ответ каким-нибудь волшебным, потрясающим воображение способом? Ну а свой способ я предложу вам в конце главы.