2.5. Задачи на подобие

Два треугольника подобны: по двум углам, по двум сторонам и углу между ними, по трём сторонам. Очень важно в задаче увидеть подобные треугольники или другие подобные фигуры. Для этого нужна хорошая практика решения задач.

При решении задач на прямоугольный треугольник полезно знать, что высота, проведённая из прямого угла, делит его на два подобных треугольника (рис. 180):

?ABD ~ ?ADC ~ ?ABC.

Рис. 180.

Примеры решения задач

111. Через точки М и К, принадлежащие сторонам АВ и ВС треугольника ABC соответственно, проведена прямая МК, параллельная стороне АС. Найдите длину СК, если ВС = 12, МК = 8 и АС = 18 (рис. 181). (1)

Рис. 181.

Решение. Обозначим КС через х. Тогда ВК = 12 – х. Из подобия треугольников ABC и МВК следует: MK/BK = AC/BC; 8/(12 – x) = 18/12; x = 20/3.

Ответ: 20/3.

112. В прямоугольный равнобедренный треугольник вписан прямоугольник так, что угол прямоугольника совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на гипотенузе. Докажите, что периметр прямоугольника есть величина постоянная для данного треугольника (рис. 182). (1)

Рис. 182.

Решение. Пусть АВ = АС = а, DE = х; AD = у. Тогда DB = а – у; FC = а – х. Треугольник DEB подобен треугольнику FСЕ, значит, DE/DB = FC/FE; x/(a – y) = (a – x)/y; ху2= а2– ау – ах + ху; х + у = а; РADEF = 2(х + у) = 2а, т. е. не зависит от х и у.

113. В прямоугольном треугольнике ABC угол А – прямой. Опущена высота AD, равная ?5. Найдите произведение BD ? DC (рис. 183). (1)

Рис. 183.

Решение. Треугольники ADB и ADC подобны (?BAD = ?ACD, ?ABD = ?DAC). Значит, BD/AD = AD/DC; BD ? DC = AD2= (?5)2= 5.

Ответ: 5.

114. В треугольнике ABC проведены высоты AD и СЕ. Докажите, что треугольники ABC и DBE подобны. Чему равен коэффициент подобия (рис. 184)? (2)

Рис. 184.

Решение. Из прямоугольного треугольника ВСЕ: BE = ВС ? cos В. Из ?ABD: BD = АВ ? cos В. Значит, две стороны BD и BE треугольника BDE пропорциональны сторонам АВ и ВС треугольника ABC, а угол В (угол между пропорциональными сторонами) у треугольников общий. ?BDE ~ ?ABC по двум сторонам и углу между ними.

Значит,

Ответ: kподобия = cos B.

115. В равносторонний треугольник вписана окружность. Этой окружности и сторон треугольника касаются три малые окружности. Найдите сторону треугольника, если радиус малой окружности равен 1 (рис. 185). (2)

Рис. 185.

Решение. Так как в равностороннем треугольнике ABC угол ABC = 60°, то ?ОВМ = 30° (см. рис.). Из центров О и О1 проведем перпендикуляры ОМ и О1Т к стороне ВС. По условию О1Т и О1K равны 1. Длины отрезков ОМ и ОК обозначим через R. Из треугольника ВТО1 следует, что ВО1 = О1Т/sin 30° = 1/0,5 = 2. Треугольники ВТО1 и ВМО подобны по двум углам (?BTO1 = ?BMO = 90°; ?OBM – общий). Отсюда следует, что O1T/O1B = OM/OB;

Теперь мы знаем радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности. Осталось найти длину его стороны. Из треугольника ВОМ следует ВМ = OM ? ctg ?ОВМ = 3?3. Тогда ВС = 2ВМ = 6?3.

Ответ: 6?3.

116. Из одной точки к окружности проведены две касательные. Длина каждой касательной равна 12 см, а расстояние между точками касания 14,4 см. Определите радиус окружности (рис. 186). (2)

Рис. 186.

Решение. Пусть ОА и ОВ – касательные к окружности с центром С; А и В – точки касания. Тогда СВ ? ОВ, СА ? ОА. Кроме того, ОС ? АВ и делит эту сторону пополам. ОА = 12 см, AM = 1/2 АВ = 7,2 см.

?МОА = ?АОС (углы с взаимноперпендикулярными сторонами), значит, ?ОАС подобен ?ОАМ; тогда

Ответ: 9 см.

117. Центр О окружности радиуса длиной 3 лежит на гипотенузе АС прямоугольного треугольника ABC. Катеты треугольника касаются окружности. Найти площадь треугольника ABC, если известно, что длина отрезка ОС равна 5 (рис. 187). (3)

Рис. 187.

Решение. Пусть ABC – данный в условии задачи треугольник. Обозначим через M и N точки касания окружности соответственно со сторонами АВ и ВС. Соединив эти точки с центром О окружности, получим квадрат MBNO, и поэтому BN = ОМ = 3. Треугольник ONC прямоугольный, в нём ОС = 5, ON = 3. Следовательно,

Но тогда ВС = NC + NB = 7. Треугольники ONC и ABC подобны, поэтому AB/ON = BC/NC; AB/3 = 7/4; отсюда получаем, что AB = (ON ? BC)/NC = (3 ? 7)/4 = 21/4. Теперь находим S – площадь прямоугольного треугольника ABC:

Ответ: 147/8.

Задачи для самостоятельного решения

118. В равнобедренный треугольник вписан параллелограмм так, что угол параллелограмма совпадает с углом при вершине треугольника, а вершина противолежащего угла лежит на основании. Докажите, что периметр параллелограмма есть величина постоянная для данного треугольника. (1)

119. Из точки D, лежащей на катете АС прямоугольного треугольника ABC, на гипотенузу СВ опущен перпендикуляр DE. Найдите длину CD, если СВ = 15, АВ = 9, СЕ = 4. (1)

120. Точка на гипотенузе, равноудаленная от обоих катетов, делит гипотенузу на отрезки длиной 30 и 40 см. Найдите катеты треугольника. (1)

121. В параллелограмме ABCD проведена диагональ BD и отрезок AF (F ? ВС), пересекающий BD в точке О. Известно, что ВО = 6, OD = 18, FB = 4. Определите сторону параллелограмма AD. (1)

122. В острый угол, равный 60°, вписаны две окружности, извне касающиеся друг друга. Радиус меньшей окружности равен 1. Найдите радиус большей окружности. (1)

123. Найдите длину стороны квадрата, вписанного в равнобедренный треугольник с основанием а и боковой стороной b так, что две его вершины лежат на основании, а две другие вершины – на боковых сторонах. (2)

124. В параллелограмме ABCD точка М– середина стороны СВ, N – середина стороны CD. Докажите, что прямые AM и AN делят диагональ BD на три равные части. (2)

125. В трапеции, основания которой равны а и b, через точку пересечения диагоналей проведена прямая, параллельная основаниям. Найдите длину отрезка этой прямой, отсекаемого боковыми сторонами трапеции. (2)

126. В остроугольном треугольнике ABC из вершин А и С на стороны ВС и АВ опущены высоты АР и CQ. Известно, что площадь треугольника ABC равна 18, площадь треугольника BPQ равна 2, а длина отрезка PQ равна 2?2. Вычислите радиус окружности, описанной около треугольника ABC. (3)