Приложение 2

Мы хотим доказать, что диагональ и сторона правильного пятиугольника несоизмеримы, то есть у них нет общей меры.

Общий принцип доказательства по методу reductio ad absurdum приведен в конце главы 2.

Обозначим сторону правильного пятиугольника ABCDE как s₁, а диагональ – как d₁. Из свойств равнобедренных треугольников легко вывести, что AB = AH и HC = HJ. Теперь обозначим сторону меньшего правильного пятиугольника FGHIJ как s₂ и его диагональ как d₂. Очевидно, что

AC= AH + HC= AB + HJ.

Следовательно,

d₁ = s₁ + d₂ или d₁ – s₁ = d₂.

Если у d₁ и s₁есть какая-либо общая мера, значит, и d₁, и s₁представляют собой целое произведение этой общей меры. Следовательно, существует также общая мера d₁ – s₁, то есть d₂. Подобным же образом равенства

AG= HC= HJ

AH= AB

и

AH= AG+ GH

AB= HJ+ GH

дают нам

s₁ = d₂ + s₂

или

s₁ – d₂ = s₂.

Поскольку на основании нашего предположения общая мера для s₁ и d₁ представляет собой также общую меру для d₂, последнее равенство доказывает, что она же еще и общая мера для s₂. Поэтому мы обнаруживаем, что та единица, которая измеряет s₁ и d₁, измеряет также s₂ and d₂. Продолжать этот процесс можно до бесконечности, рассматривая правильные пятиугольники все меньшего и меньшего размера. Тогда мы получим, что та же единица, которая служит общей мерой стороны и диагонали первого правильного пятиугольника, служит общей мерой и для всех других пятиугольников, сколь бы крошечными они ни становились. Поскольку очевидно, что так быть не может, следовательно, наше первоначальное предположение, что у стороны и диагонали правильного пятиугольника есть общая мера, ложно, что и доказывает, что s₁ и d₁ несоизмеримы.