Абсолютная симметрия из абсолютной асимметрии

Математики обобщили центральную предельную теорему и в другом направлении. Из-за симметричности доски Гальтона — на каждом уровне каждый шарик с равной вероятностью может отскочить вправо или влево — это математическое устройство трудно использовать в качестве модели в биологии. В мире живых существ действует естественный отбор, содействующий некоторым из генов — тем, которые обеспечивают бо?льшую вероятность выживания, — больше, чем другим. Чтобы ввести в нашу модель естественный отбор, можно, например, сказать, что отскок вправо вносит в выживание больший вклад, чем отскок влево.

Математики исследовали, что происходит при внесении в доску такой асимметрии. Предположим, что на каждом уровне шарик падает на маленький рычажок, который может наклониться влево или вправо, причем все такие рычажки вращаются влево — то есть против часовой стрелки, — как миниатюрные пропеллеры. В результате вероятность отскока шарика влево всегда будет выше, чем вероятность отскока вправо. Если пропеллеры вращаются очень быстро, шарик почти всегда будет отскакивать влево, а если они вращаются медленнее, то и вероятность отскока влево будет меньше.

На такой «небеспристрастной» доске распределение шариков по пазам уже не будет симметричным. Слева их окажется больше. Тем не менее, если доска достаточно высока и широка, распределение шариков снова будет приближаться к гауссову, но его пик окажется смещен на некоторое расстояние влево. Чем быстрее вращаются пропеллеры, тем левее оказывается пик. Центральная предельная теорема продолжает действовать и на доске со смещением.

Математика асимметричной доски демонстрирует еще одно интересное свойство нормального распределения. Гауссиана абсолютно симметрична, но ее симметрия может быть образована асимметричными компонентами. В Тихонии абсолютная асимметрия может порождать — и часто порождает — абсолютную симметрию.

Теперь я хочу забежать вперед и показать вам фрактал — он изображен на илл. 8. Мы будем изучать эти странные объекты в части III. Фрактал этот совершенно не симметричен, но создает стойкое ощущение регулярности. Я поместил здесь его изображение, потому что оно иллюстрирует фундаментальное различие между Тихонией и Диконией. В Тихонии даже полная асимметрия может порождать абсолютную симметрию. В Диконии же даже принцип абсолютной симметрии (которую называют масштабной инвариантностью или самоподобием) может приводить к асимметрии. Фигура, представленная на илл. 8, является результатом действия чрезвычайно глубокого вида регулярности, гораздо более сложного, чем обычная симметрия.

Илл. 8. Фрактал