Фактор Мандельброта

Но есть ли у нас основания предполагать такую простую пропорциональность? Если распределение озер хорошо моделируется с использованием математики безмасштабных сетей и соответствует распределению соединений, исходящих из каждой вершины, тогда нашу оценку можно считать обоснованной. Математика говорит, что если безмасштабная сеть оказывается хорошей моделью для распределения ширины озер, то так эту ширину и следует рассчитывать. Прямо сейчас мы можем не беспокоиться о том, действительно ли эта модель описывает распределение озер. Раз мы сами придумали Страну ста миллионов озер, просто договоримся, что так оно и есть.

Рассмотрим сеть знакомств. Предположим, каждый человек в такой сети имеет в среднем 150 знакомых. Сколько знакомых можно ожидать у человека, заведомо имеющего больше этого числа знакомств? Наше плавание к дальнему берегу озера соответствует в этом случае достижению конца списка знакомств такого человека. Таким образом, мы предполагаем, что в дополнение к уже известным нам 150 знакомым у него есть еще 150, а всего 300. А если мы знаем, что у кого-то больше 500 знакомых, можем предположить, что у него — или у нее — по меньшей мере еще 500.

Даже при использовании модели безмасштабной сети есть один параметр, который мы еще не учитывали: в случае личных отношений коэффициент пропорциональности может не быть равен 1, в отличие от примера с нашими воображаемыми озерами. Он может быть больше или меньше, смотря по тому, как именно мы построили распределение.

Возьмем другой пример: исследования показывают, что в сети знакомых, вступающих в сексуальную связь, — при учете лишь гетеросексуальных контактов, — этот коэффициент ближе к двум, а может быть, и немного больше. Правда, получение точных данных затрудняется тем фактом, что мужчины в среднем сообщают о семи половых партнерах, а женщины — всего о четырех. Это число должно быть одинаковым для обоих полов; вероятно, мужчины его преувеличивают, а женщины — преуменьшают. Также можно отметить, что в выборку были включены проститутки и «эротоманы», и это могло исказить результаты опроса — но лишь в ограниченной мере, так как по данным исследований большое различие в ответах порождается реальными когнитивными искажениями у обоих полов[97].

В любом случае установлено, что и для мужчин, и для женщин значение коэффициента составляет около 2. Следовательно, если мы знаем, что у некоторого человека было по меньшей мере четыре половых партнера, можно предположить, что их у него было еще восемь. Отметим, что это всего лишь ожидаемое значение; суммарное число действительно может быть равно четырем, но может достигать и десяти или более: утверждается просто, что среднее число дополнительных партнеров равно восьми. А если мы знаем, что у кого-то было не меньше десяти партнеров, то у этого человека (в среднем) их было приблизительно на двадцать больше. Интересно, что, если мы исключим из рассмотрения проституток и страдающих (или наслаждающихся) нимфоманией или сатириазом, коэффициент пропорциональности в сети партнеров, вступающих в сексуальную связь, падает приблизительно до 1.

Такие коэффициенты пропорциональности характерны для безмасштабных сетей и могут быть равны любому положительному числу. Назовем коэффициент пропорциональности для некоторой безмасштабной сети фактором Мандельброта этой сети. Таким образом, у любой безмасштабной сети есть фактор Мандельброта, и это число определяет основные характеристики этой сети. Математики обычно используют для описания сетей не коэффициенты пропорциональности, а степенные показатели, потому что с ними легче производить вычисления[98]. Но мы оставим свой коэффициент пропорциональности, чтобы не забираться в высшую математику.

Все это касается не только безмасштабных сетей, но и всех типов масштабной инвариантности — например, земель или озер. Чем выше фактор Мандельброта земельного участка или озера, тем большее расстояние нам предстоит преодолеть, чтобы добраться до его противоположного края, и мы должны быть к этому готовы.