История 1. История Энтони Хопкинса

История Хопкинса может быть обычным примером синхронии. Просто подумайте, во скольких местах побывала «Девушка с Петровки»? Подумайте, сколько людей могли подобрать эту книгу до того, как Хопкинс ее увидел? Подумайте, почему Хопкинс нашел книгу именно с таким названием, именно этот экземпляр, принадлежавший Джорджу Файферу? А теперь рассмотрите возможность того, что Хопкинс сидел рядом с книгой, но не заметил ее (схожая версия истории – возможно, лучшая версия): произошло бы ровно то же самое, но Хопкинс бы об этом ничего не узнал, как и мы с вами. Одна из причин того, что история настолько захватывающая, заключается в том, что она касается определенного человека, более того, знаменитой личности. История по любым меркам эффектна, в основном потому, что мы знаем человека, с которым она произошла. Но на самом ли деле история Хопкинса – настолько выдающееся совпадение? У нас есть такое ощущение, но откуда оно берется? Событие, может быть, и выдающееся, но есть ли у нас информация, которой можно подкрепить такое утверждение? Нет никаких конкретных цифр, чтобы оценить вероятность.

Да, история может быть синхронией. Но, чтобы пояснить разницу между синхронией и математическим правдоподобием, давайте рассмотрим кое-какие цифры: число книг, которые забывают на железнодорожных вокзалах, число книжных магазинов в центре Лондона и число людей, ежедневно приезжающих в центр в поисках определенной книги. История произошла в 1976 г. Это важно, поскольку тогда не было ни Интернета, ни Amazon, которые теперь так облегчают поиск книг. Раньше самым простым вариантом было позвонить в каждый из магазинов, сэкономив таким образом кучу времени на том, чтобы посещать их.

Чтобы проанализировать историю Хопкинса, надо принять во внимание, насколько огромен Лондон. В момент написания этой книги, в эру интернета, в Лондоне насчитывается 111 отдельных маленьких книжных магазинов. Чтобы удержаться на плаву, каждый из этих магазинов должен привлечь не менее 10 покупателей в день. По самым скромным подсчетам, все эти магазины вместе продают по меньшей мере 1000 книг в день. Более реалистичная оценка – около 3000. Одни приходят посмотреть, другие разыскивают конкретную книгу, которую намерены купить, а некоторые просто хотят спрятаться от дождя или убить время. Предположим, что каждый день только 100 покупателей заходят, чтобы купить конкретную книгу X.

Маловероятно, что кто-то из этих 100 человек найдет нужную книгу, сидя на скамейке в метро. Но давайте воспользуемся случаем и подумаем, сколько людей случайно оставляют книги в общественных местах, сколько просто бросают уже прочитанные книги в поездах и на станциях.

Если книга X обладает достаточной популярностью в момент своего первого релиза, за первый месяц будет продано не менее 1000 экземпляров. Какова дальнейшая судьба этих экземпляров? Одни окажутся непрочитанными и останутся у кого-то дома на книжной полке. Другие будут проданы в букинистические магазины, а некоторые окажутся забытыми в общественных местах.

Я предполагаю, что продажи «Девушки с Петровки» составили более 10 000 экземпляров. Это дает возможность с помощью закона больших чисел показать, что у события Хопкинса был шанс от небольшого до вполне разумного, по крайней мере если исходить из того, что событие должно было произойти с любым человеком. Как так? Пусть 10 книг были оставлены в общественных местах в Лондоне: на скамейках в парке, в кафе, в залах ожидания, в вестибюлях гостиниц и т. д. – вполне разумное предположение. Пусть N – число людей, приезжающих в Лондон в поисках одной из этих книг. Эти N человек, скорее всего, обратят внимание на книги, оставленные кем-то в общественных местах. Тогда вопрос будет звучать так: какова вероятность p того, что такой человек увидит книгу, которую ищет? Как получить p? К сожалению, в отличие от игральных костей или колоды карт, этот сценарий не очень хорошо подходит для вычисления p. Узнать точное значение p практически невозможно.

Однако существует одна возможность. Мы могли бы создать компьютерную модель, которая симулирует передвижения людей относительно предмета их поисков. Задача будет непростой из-за множества скрытых переменных, которые связывают мысли реальных людей и происходящие с ними события. Но такая модель дала бы нам численную аппроксимацию математической вероятности p – числа, которое пока что скрыто от нашего понимания. Способ попроще – создать умозрительную картину, которая основывается на нашем интуитивном понимании того, как ведут себя люди, когда блуждают по городским улицам в поисках чего-либо. Да, такой вариант способствует субъективному искажению картины, но также заставляет нас глубже рассмотреть проблему.

Оставим саму историю, касающуюся Энтони Хопкинса и Джорджа Файфера, и попробуем разобраться, насколько вероятно, что некто, приехав в центр Лондона в поисках определенной книги, находит ее в каком-либо публичном месте. Эта задача намного проще. Если мы находим эту вероятность и она оказывается очень малой, то мы знаем, что реальная история, касающаяся Хопкинса и Файфера, еще менее вероятна. Тогда мы сделаем то, что часто делают математики: найдем «оценку сверху»[17] для интересующих нас чисел – в данном случае вероятность того, что ищущий книгу благополучно ее найдет. Мы сделаем еще кое-что, часто проделываемое математиками: упростим задачу, чтобы уточнить ее суть, и выясним, что действительная задача, которой предстоит заняться позже, значительно более сложна.

Лондон – большой город с 60 000 улиц, более чем 3000 маленьких парков и скверов, 8 большими королевскими парками, 111 книжными магазинами и 276 станциями метрополитена, разбросанными по всему городу. Однако если мы на несколько мгновений вернемся к истории Хопкинса, то сможем ограничить область до вполне реалистичных цифр. Хопкинс сказал, что нашел книгу на станции метро недалеко от Гайд-парка. Файфер подтвердил, что отдал книгу другу, который потерял ее в районе Гайд-парка. Ближайшая к Гайд-парку станция метро – «Марбл Арч», от которой полчаса пешком практически по прямой через Вигмор-стрит до окрестностей Британского музея, а в этом районе Лондона в то время было больше всего книжных магазинов. Имеет смысл ограничить зону поиска, скажем, радиусом 3 км от Британского музея. В этом районе приблизительно тысяча улиц. Но многие из них очень короткие, книжных магазинов на них немного, к тому же мало кто пойдет искать книгу вдали от главных улиц. Кроме того, брошенные книги можно с большей вероятностью найти в более проходных местах, таких как станции метро, и местах досуга, например в парках.

Суть истории не в Энтони Хопкинсе, а в «Девушке с Петровки» – кто-то находит определенную книгу в определенный день в чрезвычайно неожиданном месте.

Потому представим, что N человек ходят от одного книжного магазина к другому в безнадежных поисках книг, за которыми они приехали. Ограничим зону их скитаний радиусом 3 км от Британского музея. Затем предположим, что 10 книг были оставлены в общественных местах в этом районе. Найдет ли случайно кто-либо из этих N человек именно ту книгу, за которой приехал, среди 10 брошенных книг? Скорее всего, нет, если N – малое число. Это очень грубый мысленный эксперимент, но не настолько грубый, как вы могли подумать, поскольку люди, ищущие книги в Лондоне, не выбирают совершенно случайные маршруты. Они, скорее, заметят брошенную книгу в необычном месте. Далее пусть N будет большим числом. Мы ожидаем, что за день k ? 10 брошенных книг будут замечены, а следовательно, мы можем аппроксимировать коэффициент успешности k/N. Другими словами, у нас будет k успешных испытаний на N попыток. Далее слабый закон больших чисел говорит, что коэффициент успешности испытаний – это вполне годная аппроксимация p при условии, что N достаточно велико. Тогда вопрос будет звучать так: какое N достаточно велико? Определенно, N = 10 000 даст нам достаточно хороший шанс, что k будет больше нуля. Никто не ждет, что в определенный день 10 000 человек станут бродить по улицам Лондона в поисках книг, даже при том, что население Большого Лондона составляет 8,6 млн человек. Однако если мы расширим временно?е ограничение до одного года и допустим, что по 100 человек ведут поиски каждый день, многие из них – не по одному разу, тогда N = 36 500. За два года N = 73 000. Если принять такое, более либеральное значение N, то шансы, что кто-то из этих 73 000 найдет книгу, которую ищет, будут недалеки от шансов один к одному. Но конечно, почему только 2 года? Почему не 10? И почему только Лондон? Мы можем взять все Соединенные Штаты с 22 500 книжными магазинами или даже весь мир. Замечательный закон больших чисел учит нас, что не стоит недооценивать размеры мира.

Это творческая модель, она всей истории не расскажет. Скрытые переменные повсюду. Люди, ищущие определенные книги, могут запросто находиться поблизости от предмета своих поисков, но так и не заметить этого. Кроме того, мы видим, что N должно быть громадным, куда больше, чем 73 000, чтобы кто-то из этих N человек подобрал именно ту книгу, которую искал. Так что вероятность такого события куда меньше, чем любое отношение k/N, какое мы можем вообразить.

Но слабый закон больших чисел говорит нам, что разница между p и k/N будет сколь угодно мала при условии, что N достаточно велико. Мы можем интуитивно догадаться, что при N = 73 000 (2 года поисков) k составит по меньшей мере 1, а затем мы смело предположим, что N достаточно велико, чтобы допустить, что P [|k/N – p| < 0,001] > 0,5. А это значит: существует шанс выше, чем 1 к 1, что вероятность того, что один человек найдет именно ту книгу, которую ищет, будет близка к 0,000014, а это дает нам шансы 71 427 к 1, т. е. очень близко к шансам получить стрит-флеш при игре в покер!

Все это означает, что верхний предел реальной вероятности не так уж безумно низок. Вероятность реальной истории, а именно того, что она произойдет с конкретным человеком, куда меньше. Иными словами, пусть у нас и нет определенной числовой вероятности того, что исходная история необычайно редка, есть, однако, понимание того, что подобные истории не столь исключительны.

Большой вопрос не в том, что Хопкинс нашел экземпляр «Девушки с Петровки», а в том, что это был экземпляр Файфера! Вот это действительно совпадение с непостижимо малым значением p. Только вот… Только вот Файфер сказал, что потерял свой экземпляр недалеко от того места, где он был впоследствии найден.