Приложение 1

Мы хотим доказать, что для любых целых чисел p и q, таких, что p > q, три числа: p² – q²; 2pq; p² + q² формируют пифагорову тройку. Иначе говоря, нам надо доказать, что сумма квадратов первых двух чисел равна квадрату третьего.

Для этого мы обратимся к общим формулам сокращенного умножения, справедливым для любых a и b:

(a + b)² = (a + b) ? (a + b)= a² + ab + ba + b² = a² + 2ab +  b²

(a – b)² = (a – b) ? (a – b)= a² – ab – ba + b² = a² – 2ab – b².

На основании этих формул квадрат первого числа равен

(p² – q²)² = p⁴ – 2p²q² + q⁴.

Сумма первых двух квадратов равна

p⁴ – 2p²q² + q⁴ + 4p²q² = p⁴ + 2p²q² + q⁴.

Квадрат третьего числа равен

(p² + q²)² = p⁴ + 2p²q² + q⁴.

Итак, мы видим, что квадрат третьего числа равен сумме квадратов первых двух чисел независимо от значений p и q.