§ 22. Как построить треугольник по стороне и двум углам

Рассмотрим, наконец, задачу, решение которой приводит к построению треугольника по стороне и двум углам:

На другом берегу реки (черт. 72) видна веха A. Требуется, не переправляясь через реку, узнать расстояние до нее от вехи В на этом берегу.

Поступим так. Отмерим от точки В по прямой линии какое-нибудь расстояние ВС и у концов его В и С измерим углы 1 и 2 (черт. 73). Если теперь на удобной местности отмерить расстояние DE, равное ВС, и построить у его концов углы а и b(черт. 74), равные углам 1 и 2, то в точке пересечения их сторон получим третью вершину Fтреугольника DEF. Легко убедиться, что треугольник DEFравен треугольнику АВС; действительно, если представим себе, что треугольник DEFналожен на ABCтак, что сторона DEсовпала с равной ей стороною ВС, то уг. а совпадет с углом 1, угол b – с углом 2, и сторона DFпойдет по стороне ВA, а сторона EFпо стороне СА. Так как две прямые могут пересечься только в одной точке, то и вершина Fдолжна совпасть с вершиной A. Значит, расстояние DFравно искомому расстоянию ВА.

Задача, как видим, имеет т о л ь к о о д н о решение. Вообще по стороне и двум углам, прилегающим к этой стороне, можно построить т о л ь к о о д и н треугольник; других треугольников с такою же стороною и такими же двумя углами, прилегающими к ней в тех же местах, быть не может. Все треугольники, имеющие по одной одинаковой стороне и по два одинаковых угла, прилегающих к ней в тех же местах, могут быть наложением приведены в полное совпадение. Значит, это признак, по которому можно установить полное равенство треугольников.

Вместе с прежде установленными признаками равенства треугольников, мы знаем теперь следующие три:

Т р е у г о л ь н и к и р а в н ы:

п о т р е м с т о р о н а м;

п о д в у м с т о р о н а м и у г л у м е ж д у н и м и;

п о с т о р о н е и д в у м у г л а м.

Эти три случая равенства треугольников мы будем в дальнейшем обозначать ради краткости так:

по трем сторонам: ССС;

по двум сторонам и углу между ними: СУС;

по стороне и двум углам: УСУ.

Применения

14. Чтобы узнать расстояние до точки Aна другом берегу реки от точки В на этом берегу (черт. 5), отмеряют по прямой линии какую-нибудь линию ВС, затем при точке В строят угол, равный AВС, по другую сторону ВС, а при точке С – таким же образом угол, равный АСВ. Расстояние точки Dпересечения сторон обеих сторон углов до точки В равно искомому расстоянию АВ. Почему?

Р е ш е н и е. Треугольники ABCи ВDС равны по одной стороне (ВС) и двум углам (уг. DCB= уг. АСВ; уг. DBC= уг. ABC.) Следовательно, АВ = ВD, как стороны, лежащие в равных треугольниках против равных углов.