Глава 4 Каковы шансы?

Я обнаруживал «совпадения», настолько многозначительно связанные, что вероятность их «случайности» выражалась бы астрономической цифрой.

Карл Густав Юнг{35}

Совершенно невероятные истории о совпадениях неизменно заканчиваются вопросом: «Ну и каковы шансы, что нечто подобное может произойти?» Обычно вопрос является риторическим, поскольку на него в буквальном смысле сложно ответить. И хотя есть фундаментальные статистические методы и проверенные экспериментальные модели для изучения редких совпадений, у математиков все еще нет общей теории для данного предмета. Проблема заключается в самом определении слова. Все-таки «совпадение» предполагает событие без очевидной причины, включая случайности и чудеса. Что бы мы делали без веры в чудеса? Возможно, измерение вероятности совпадения – это оксюморон. Как мы можем узнать вероятность события, не имеющего видимой причины? Кто-то может утверждать, что выпадение двух шестерок на паре игральных костей не имеет видимой причины, за исключением сотни не поддающихся оценке переменных, которые определяют их движение, но тем не менее мы в состоянии оценить шансы против такого исхода как 35 к 1[6]. У нас имеются точные и столь необходимые для страховых компаний данные о шансе дожить до возраста x лет. Так что же мешает нам измерить вероятность чуда или того, что сбудется сон, в котором мы встретили таинственного незнакомца посреди переполненной людьми комнаты? Нам не всегда необходимо знать причину события для того, чтобы разобраться с измерением его вероятности. Мы не знали, почему курение вызывает рак, когда выяснили это с помощью оценки статистической вероятности возникновения болезни. Это произошло после Второй мировой войны, когда женщины, которые до войны не курили, пошли работать на заводы и в учреждения – и начали курить. Тут же подскочила заболеваемость раком, – и бинго! – мы предположили наличие корреляции и сложили два и два. Проблема со многими совпадениями заключается в гигантском числе переменных, которых мы можем не знать или быть не в состоянии вывести из статистической выборки. Совпадения непросто оценить с помощью методов количественного анализа; однако есть качественные основания для предположения о том, что они происходят чаще, чем мы ожидаем. Даже физики избегают количественных прогнозов, предпочитая качественные.

Размышляя о совпадениях, мы имеем в виду правдоподобие. Попробуйте рассказать историю о совпадении, и кто-нибудь непременно спросит: «Ну и каковы шансы того, что такое могло произойти?» Ответ почти всегда сводится к словосочетанию «довольно незначительные». Объяснить нам, что значит «довольно незначительные», или по крайней мере заставить задуматься – задача специалистов по теории вероятностей. Меру правдоподобности события в числовом выражении математики называют вероятностью. Она всегда находится в пределах от 0 до 1, где 0 означает невозможность, а 1 – абсолютную достоверность. Существует несколько способов ее измерения. Один – рассмотреть относительную частотность большой выборки. В принципе, вероятность события – это отношение двух чисел, каждое из которых можно определить, повторяя испытание и вычисляя долю случаев, когда событие произошло. По мере увеличения числа испытаний частота наступления события приближается к вероятности этого события. Второй способ измерения – посчитать логические возможности: брошенная правильная игральная кость может приземлиться только на одну из шести сторон. Нам нет необходимости бросать кости, чтобы узнать, что вероятность выбросить четное число составляет 1/2, или 50 %.

Если два события связаны таким образом, что оба не могут произойти одновременно ввиду некоего логического ограничения (например, невозможность вытянуть одновременно красную даму и даму пик при условии, что тянут только одну карту, из стандартной колоды в 52 карты), тогда вероятность наступления одного либо другого события – это сумма вероятностей каждого из событий. Другими словами, вероятность вытянуть красную даму или даму пик составляет 1/26 + 1/52 = 3/52.

Общий смысл следующий: предположим, что X обозначает исход испытания, а P (X) – вероятность наступления события. Тогда вероятность того, что событие не наступит, будет 1 – P (X). Например, если вы подбрасывали монетку, то P (орел) будет равняться 1/2, как и P (решка). Если бросают пару игральных костей, то P (4) = 1/12, а P (не 4) = 11/12[7]. Если X и Y – возможные взаимоисключающие исходы, то вероятность наступления события X и Y равна 0 и вероятность наступления X или Y равна P (X) + P (Y).

В качестве примера из жизни возьмем следующие события: первое – случайно встретиться с лучшим другом на Бора-Бора утром в следующий вторник; второе – случайно встретить двоюродного брата или сестру после полудня в тот же самый день в Рейкьявике. Первое имеет влияние на второе. Если вы не располагаете личным истребителем F-15, вы не можете случайно встретиться с лучшим другом на Бора-Бора и случайно встретиться с двоюродным братом или сестрой в Рейкьявике. Естественно, допущение обеих возможностей дает лучшие шансы. В случае с картами: можно вытянуть красную даму или (черную) даму пик. Если, с другой стороны, мы имеем ситуацию, где одно событие совершенно не зависит от другого, тогда вероятность того, что наступят оба, – это произведение вероятностей каждого из событий. Вероятность вытянуть красную даму, а затем, вернув ее в колоду, вытянуть даму пик будет 1/26 ? 1/52 = 1/1352.

Действительно, требование о том, чтобы наступили два заданных события, дает меньшие шансы. С другой стороны, вероятность вытянуть из колоды обе карты, не возвращая в колоду первую карту, немного осложняет задачу. Нам потребуется найти вероятность того, что одно событие наступит после другого: условная вероятность. Случай со сдачей двух карт из одной колоды поучителен. Если допустить, что сданную карту не возвращают в колоду, то вероятность вытянуть красную даму, а затем – даму пик составит 1/26 ? 1/51 = 1/1326. В момент сдачи второй карты в колоде не будет одной красной дамы или попросту одной карты. Таким образом, вероятность вытянуть даму пик на второй сдаче будет вероятностью вытянуть ее из колоды в 51 карту. Не возвращая карту в колоду, мы тем самым увеличиваем вероятность сдачи дамы пик. В данном случае важно то, что мы имеем дело с произведением двух чисел, оба из которых меньше единицы, а это означает, что полученная вероятность будет меньше вероятности каждого из событий. Для ясности отметим: мы условились, что дама пик была вытянута после красной дамы. Если бы условием была сдача любой из карт – дама пик вытянута первой по счету или второй, вероятность была бы больше. Мы рассматривали бы две вероятности: вероятность сдачи дамы пик, а затем красной дамы и вероятность сдачи красной дамы, а затем дамы пик.