Может быть, Бог – математик?

…Я собираюсь исследовать человеческие пороки и глупости геометрическим путем… Таким образом, аффекты ненависти, гнева, зависти и т. д., рассматриваемые сами в себе, вытекают из той же необходимости и могущества природы… Итак, я буду трактовать о природе и силах аффектов и могуществе над ними души по тому же методу, следуя которому я трактовал в предыдущих частях о боге и душе, и буду рассматривать человеческие действия и влечения точно так же, как если бы вопрос шел о линиях, поверхностях и телах.

Барух Спиноза (1632–1677), «Этика» (пер. Н. Иванцова)

Складывая два и два, математик упорно получает четыре, как бы ни ныл любитель, что ему хочется три, и как бы ни вопил критик, что ему требуется пять.

Джеймс Макнил Уистлер (1834–1903)

Евклид дал определение золотому сечению, поскольку был заинтересован в применении этой несложной пропорции для построения правильного пятиугольника и пентаграммы. Если бы практическое применение золотого сечения этим и ограничивалось, я не стал бы писать эту книгу. Золотое сечение приносит нам столько радости и сегодня во многом потому, что не скупится на сюрпризы. Оказалось, что золотое сечение, с одной стороны, самая простая из непрерывных дробей (и при этом «самое иррациональное» из всех иррациональных чисел), а с другой – сущность бесконечного множества сложнейших природных явлений. Золотое сечение выскакивает, как чертик из табакерки, всякий раз, когда пересекается простое и сложное, Евклидова геометрия и геометрия фракталов.

Пожалуй, удовольствие от нежданных появлений золотого сечения на удивление близко к чувственному визуальному удовольствию от произведения искусства. А это заставляет задаться вопросом, какого рода эстетические критерии применимы в математике, а конкретнее – что, собственно, имел в виду знаменитый английский математик Годфри Гарольд Харди (1877–1947), когда сказал: «У математика, как и у поэта и у живописца, должны получаться красивые узоры».

Вопрос этот не из простых. Когда я рассказывал о психологических экспериментах, изучавших визуальную привлекательность золотого сечения, то умышленно избегал слова «красивый». Ту же линию поведения я изберу и здесь, поскольку определение красоты связано с неопределенностью. В какой степени глаз взирающего на математические выкладки воспринимает их красоту, прекрасно видно на примере истории, которую рассказали Филипп Дж. Дэвис и Реубен Херш в своей прекрасной книге «Опыт общения с математикой» (Philip J. Davis, Reuben Hersh. The Mathematical Experience, 1981).

В 1976 году делегация выдающихся математиков из США была приглашена в КНР, чтобы выступить с циклом лекций и провести ряд неофициальных встреч с китайскими математиками. Впоследствии делегация опубликовала доклад под названием «Чистая и прикладная математика в КНР». Под «чистой» математикой сами математики обычно подразумевают те области этой науки, которые, по крайней мере на сторонний взгляд, не имеют прямого отношения к миру вне разума ученого. В то же время нам следует понимать, что мозаики Пенроуза и случайные последовательности Фибоначчи, в частности, представляют собой два из великого множества примеров, когда «чистая» математика превращается в «прикладную». В докладе был приведен диалог между принстонским математиком Джозефом Дж. Коном и одним из китайских математиков, которые принимали делегацию. Диалог был о «красоте математики» и произошел в шанхайском университете Хуа Тун.

Кон: Неужели вы не должны демонстрировать красоту математики? Разве она не вдохновляет студентов? Остается ли место для красоты в науке?

Ответ: Главное требование – производительность.

Кон: Это не ответ.

Ответ: Геометрия была разработана в практических целях. Эволюция геометрии не могла удовлетворить нужды науки и технического прогресса, и в XVII веке Декарт открыл аналитическую геометрию. Он анализировал поршни и токарные станки и одновременно – принципы аналитической геометрии. Труды Ньютона обусловлены развитием промышленности. Ньютон сказал: «Основа любой теории – общественная практика». Общепринятой теории красоты не существует. Одним кажется красивым одно, другим – другое. Социалистическое строительство – это очень красиво, это вдохновляет наш народ. До Культурной революции некоторые из нас верили в красоту математики, однако не могли решить практических задач, а теперь мы имеем дело с газовыми и водопроводными трубами, с кабелями и прокатными станами. Мы делаем это на благо страны, и рабочие это ценят. Это чувство и есть настоящая красота.

Поскольку, как недвусмысленно заявлено в этом диалоге, едва ли существуют официальные, общепризнанные критерии красоты в математике и правила, согласно которым их следует применять, я и предпочту говорить лишь об одной конкретной составляющей математики, которая неизменно доставляет удовольствие как специалистам, так и неспециалистам: о способности изумлять.