Парадокс дней рождения

Одна из элементарных задач теории вероятностей с очень удивительным результатом формулируется так. Какова вероятность того, что среди 25 человек найдутся двое, у которых день рождения приходится на один и тот же день? Учитывая, что в году 365 дней (не будем учитывать високосные), а в группе всего 25 человек, интуиция подсказывает, что итоговая вероятность будет невелика и в любом случае меньше 1/2. Однако расчеты с применением теории вероятностей показывают, что эта вероятность будет больше 1/2.

Так как в нашей группе может быть двое и более людей, дни рождения которых приходятся на один день, можно вычислить вероятность того, что все члены группы родились в разные дни. Для этого упорядочим членов группы: день рождения первого человека может приходиться на любой из 365 дней, второго — на любой из 364 оставшихся, третьего — на любой из 363 оставшихся и так далее. Следовательно, вероятность того, что все 25 человек родились в разные дни, равна

p(несовпадения дней рождений) = 365/365 • 364/365 • 363/365 • 341/365 = 365! / (340! • 365²⁵) = 0,4313.

Отсюда получим вероятность того, что дни рождения как минимум у двух человек совпадают: 1 - 0,4313 = 0,5687 > 1/2. В действительности эта вероятность будет превышать 1/2 уже для группы из 23 человек.