Не слишком интересное пари

Некий игрок в рулетку всегда ставит на четное или нечетное. Если он угадывает, то выигрывает столько же, сколько поставил; если ошибается, то теряет свою ставку. Он решает каждый раз ставить 1/10 от суммы, которая есть у него на руках. Если он начнет игру со 100 евро, сделает 10 ставок подряд, выиграв 5 раз и проиграв 3 раз, сколько денег у него останется — больше, меньше или столько же, сколько было вначале? Эту задачу можно обобщить для произвольной стартовой суммы, например, m евро и ставки в 1/n от суммы, которая находится на руках у игрока перед очередной ставкой.

Может показаться, что после 5 выигрышей и 5 проигрышей у игрока будет столько же денег, что и вначале. Однако это не так, и в действительности у него останется меньше денег. Выигрыш увеличивает сумму денег на 1/10, что равносильно умножению на 1,1. Проигрыш уменьшает сумму на 1/10, что равносильно умножению на 0,9. Поэтому после 5 выигрышей и 5 проигрышей (независимо от того, в каком порядке они происходили) имеем 100 * 1,1⁵ • 0,9⁵ = 100 • 1,61051 * 0,59049 = 100 • 0,95099 ? 95,099 евро. Игрок потеряет около 5 евро. Подобные рассуждения можно обобщить для произвольного случая. Тот факт, что итоговая сумма всегда будет меньше начальной, объясняется тем, что (1 + 1/n)(1 - 1/n) = 1 - 1/n², что всегда меньше 1. При умножении начальной суммы на число, меньшее 1, мы всегда получим меньшее число.

Карикатура XVIII века на игроков в «четное — нечетное». Эта игра — предшественник современной рулетки.