Абстрактная игра с чистыми стратегиями

Проанализируем более подробно игры первого типа и посмотрим, что происходит при расширении платежной матрицы, то есть в случаях, когда для каждого игрока имеется больше двух возможных ходов.

Представим следующую игру для двух игроков: игрок А выбирает строку (F1, F2, F3), его соперник — столбец (Cl, С2, СЗ) из следующей платежной матрицы, при этом ни один из игроков не знает о выборе оппонента. Выбор игроков определит элемент матрицы (он находится на пересечении выбранных строки и столбца), который укажет, сколько евро должен заплатить второй игрок первому. Как должен действовать каждый игрок, чтобы увеличить свой выигрыш или уменьшить проигрыш?

Игрок А анализирует минимальные выигрыши в зависимости от совершенных ходов. Если он выберет F1, минимальный выигрыш равен -2, 2 для строки F2 и - 1 для строки F3. Наибольший из минимальных выигрышей (максиминное значение) равен 2. Если игра является определенной, нужно выбирать строку F2. Аналогично игрок Б анализирует наибольшие проигрыши в зависимости от совершенных ходов. Если он выберет С1, максимальный проигрыш равен 6, 7 — для столбца С2 и 2 — для столбца СЗ. Наименьший из максимальных проигрышей (минимаксное значение) равен 2. Если игра является определенной, нужно выбирать столбец СЗ.

Так как в этой игре максиминное и минимаксное значения совпадают и равны 2 евро, говорят, что игра является определенной, имеет цену 2 и имеет решение в чистых стратегиях: игрок А выберет F2, игрок Б — СЗ. Также говорят, что 2 является седловой точкой, или точкой равновесия (максимальное из минимальных значений совпадает с минимальным из максимальных).

Этот пример можно обобщить для этого же числа игроков, но дав им возможность выбора не из трех, а из n ходов. Таким образом, платежная матрица будет иметь размеры n ? n. Если для игры существует седловая точка, то говорят, что игра имеет точку равновесия, которой соответствует пара чистых стратегий (оптимальных для каждого игрока). Игра имеет стабильный результат, так как одностороннее изменение стратегии одним из игроков приведет к тому, что его результат станет хуже, соответственно, возрастет выигрыш оппонента.

ЯВЛЯЮТСЯ ЛИ ЭТИ ИГРЫ СТАБИЛЬНЫМИ?

Мы предлагаем читателю проанализировать матрицы следующих игр с нулевой суммой и определить, имеют ли они седловую точку.