§ 55. Следствие предыдущего параграфа

Сейчас мы установили, что при равных проекциях наклонные равны. Отсюда вытекает важное свойство перпендикуляра, проведенного через середину стороны. А именно: если через середину С отрезка АВ (черт. 154) проведена перпендикулярно к нему прямая EF, то каждая точка этого перпендикуляра удалена от концов отрезка одинаково. Например, точка М одинаково отстоит от точек А и В. Это следует из того, что проекции ВС и АС наклонных MB и МА равны, – значит, равны и наклонные. Точно также равны расстояния NА и NB. Вообще

к а ж д а я т о ч к а п е р п е н д и к у л я р а, п р о в е д е н н о г о ч е р е з с е р е д и н у о т р е з к а, о д и н а к о в о

у д а л е н а о т к о н ц о в э т о г о о т р е з к а.

Другое следствие § 54 дает нам полезный признак равенства прямоугольных треугольников:

п р я м о у г о л ь н ы е т р е у г о л ь н и к и р а в н ы п о г и п о т е н у з е и к а т е т у.

Чтобы убедиться в этом, приложим друг к другу сравниваемые треугольники равными катетами (черт. 136). Тогда гипотенузы, как равные наклонные, должны иметь равные проекции, т. е. другие катеты этих треугольников должны быть равны. Значит, треугольники равны (ССС).

Повторительные вопросы к §§ 54–55

Покажите на чертеже, что называется наклонной линией, основанием перпендикуляра, основанием наклонной, проекцией. – Что длиннее: перпендикуляр или наклонная? – Что называется расстоянием от точки до прямой линии? – Каково соотношение между длиною наклонных в случае равенства проекций? – Каким свойством обладает прямая, проведенная перпендикулярно к отрезку через его середину? – Перечислите все известные вам признаки равенства прямоугольных треугольников.

Применения

62. Извилистый ручей протекает между двумя селениями. Как разыскать все места ручья, одинаково ударенные от обоих селений?

Р е ш е н и е. Соединив селения прямой линией, провешивают через ее середину перпендикуляр. Все точки пересечения этого перпендикуляра с ручьем и будут искомые.

63. Где надо поместить фонарь внутри треугольного участка, чтобы все углы «его были освещены одинаково?

Р е ш е н и е. Искомая точка должна быть одинаково удалена от всех вершин треугольника. Сначала найдем все те точки, которые одинаково отстоят от двух вершин: для этого проведем перпендикуляр через середину одной. стороны треугольника. Затем проведем перпендикуляр через середину другой стороны: на нем расположены все точки, равноудаленные от двух других вершин. Искомая точка лежит на пересечении обоих перпендикуляров.