Упражнения с решениями

S1. Предположим, 400 человек выбирают между действиями X и Y. Относительные выигрыши от этих двух действий зависят от того, сколько из 400 человек выберет действие X и сколько — действие Y. Эти выигрыши отображены на представленном ниже графике, но вертикальная ось не обозначена, а значит, вам неизвестно, что именно показывают эти линии — выигрыши или издержки, связанные с этими двумя действиями.

a) Вам сообщают, что исход, при котором 200 человек выберут действие X, — это неустойчивое равновесие. Если 100 человек уже выбрали действие X, то увеличится или уменьшится со временем количество людей, выбирающих действие X? Почему?

b) Для того чтобы график соответствовал поведению, описанному вами в пункте a, должны ли представленные на нем линии быть обозначены как издержки или выгоды от действий X и Y? Обоснуйте свой ответ.

S2. Группа состоит из 100 членов, каждый из которых выбирает, участвовать ли ему в общем проекте. Если n человек решат участвовать, то каждый получит выгоду p(n) = n, а каждый из (100 — n) уклонившихся получит выгоду s(n) = 4 + 3n.

a) Это пример дилеммы заключенных, игры в труса или игры в доверие?

b) Составьте формулу для определения общей выгоды группы.

c) Покажите в графическом либо в математическом виде, что группа получит максимальную общую выгоду при n = 74.

d) Какие трудности возникнут при попытке привлечь к реализации проекта ровно 74 члена группы и позволить остальным 26 членам группы отказаться от него?

e) Как группа может попытаться преодолеть эти трудности?

S3. Рассмотрим небольшой географический регион с общей численностью населения 1 миллион человек. Каждый человек может выбрать, в каком из двух городов жить, Альфавилле или Бетавилле. Какое-то время преимущества проживания в том или ином городе для каждого человека возрастают по мере роста размера города (в крупных городах более развитая инфраструктура и т. д.), но после какого-то момента начинают уменьшаться (в связи с дорожными заторами и т. п.). Если x — доля людей, которые живут в том же городе, что и вы, ваш выигрыш определяется следующими условиями:

x, если 0 ? x ? 0,4,

0,6–0,5x, если 0,4 < x ? 1.

a) Постройте такой же график, как на рис. 11.11, показывающий преимущества проживания в двух городах, когда доля жителей одного города по сравнению с другим непрерывно меняется от 0 до 1.

b) Равновесие достигается, либо когда оба города населены и их обитатели получают равные выигрыши, либо когда один город (например, Бетавилль) полностью обезлюдел, а жители другого (Альфавилля) получают более высокий выигрыш, чем первый человек, решивший поселиться в Бетавилле. С помощью построенного графика найдите все равновесия Нэша.

c) Теперь рассмотрите динамику процесса адаптации к изменившимся условиям, когда люди постепенно переезжают в город, жители которого уже получают более высокий выигрыш, чем обитатели другого города. Какие из равновесий, найденных в пункте b, сохранят свою устойчивость при такой динамике? Какие окажутся неустойчивыми?

S4. Допустим, в городе с населением 100 человек строится парк развлечений. Для покрытия затрат на строительство необходимы добровольные пожертвования. Каждого жителя просят внести 100 долларов. Чем больше людей внесут свой вклад в строительство парка, тем крупнее он будет и тем больше польза для каждого горожанина. При этом невозможно не допустить в парк тех жителей города, которые не внесли вклад в его создание: они получат свою долю выгоды в любом случае. Предположим, что, когда из всех жителей города n внесут вклад (n может быть любым целым числом от 0 до 100), выгода каждого жителя в денежных единицах составит n² долларов.

a) Допустим, сначала никто не вносит вклад. Будучи мэром города, вы хотели бы, чтобы все горожане сделали пожертвование, и можете уговорить некоторых из них. Какое минимальное количество жителей города вам нужно убедить, чтобы остальные добровольно присоединились к проекту?

b) Найдите равновесия Нэша в игре, в которой каждый житель города решает, вносить ли ему вклад в создание парка.

S5. Используйте идею кейнсианской безработицы, описанную в разделе 3.Г, в игре с соответствующими характеристиками и покажите множество равновесий в игре на графике. Отобразите уровень производства (национальный продукт) на вертикальной оси как функцию уровня спроса (национального дохода) на горизонтальной оси. Равновесие достигается, когда национальный продукт равен национальному доходу, то есть когда функция этих двух показателей пересекает линию под углом 45 градусов. При каких формах этой функции возможно множество равновесий? Почему вероятно существование таких форм в реальности? Предположим, доход увеличивается, когда текущий объем производства превышает текущий доход, и снижается, когда текущий объем производства меньше текущего дохода. Какие равновесия устойчивы и какие неустойчивы при таком динамическом процессе?

S6. Составьте краткое описание стратегической игры со многими участниками, свидетелем или участником которой вы были и в которой выигрыши отдельных игроков зависели от количества других игроков и их действий. Попытайтесь проиллюстрировать ее с помощью графика, если это возможно. Опишите исход реальной игры в свете того, что многие подобные игры приводят к неэффективным исходам. Вы видите признаки такого исхода в вашей игре?