Задача 3: раздача карт

В игре бридж каждому игроку раздается по 13 карт из колоды в 52 карты. Сколькими различными способами можно выдать игроку 13 карт?

В этом случае нужно подсчитать число различных групп по 13 карт, которые можно выбрать из 52 карт, при этом порядок расположения выбранных 13 карт неважен. Если бы порядок карт имел значение, то общее число раздач вычислялось бы так:

52 • 51 • 50 • ... (13 множителей)... * 42 - 41 - 40 = 3,95424 • 10²¹.

Но так как порядок карт в раздаче неважен, а каждую группу из 13 карт мы посчитали 13! раз (это число перестановок 13 элементов), число способов раздачи карт в бридже равно

(52 • 51 • ... • 41 • 40)/13! = 52!/(39! • 13!) = 635 013 559 600.

Обратите внимание, что результат выражается огромным числом. В первом случае полученное число имеет 22 цифры в своей записи, во втором (когда порядок неважен) мы получили число из 12 цифр. Это сопоставимо с возрастом Вселенной в 1,5 • 10¹⁰ лет или примерно 4,7 • 10¹⁷ секунд. Таким образом, первое число (3,9 • 10²¹) более чем в 8000 раз превышает число секунд, прошедших с момента Большого взрыва, а второе число (6,3 • 10¹¹) в 42 раза больше возраста Вселенной в годах.

На языке математики результат этой задачи именуется числом сочетаний из 52 элементов по 13, которое обозначается С_12,13. Как мы уже видели, это сочетание рассчитывается по формуле: 52!/(39! • 13!). Общая формула для вычисления количества сочетаний из m по n (очевидно, что n < m):

С_m,n = m! / (m— n)! • n!