Игра в кегли

Два друга, Иван и Николай, любители игры в петанк, на тренировках играют в такую игру: Иван берет два шара, Николай — один, они ставят кеглю на определенном расстоянии и бросают шары. Если их уровень игры одинаков, какова вероятность того, что ближе всего к кегле подкатится один из шаров, брошенных Иваном?

Кажется, что ответ — 2/3, так как единственный шар, брошенный Николаем, может быть ближе всего к кегле, а также на втором или на третьем месте. В двух последних случаях ближе всего к кегле подкатится один из шаров, брошенных Иваном. Однако можно рассуждать иначе и представить четыре возможных случая:

1. Оба шара, брошенных Иваном, находятся ближе к кегле, чем шар Николая.

2. Оба шара, брошенных Иваном, находятся дальше от кегли, чем шар Николая.

3. Первый шар Ивана окажется ближе, второй — дальше, чем шар Николая.

4. Первый шар Ивана окажется дальше, второй — ближе, чем шар Николая.

В этом случае Николай выигрывает всего один раз из четырех, поэтому вероятность победы Ивана равна 3/4. Какое из двух рассуждений неверно? Почему?

Верным является первое рассуждение. На самом деле, если мы не пометим шары, существует лишь три возможных случая, а если мы нанесем на шары какие-то отметки, число возможных случаев будет равно шести, и в четырех из них ближе всего к кегле окажется один из шаров, брошенных Иваном. Второй способ рассуждения неверен, поскольку мы подсчитываем два раза лишь один случай (шар Николая оказывается в середине), считая шары Ивана помеченными, но в остальных двух случаях мы считаем шары непомеченными и учитываем эти случаи только один раз, а не два.