Хаос тихий и хаос дикий

Масштабно-инвариантный мир хаотичен по самой своей природе, так что ему определенно нет места в Тихонии. Как мы видели, масштабная инвариантность бывает свойственна не только сетям, но и облакам, снежинкам, кротовым ходам, папоротнику, готической архитектуре, финансовым рынкам и многим другим природным и социальным явлениям. По сравнению с Тихонией масштабно-инвариантный мир хаотичен, непредсказуем и экстремален, даже в самой «тихой» своей форме, а именно в ситуациях, в которых фактор Мандельброта близок к 0. В то же время самые «дикие» формы масштабной инвариантности, с фактором Мандельброта, равным 2 или даже больше того, представляют собой сравнительно тихие формы Диконии. По меньшей мере в них действует некий руководящий принцип — масштабная инвариантность.

Масштабно-инвариантному миру присуща своего рода умеренная или тихая дикость: в нем уже не действуют законы Тихонии, но и полноценная дикость Диконии до некоторой степени сдерживается организующим принципом. Более того, и в этом тихо-диком мире есть части более тихие и более дикие. В более тихих частях фактор Мандельброта меньше 1, в то время как у более диких, в которых этот фактор больше 1, даже нет стандартного отклонения. Если фактор Мандельброта ? меньше 1, то, по мере того как мы исследуем связи некой вершины, потом — связи всех вершин, соединенных с первой, потом — связи каждой новой вершины и так далее, доля известных нам вершин растет и асимптотически приближается к 100 %. Чем меньше значение ?, тем быстрее наше знание о сети приближается к стопроцентному.

Если ? = 1, наше знание о данной вершине остается постоянным: доля неизвестных нам связей остается приблизительно неизменной, и число открытых новых вершин приблизительно равно числу вершин уже исследованных.

Если ? > 1, то чем больше связей какой-либо вершины мы исследуем, тем больше становится доля еще не исследованных вершин. Доля известных нам соединений падает и асимптотически приближается к 0 %, потому что у вершины обнаруживаются все новые и новые связанные вершины, по большей части нам неизвестные, причем быстрее, чем мы успеваем их исследовать. Чем больше значение ?, тем быстрее доля известного нам приближается к 0 %.

Фактор Мандельброта — очень изящная математическая концепция. Теоретически он представляет собой точную меру «дикости» той или иной сети. К сожалению, рассчитать этот фактор для каждой конкретной сети очень трудно, потому что это вычисление требует огромного объема данных, а в реально встречающихся сетях данные могут быть неточными и противоречивыми. Тем не менее некоторые исследователи берутся за решение этой задачи, и в нескольких недавних научных работах описываются попытки оценки фактора Мандельброта для безмасштабных сетей реального мира. В большинстве таких статей приводятся оценки какого-нибудь другого параметра сети, который можно использовать для определения фактора Мандельброта.

Некоторые из этих результатов представлены в верхней части таблицы 1 на с. 198. Поскольку реальные значения фактора Мандельброта невозможно привести с высокой точностью, я не даю никаких конкретных численных оценок. Вместо этого я разбил сети на три группы: те, у которых фактор Мандельброта существенно меньше 1 (слабо хаотичные), те, у которых он близок к 1 (пограничное состояние с точки зрения наличия или отсутствия стандартного отклонения), и те, у которых этот фактор существенно превышает 1 (следовательно, у них даже в теории не существует стандартного отклонения). Так как оценки приблизительны, принадлежность сетей к этим группам не следует считать абсолютно точной. Тем не менее эта таблица дает хорошее представление о степени дикости хаоса в различных областях.

В нижней части таблицы я перечислил несколько явлений, не относящихся к сетям, но имеющим приблизительно масштабно-инвариантное распределение, — как это было с озерами в начале этой главы. Эти примеры показывают, что масштабная инвариантность проявляется не только в структуре сетей и завораживающих геометрических свойствах фракталов, но и во многих других формах. Из таблицы можно увидеть, насколько хаотичными могут быть некоторые явления в биологии, социальных взаимодействиях, технике и экономике. Например, биологическая пищевая цепочка не относится к Тихонии, но тем не менее обладает очень слабой хаотичностью. Сеть сексуальных связей находится в противоположном конце спектра. Она даже более хаотична, чем могло бы предположить большинство людей, — хотя, если исключить из рассмотрения случаи проституции, а также сатириаза и нимфомании, оставшаяся сеть хорошо укладывается во вторую группу, что соответствует достаточно высокому уровню хаотичности.

Таблица 1. Порядок величины фактора Мандельброта для некоторых сетей и явлений

Возможно, покажется удивительным, что факторы Мандельброта природных и человеческих сетей часто близки к 1. Стоит отметить, что принцип Парето (или правило 80/20), который я описал в главе 5, справедлив при факторе Мандельброта, равном 1 (или чуть меньше). Следовательно, имеющиеся у нас сейчас результаты лишний раз подтверждают правило 80/20 и помогают определить область его действия.

Что касается случаев, в которых фактор Мандельброта больше 1, то несколько сетей и явлений, которые мы раньше считали — исходя из веских теоретических оснований — масштабно-инвариантными, оказываются в категории феноменов еще более экстремальных. Например, область человеческих талантов справедливо отнести не к умеренно дикому миру, но к миру истинно дикому, и для ее описания мы используем распределение Коши. Талант может проявляться множеством поразительно разных образов, и диапазон талантливости конкретных людей может быть на удивление широким.

Такого же рода дикость обнаруживается в списках адресатов электронной почты; они образуют сеть даже не масштабно-инвариантную, а еще более хаотичную. Это особенно интересно, потому что из нашей таблицы видно, что сам обмен сообщениями электронной почты оказывается безмасштабным, и его фактор Мандельброта не особенно велик. Гораздо более хаотичная сеть образуется за счет адресатов, с которыми мы на самом деле не переписываемся, но которые каким-то образом оказываются в нашей адресной книге. Эта более дикая сеть не фигурирует в таблице. В число других явлений, слишком диких для классификации в этой таблице, входят масштабы лесных пожаров и численность видов птиц в Америке. Дикость их распределений оказывается выше безмасштабного уровня[102].