Ответы и указания к задачам экзаменационного комплекта № 1

Билет № 1

3) 74°.

4) ?1/?2 = R2/R1.

Билет № 2

3) 94 см.

4) AB + BD + DC = 14 см.

Билет № 3

3) 12? см2.

4) Воспользоваться тем, что две крайние части средней линии трапеции равны половине верхнего основания.

Билет № 4

3) 4 и 6 см.

4) Если В1К1С – точки касания (К – точка касания окружностей), О1, О2 – центры окружностей, то сначала доказываем, что ?АО1К = ?АКO2, а затем, что ?ВАО1 = ?АO2С.

Билет № 5

3) 5 см (воспользоваться подобием ?DCE и ?АСЕ).

4) Воспользоваться теоремой Фалеса.

Билет № 6

3) Воспользуйтесь свойством параллельных прямых.

4) Учесть то, что треугольник разбивается на прямоугольник и два равнобедренных треугольника (значит, сторона прямоугольника равна катету малого треугольника). Периметр равен сумме катетов.

Билет № 7

3) 12 см (?BOF ~ ?AOD).

4) Докажите, что расстояния от точки пересечения диагоналей до сторон ромба равны.

Билет № 8

3) Докажите равенство углов DBA и ACF и воспользуйтесь признаком параллельности прямых.

4) Выразите по теореме Пифагора квадрат каждой стороны четырёхугольника через соответствующие отрезки диагоналей.

Билет № 9

3) 68°, 68° и 44°.

4) 4?3 см и 6?2 см.

Билет № 10

3) 4 (т. к. 180° (n – 2) = 360°).

4) Если АС = а, то AD = a/2, АВ = 2а, DB = 3a/2.

Билет № 11

3) 56 см.

4) В равностороннем треугольнике биссектрисы и медианы совпадают; воспользуйтесь свойством точки пересечения медиан.

Билет № 12

3) 66° и 66°.

4) По 60°.

Билет № 13

3) 8, 6 и 6 см.

4) 60° (угол DOG, больший 180°, равен 2 ? 150° = 300°).

Билет № 14

3) 13 см.

4) Стороны равностороннего треугольника – по 12 см, а равнобедренного – 12, 14 и 14 см.

Билет № 15

3) Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

4)

Билет № 16

3) Треугольники равны по двум сторонам и углу между ними.

4) 1:1:?3.

Билет № 17

3) 5 см (обозначьте АВ = ВС = a; AD = DC = в, BD = х и запишите систему уравнений).

4) 12 и 8 см (докажите равенство ?AMP и ?PNC, из которого следует, что АР = 12).

Билет № 18

3) 67°.

4) Воспользуйтесь тем, что внешний угол треугольника равен сумме двух внутренних, с ним не смежных.

Билет № 19

3) 25/2 см2.

4) 5 (т. к. сумма внешних углов равна 360°, то угол в правильном многоугольнике равен 468° – 360° = 108°. Далее: 180°(n – 2)/n = 108°; n = 5).

Билет № 20

3) Пусть АВ – общая хорда двух окружностей с центрами О1 и O2, ?О1АO2 = ?О1BO2 (по трем сторонам), значит, углы АO2О1 и O1O2B равны, а биссектриса в равнобедренном треугольнике является и высотой.

4) 16 (т. к. в трапецию вписана окружность, то сумма оснований – а она равна 8 – равна сумме боковых сторон).

Билет № 21

3) Увеличивается на 20? см.

4) Проведите диагонали в трапеции, рассмотрите средние линии полученных треугольников и учтите равенство боковых сторон трапеции.

Билет № 22

3) С(0; -6).

4) 20 см.

Билет № 23

3) Медиана в равнобедренном треугольнике является и серединным перпендикуляром.

4) Окружность (середины равных хорд окружности равноудалены от центра окружности).