Резюме

Игры с нулевой суммой, в которых один игрок предпочитает совмещение действий, а другой наоборот, зачастую не имеют равновесия Нэша в чистых стратегиях. В таких играх каждый игрок стремится действовать непредсказуемо и поэтому использует смешанную стратегию с определенным распределением вероятностей на своем множестве чистых стратегий. Вероятности применения чистых стратегий в смешанной стратегии каждого игрока вычисляются с помощью свойства безразличия соперника, которое гласит, что в игре против равновесной смешанной стратегии данного игрока соперник должен получать равные ожидаемые выигрыши от всех своих чистых стратегий. Графики кривых наилучших ответов можно использовать для отображения всех равновесий в смешанных стратегиях (а также в чистых стратегиях) той или иной игры.

В играх с ненулевой суммой также могут присутствовать равновесия в смешанных стратегиях, которые можно рассчитать на основании свойства безразличия соперника и проиллюстрировать с помощью кривых наилучших ответов. Но мотивация к поддержанию безразличия соперника в этих играх слабее или отсутствует вообще, поэтому такие равновесия менее привлекательны для игроков и обычно неустойчивы.

Смешанные стратегии — это частный случай непрерывных стратегий, но им свойственны дополнительные аспекты, заслуживающие специального изучения. Равновесия в смешанных стратегиях можно интерпретировать как исходы игры, в которых каждый игрок имеет правильные убеждения в отношении вероятностей, с которыми другой игрок выбирает среди своих базовых чистых стратегий. Кроме того, при изменении выигрышей игроков равновесия в смешанных стратегиях могут иметь ряд свойств, противоречащих здравому смыслу.

Если в распоряжении одного игрока три стратегии, а другого — только две, первый, как правило, использует в равновесной смешанной стратегии всего две чистые стратегии. Если у обоих игроков по три (или более) чистые стратегии, в равновесных комбинациях стратегий может быть указана положительная вероятность применения их всех или только их подмножества. Все стратегии, активно используемые в смешанной стратегии, обеспечивают игроку равный ожидаемый выигрыш в игре против равновесной смешанной стратегии соперника; все неиспользованные стратегии гарантируют более низкий ожидаемый выигрыш. В крупных играх такого рода бывают случаи, когда равновесная комбинация стратегий остается неопределенной.

При применении смешанных стратегий игрокам нельзя забывать, что их система рандомизации ни в коем случае не должна быть предсказуемой. Крайне важно избегать чрезмерного чередования действий. Лабораторные эксперименты обеспечивают только слабую поддержку применения смешанных стратегий. Тем не менее равновесия в смешанных стратегиях позволяют получить достоверные прогнозы во многих играх с нулевой суммой с участием опытных профессиональных спортсменов.