Игры для n игроков

Чтобы объяснить основные понятия, введенные фон Нейманом и Моргенштерном для подобных игр, и уяснить предложенное ими решение, рассмотрим упрощенный пример из экономики. Три компании А, Б и В имеют равную стоимость в 1 евро. Любая компания может образовать альянс с другой. При образовании альянса его стоимость увеличивается на 9 евро. Стоимость альянса двух компаний — 11 евро, трех компаний — 12 евро. Допустим, что все три компании равноценны во всех смыслах. Какой альянс будет выгоднее и как нужно будет распределить полученную выгоду?

Говорят, что эта игра записана в характеристической форме: стоимость игроков и их коалиций определена, образованная коалиция действует как новый игрок, заменяющий отдельных членов коалиции, следовательно, в этой ситуации можно применять методы, рассчитанные на игры для двух игроков. Предполагается, что коалиция стремится увеличить собственную выгоду. Как показано в прошлой главе, если игра имеет нулевую сумму, то увеличение выгоды альянса возможно только за счет уменьшения выигрыша оппонента. Также предположим, что после формирования альянсов игра является полностью конкурентной.

Проанализируем задачу. Без образования альянсов каждая компания остается в начальных условиях и стоимость каждой по-прежнему равна 1 евро. Если три компании образуют альянс (общая стоимость 12 евро), то, учитывая симметричность ситуации, равномерным распределением выгоды, которое устроит всех участников, будет передача каждой компании 4 евро. Это обозначается тройкой (4, 4, 4). Возможно распределить выгоду и по-другому, но сумма платежей всегда будет равна 12 евро. Если альянс образуют две компании, например Б и В, третья (А) получает всего 1 евро, другие две — в сумме 11 евро. Одно из возможных распределений выгоды — (1; 5,5; 5,5).Так как в этом случае выгода двух компаний выше, чем в предыдущем, этот вариант кажется более вероятным.

Однако решение (1; 5,5; 5,5), которое кажется наиболее вероятным, нестабильно, так как компания А, не вступившая в альянс, может сделать предложение, например, компании Б, и обе получат выгоду, например (5, 6, 1). Теперь может вмешаться компания Б, которая предложит компании А уменьшить ее платеж в рамках альянса. С новым предложением также может выступить компания В. Это может происходить бесконечно. Сложно найти какое-то справедливое распределение, которое можно было бы считать решением игры.

Анализ игры для n игроков, проведенный фон Нейманом и Моргенштерном, показывает, что единственного оптимального решения не существует. Однако из анализа видно, что не всякое распределение может являться частью решения, поэтому нужно определить множество распределений, которые составят решение игры.

Для этого необходимо ввести понятие доминирования. Предполагается, что в описываемой игре за каждым предложением образовать альянс и разделить выигрыш следует новое предложение, причем новое распределение платежей будет не произвольным, а более оптимальным, чем предыдущее. Это означает, что должно присутствовать множество игроков, которые смогут сформировать новую коалицию, и соответствующее распределение платежей, при котором игроки получат строго большую выгоду, чем в прошлой коалиции.

Определив нужные понятия, мы можем сформулировать требования к множеству распределений, составляющих решение. Таких условий два.

1. Ни над каким распределением платежей, являющимся частью решения, не может доминировать другое распределение, которое также является частью этого решения.

2. Над любым распределением, которое не является частью решения, должно доминировать распределение, являющееся частью решения.

Фон Нейман и Моргенштерн считают, что при этих условиях предложенное решение, во-первых, не содержит внутренних противоречий, во-вторых, соответствует социально приемлемому поведению. Описанный метод можно применять с некоторыми ограничениями: так, игроки в любой момент времени должны одновременно и свободно обмениваться информацией.