§ 71. Соотношение между сторонами прямоугольного треугольника

Предварительные упражнения

1) В прямоугольном треугольнике ABCпроведена (черт. 206) высота BD. Какие углы в треугольниках АВD и АВС равны?

Какие углы равны в треугольниках BCDи АВС?

2) Покажите на черт. 206 все подобные треугольники.

До сих пор мы знали следующие два соотношения сторон в прямоугольном треугольнике: то, что сумма двух его сторон больше третьей (это верно и для всякого треугольника) и то, что гипотенуза длиннее каждого из катетов. Установим теперь третье соотношение, имеющее широкое применение, на практике. Оно состоит в том, что если возвысить длины катетов в квадрат и сложить полученные числа, то результат будет равен квадрату длины гипотенузы. Короче это можно высказать так:

с у м м а к в а д р а т о в к а т е т о в р а в н а к в а др а т у г и п о т е н у з ы.

Если, например, один катет равен 3 м, другой 4 м, то сумма их квадратов 32+ 42, т. е. 25, есть квадрат гипотенузы, и следовательно, длина гипотенузы – 5 метров.

Покажем, как убедиться, что указанное соотношение верно для всякого прямоугольного треугольника. Обозначим катеты прямоугольного треугольника (черт. 206) через а и с, гипотенузу – буквою b, а отрезки, на которые она делится, высотою – через р и д. Так как весь наш треугольник подобен треугольникам I и II (по каким признакам?), то

a/b = g/a и c/b = p/c

Следовательно:

a2= bq

c2= bp

Отсюда имеем:

a2+ c2= bq+ bp= (b+ q)b= bb= b2

Это равенство, a2+ c2= b2, и выражает соотношение, которое требовалось доказать.

Открытие установленного сейчас соотношения приписывается древнему математику Пифагору; отсюда название этого положения «т е о р е м а Пифагора». (Т е о р е м а м и в математике называются все те утверждения, истинность которых становится очевидной только после доказательства).

Применения

84. Есть ли прямой угол в треугольнике со сторонами 5 см, 12 см и 13 см?

Р е ш е н и е. Если этот треугольник прямоугольный, то самая длинная его сторона, 13 см, есть гипотенуза, а тогда между нею и катетами (5 см и 12 см) должно существовать соотношение:

52+ 122= 132= 169.

Так как 25 + 144 = 169, то требуемое соотношение между сторонами действительно существует, и значит в рассматриваемом треугольнике против стороны 13 см лежит прямой угол.

85. Найти гипотенузу треугольника, катеты которого 19 см и 40 см:

Р е ш е н и е.

86. Из гавани отплыл в северном направлении пароход со скоростью 18 морских миль в час. Одновременно из той же гавани отплыл другой пароход в западном направлении со скоростью 24 миль в час. Какое расстояние разделяло их через час?

Р е ш е н и е. Искомое расстояние есть гипотенуза треугольника, катеты которого равны 18 милям и 24 милям. По теореме Пифагора,

Пароходы будут отделены расстоянием в 30 миль.

87. Найти площадь равнобедренного треугольника, основание которого 15 м. Боковая сторона 19,5 м.

Р е ш е н и е. Высота, проведенная к основанию этого треугольника, вычисляется по теореме Пифагора; она равна

Поэтому искомая площадь = 1/2 15 • 18 = 135 кв. м.

88. Надо вырезать из листа жести равносторонней треугольник площадью 260 кв. см. Какой длины должна быть его сторона?

89. Каково соотношение между площадями квадратов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника (черт. 207).

Р е ш е н и е. Так как площади квадратов построенных на сторонах прямоугольного треугольника, выражаются квадратами этих сторон, то, по теореме Пифагора, сумма квадратов, построенных на катетах, равна квадрату, построенному гипотенузе.

Соотношение это существует, как легко понять, также между площадями кругов, построенных на сторонах прямоугольного треугольника.

90. Начертить круг, площадь которого равна сумме площадей двух данных; кругов.

Р е ш е н и е. Радиус искомого круга должен быть такой длины х, чтобы ?x2= xR2+ ?r2, где R и r– радиусы данных кругов. Сократив это уравнение на имеем: x2= R2+ r2. Отсюда ясно, что искомый радиус есть гипотенуза треугольника, катеты которого rи R.