Кролики, орлы и решки

Определяющее свойство последовательности Фибоначчи – что каждое число в ней есть сумма двух предыдущих – было получено из чисто теоретического описания размножения кроликов. В этом определении ничто не намекало на то, что воображаемая закономерность кроличьей плодовитости найдет воплощение во множестве природных и культурных явлений. Однако еще маловероятнее было бы предположение о том, что эксперименты с основными свойствами самой этой последовательности проложат путь к пониманию математики неупорядоченных систем. Однако именно это произошло в 1999 году. Специалист по информатике Дивакар Вишванат, занимавший временную должность младшего научного сотрудника в Институте математических исследований в Беркли, отважился задать вопрос «А что, если», который неожиданно привел к открытию очередного «особенного» числа: 1,13198824…

Красота открытия Вишваната во многом объясняется простотой его главной идеи. Вишванат всего-навсего задался вопросом: что, если начать с двух чисел 1 и 1, как в изначальной последовательности Фибоначчи, но потом не просто складывать два числа и получать третье, а бросать монетку, чтобы решать, складывать их или вычитать последнее число из предпоследнего. Например, можно решить, что орел – это сложение, и тогда третье число будет 2, а решка – вычитание, и тогда третье число будет 0. Продолжим в том же духе – каждый раз будем бросать монетку, чтобы решить, прибавлять последнее число или отнимать, чтобы получить следующее. Например, при последовательности результатов бросков ОРРООРОРРО получится последовательность 1, 1, 2, –1, 3, 2, 5, –3, 2, –5, 7, 2. А если результаты бросков, что крайне маловероятно, будут ООООООООООООООООООО, у нас получится первоначальная последовательность Фибоначчи.

Члены последовательности Фибоначчи увеличиваются очень быстро, как степень золотого сечения. Вспомним, что семнадцатое число в последовательности, например, получается, если возвести золотое сечение в семнадцатую степень, поделить на квадратный корень из 5 и округлить результат до ближайшего целого числа (1597). А поскольку последовательности Вишваната генерируются при помощи совершенно случайной череды бросков монетки, вовсе не очевидно, что в результате получится плавная закономерность роста, даже если брать только модули чисел, игнорируя минусы. Однако, представьте себе, Вишванат обнаружил, что если брать только модули чисел, не обращая внимания на минусы, то значения чисел в его случайной последовательности все равно возрастали по строго предсказуемой, определенной закономерности. Оказалось, что с вероятностью почти 100 % сотый член любой такой последовательности всегда оказывается близок к сотой степени особого числа 1,13198824…, и чем дальше, тем ближе оказываются члены последовательности к соответствующей степени этого числа. Чтобы вычислить его, Вишванату пришлось применять фракталы и опереться на фундаментальную теорему, которую еще в начале 1960 годов сформулировали Гиллель Фюрстенберг из Еврейского университета в Иерусалиме и Гарри Кестен из Корнельского университета США. Эти математики доказали, что модуль достаточно далекого члена последовательности в целом классе случайно генерируемых последователей приближается к соответствующей степени некоего определенного числа. Однако Фюрстенберг и Кестен не знали, как вычислить это определенное число, а Вишванат придумал, как это сделать.

Значение трудов Вишваната заключается не только в открытии новой математической константы, что само по себе очень важно, но и в том факте, что она прекрасно показывает, как совершенно случайный процесс может привести к полностью детерминированному результату. Такого рода научные проблемы встречаются и во множестве природных явлений, и в электронных устройствах. Например, звезды вроде нашего Солнца вырабатывают энергию в ядерных «топках», находящихся в центре звезды. Однако чтобы мы увидели сияние звезд, нужно, чтобы огромное количество излучения – так называемых фотонов – пробилось из недр звезды к поверхности. Фотоны не просто пролетают звезду насквозь со скоростью света. Они мечутся туда-сюда, их рассеивают, поглощают и снова излучают атомы и электроны, составляющие газ на их пути, и все это вроде бы происходит случайно. Однако итог неизменен: проделав довольно-таки случайный путь, занимающий в случае Солнца примерно 10 миллионов лет, излучение все же покидает звезду. Мощность излучения с поверхности Солнца определяла и продолжает определять температуру на Земле и дала возможность зародиться жизни. Труды Вишваната и последующее изучение случайных последовательностей Фибоначчи прибавило к нашему математическому инвентарю дополнительные инструменты, объясняющие поведение неупорядоченных систем. Однако открытие Вишваната преподало нам и другой важный урок: даже тривиальная на первый взгляд математическая задачка, которой от роду восемьсот лет, все равно способна на новые сюрпризы.