Рост компании

Некая компания занимается разработкой нового продукта и оценивает возможность его выхода на рынок в следующем году. Можно выпустить продукт ограниченной серией из-за опасений, что экономическая обстановка будет неудовлетворительной, либо выпустить продукт крупной серией в надежде на экономический рост. Ожидаемая прибыль (в тысячах евро) приведена в таблице:

Руководство компании считает, что экономическая обстановка определяется некоей смешанной стратегией. Какова оптимальная смешанная стратегия компании и ожидаемая прибыль?

Элементы матрицы позволяют увидеть, что не существует оптимальной чистой стратегии, так как седловая точка отсутствует (максиминное значение равно 300, минимаксное равно 500). Следовательно, нужно определить оптимальную смешанную стратегию.

Обозначим за р вероятность выпуска крупной серии, (1 — р) — малой серии, V — ожидаемый доход. При плохой экономической обстановке доход будет равняться

V = 500 (1 — р) + ЮОр, что равносильно V = 500 - 400р.

При хорошей экономической обстановке доход будет равняться

V = 300 (1 — р) + 900р, то есть V = 300 + 600р.

Решением этой системы уравнений является р = l/5, V = 420. Это означает, что если бы ситуация могла повториться несколько раз, то оптимальным вариантом было бы выпускать продукт крупной серией 1 раз из 5 случайным образом и 4 раза из 5 — малой серией, при этом средний ожидаемый доход составит 420 тысяч евро.

Средний доход можно было вычислить напрямую с помощью формулы V = (ad - bc) / (а + d - b - с), где a, b, с, d — элементы платежной матрицы (слева направо и сверху вниз). Для данной задачи получим (500 • 900 - 300 • 100)/(500 + 900 - 300 - 100) = 420000/1000 = 420, что очевидно совпадает с результатом, полученным выше из системы линейных уравнений.

С другой стороны, мы действовали так, как если бы экономическая обстановка определялась некоей смешанной стратегией. Аналогичные расчеты показывают, что вероятность хорошей экономической обстановки равна 2/5, следовательно, вероятность плохой экономической обстановки равна 3/5.