Фракталы

В конце 1970-х годов Мандельброт работал в Исследовательском центре имени Томаса Джона Уотсона, входившем в состав компании IBM, и, следовательно, имел доступ к высокопроизводительным (по тем временам) средствам компьютерной графики. В 1980 году он написал программу для отображения объекта, представленного на илл. 18, который стал известен под названием множества Мандельброта. Это множество, а точнее его граница, определяется при помощи сравнительно простой формулы, и кривые, образующие эту границу, оказываются масштабно-инвариантными. В каком бы месте мы ни увеличили изображение, оно выглядит так же, как исходная фигура. Определить, с каким увеличением мы рассматриваем это множество, невозможно. В интернете можно найти очень эффектные анимации глубокого «погружения» в множество Мандельброта, в которых исходная форма снова и снова возникает по мере укрупнения масштаба, подтверждая самоподобие этого объекта[84].

Илл. 18. Множество Мандельброта (левое верхнее изображение) и последовательное (по часовой стрелке) увеличение центра фигуры. Каждое следующее увеличение производится с изменением масштаба в несколько миллиардов раз

Нечего и говорить, что границы множества Мандельброта — это не обычная кривая, подобная дуге окружности или даже какой-нибудь фантастически изогнутой линии. На самом деле это вообще не одномерная кривая. Однако она и не двумерна, потому что не покрывает никакого целого сегмента двумерной плоскости. Она простирается подобно клочковатому облаку. Если такой кривой потребуется присвоить размерность, та должна быть неким числом, находящимся между единицей и двойкой. Такая «дробная» (от англ. fraction — «дробь») размерность и побудила Мандельброта назвать множества этого типа фракталами[85].

В интернете можно найти множество изображений этих замечательных объектов, а также программ для их создания, и я горячо рекомендую читателю их исследовать. Хотя генераторам фракталов требуется всего несколько параметров, они создают необычайное богатство форм. Одно из представлений фрактала мы видели на илл. 8, а еще два показаны на илл. 19. Они созданы самым простым из возможных способов, с использованием только лишь фрактального генератора неспециализированного графического редактора Photoshop. При помощи генераторов фракталов можно обогащать изображения, делая их еще более зрелищными и выявляя скрытые в них регулярности и симметрии.

Илл. 19. Фракталы, сгенерированные в программе Photoshop

(Автор изображения — Вера Мерё)