Бросаем монету

Преподаватель математики предложил студентам бросить монету много раз, например 150, и записать результаты, обозначив орел за 1 и решку за 0. Двое его учеников получили такие результаты:

Роман:

01011001100101011011010001110001101101010110010001

01010011100110101100101100101100100101110110011011

01010010110010101100010011010110011101110101100011.

Борис:

10011101111010011100100111001000111011111101010101

11100001010001010010000010001100010100000000011001

00001001111100001101010010010011111101001100011010.

Преподаватель изучил результаты и заметил, что что-то не так. Один из учеников провел эксперимент верно, но другой посчитал, что бросать монету необязательно и достаточно просто записать произвольную последовательность нулей и единиц. Увы, но он недостаточно хорошо изучил теорию вероятностей, и преподаватель быстро определил того, кто сжульничал. Кто из двух учеников не бросал монету?

Равномерное распределение нулей и единиц в результатах Романа заставило преподавателя подозревать, что сжульничал именно он. Так, если сравнить распределение нулей и единиц в результатах Романа и Бориса, то мы увидим, что результаты похожи и «правдоподобны» (78 против 72 у первого из учеников, 70 против 80 у второго). Однако в результатах Бориса присутствуют последовательности из четырех, пяти и даже девяти одинаковых чисел подряд, а в результатах Романа последовательности из единиц или нулей очень коротки (максимум три единицы или нуля подряд). Именно это и наводит на подозрения.

Проанализируем этот факт с точки зрения условной вероятности. Учитывая, что каждый бросок монеты никак не зависит от предыдущих, после каждого результата единицы и нули должны появляться примерно с одинаковой частотой. Видим, что в результатах Романа после одной единицы снова единица встречается 47 раз, ноль — 30 раз. После двух единиц подряд единица встречается всего 5 раз, в то время как ноль — 18. После каждой из 5 последовательностей из трех единиц всегда находится ноль. Подобную картину мы наблюдаем только в результатах Романа. В результатах Бориса все иначе: например, после двух единиц подряд снова единица встречается 18 раз, ноль — 14 раз; после трех единиц подряд 9 раз встречается единица и 9 раз — ноль. Следовательно, представление Романа о том, что в распределении нулей и единиц не должно быть «длинных» участков, состоящих только из нулей или только из единиц, и позволило преподавателю определить жульничество.

В следующей задаче обсуждение того, как информация о предыдущих событиях влияет (или не влияет) на вероятность последующих, еще интереснее. Игра, о которой мы сейчас расскажем, является адаптацией классической дилеммы заключенного и показывает, насколько сложно рассчитать, как именно определенная информация влияет на вероятность.