Упражнения с решениями
S1. Компании, предоставляющие клиентам страховую защиту на случай убытков в связи с грабежом или аварией, вне всяких сомнений, заинтересованы в надлежащем поведении держателей страховых полисов. Предложите несколько идей для разработки системы стимулирования, которую могла бы использовать страховая компания для предотвращения и обнаружения мошенничества или неосторожного поведения со стороны держателей полисов.
S2. Некоторые компании продают свои продукты либо по отдельности, либо в наборах, чтобы увеличить прибыль посредством разделения клиентов с разным предпочтениями.
a) Приведите три примера оптовых скидок в зависимости от количества купленного товара, предлагаемых компаниями.
b) Как такие скидки позволяют компаниям выполнить скрининг клиентов для выяснения их предпочтений?
S3. Компания Omniscient Wireless Limited (OWL) планирует развернуть новую национальную беспроводную телефонную сеть широкополосного доступа в следующем месяце. OWL провела маркетинговое исследование, по результатам которого было установлено, что 10 миллионов ее потенциальных клиентов разделены на два сегмента, которые в компании назвали так: «нерегулярные пользователи» и «регулярные пользователи». Среди первых более низкий спрос на услуги беспроводной телефонной связи, в частности они вряд ли смогут создать для компании ценность, превышающую 300 минут звонков в месяц. Вторые испытывают более высокую потребность в услугах беспроводной телефонной связи и могут создать для компании ценность, превышающую 300 минут звонков в месяц. Аналитики OWL определили, что лучше всего предложить клиентам такие тарифные планы: 300 минут и 600 минут в месяц соответственно. По их оценкам, 50 % клиентов относятся к сегменту нерегулярных пользователей и 50 % — к сегменту регулярных пользователей, причем каждому типу свойственна следующая готовность платить за каждый тип услуг:
Затратами OWL на одну дополнительную минуту беспроводной связи можно пренебречь, поэтому абонплата составляет 10 долларов в месяц на одного пользователя, какой бы тарифный план он ни выбрал.
Каждый потенциальный клиент вычисляет чистый выигрыш (выгода минус цена), который он получит от каждого тарифного плана, и выбирает план, обеспечивающий более высокий чистый выигрыш, если он не является отрицательным. Если оба плана обеспечивают клиенту эквивалентные неотрицательные чистые выигрыши, он выбирает 600 минут; если оба плана приносят клиенту отрицательные чистые выигрыши, он не покупает ни один из них. Компании OWL необходимо максимизировать свою ожидаемую прибыль на одного потенциального клиента.
a) Предположим, компания предлагает пользователям тарифный план на 300, а не на 600 минут. Какую оптимальную цену следует назначить, и какую среднюю прибыль на одного потенциального клиента получит при этом OWL?
b) Допустим, компания предлагает пользователям тарифный план на 600 минут. Какую оптимальную цену следует назначить, и какую среднюю прибыль на одного потенциального клиента получит при этом OWL?
c) Предположим, компания решила предложить оба тарифных плана, причем ей выгодно, чтобы нерегулярные пользователи покупали тарифный план 300 минут, а регулярные пользователи — 600 минут. Составьте ограничение совместимости стимулов для нерегулярного пользователя.
d) Аналогичным образом составьте ограничение совместимости стимулов для регулярного пользователя.
e) Используя результаты, полученные в пунктах c и d, вычислите оптимальные цены на тарифные планы 300 и 600 минут, чтобы каждый пользователь покупал предназначенный для него тарифный план. Какой будет прибыль компании на одного потенциального клиента?
f) Проанализируйте исходы, описанные в пунктах а, b и e. В каждой из трех ситуаций определите, является ли соответствующий исход разделяющим, объединяющим или полуразделяющим.
S4. Mictel Corporation обладает мировой монополией на производство персональных компьютеров. Компания может выпускать компьютеры двух типов: с низкой производительностью и с высокой производительностью. Пятая часть потенциальных покупателей пользуются компьютерами только время от времени, тогда как остальные постоянно.
Затраты на производство двух типов ПК, а также выгода, которую они приносят двум типам потенциальных покупателей, представлены в следующей таблице (все данные отображены в тысячах долларов):
Каждый тип покупателей рассчитывает свой чистый выигрыш (выгода минус цена), который он получил бы в случае покупки компьютера каждого типа, и покупает ПК, обеспечивающий более высокий чистый выигрыш, если он не отрицательный. Если оба типа компьютеров обеспечивают эквивалентные неотрицательные выигрыши, покупатель выбирает высокопроизводительный компьютер; если оба типа приносят отрицательные чистые выигрыши, он вообще ничего не покупает. Компании Mictel необходимо максимизировать свою ожидаемую прибыль.
a) Если бы Mictel располагала всей полнотой информации, то, зная тип потенциального клиента, она могла бы предлагать ему только один вид компьютера по установленной цене, придерживаясь принципа «хотите берите, хотите нет». Какой компьютер и по какой цене компания предложила бы каждому типу покупателей?
На самом деле компании Mictel неизвестен тип каждого отдельно взятого покупателя, поэтому она составляет каталог, из которого все покупатели могут выбирать компьютеры.
b) Сначала предположим, что компания выпускает только компьютеры с низкой производительностью и продает их по цене x. Какое значение x обеспечит Mictel максимальную прибыль? Почему?
c) Теперь допустим, что компания выпускает только компьютеры с высокой производительностью и продает их по цене y. Какое значение y обеспечит Mictel максимальную прибыль? Почему?
d) И наконец, предположим, что компания выпускает оба типа компьютеров, продавая ПК с низкой производительностью по цене x, а с высокой по цене y. Каким ограничениям совместимости стимулов должна удовлетворять компания по значениям x и y, если она хочет, чтобы случайные пользователи покупали компьютеры с низкой производительностью, а постоянные — с высокой производительностью?
e) Каким ограничениям участия должны удовлетворять значения x и y для того, чтобы случайные пользователи были готовы покупать компьютеры с низкой производительностью, а постоянные — компьютеры с высокой производительностью?
f) С учетом ограничений, найденных в пунктах d и e, какие значения x и y максимизируют ожидаемую прибыль компании, когда она продает оба типа ПК? Какова ожидаемая прибыль Mictel вследствие такой политики?
g) С учетом всех сделанных выше выводов определите, какой политики в области производства и ценообразования должна придерживаться компания.
S5. Еще раз выполните упражнение S4 исходя из предположения, что половина клиентов компании Mictel — случайные пользователи.
S6. На основании выводов, полученных в упражнении S4 и упражнении S5, решите упражнение S4 для общего случая, в котором доля случайных пользователей составляет c, а доля постоянных пользователей — (1 — c). Ответы на некоторые части этих упражнений зависят от значения c. В этих случаях перечислите все возможные варианты и объясните, как они зависят от значения c.
S7. Дисконтный кинотеатр Sticky Shoe продает попкорн и газированную воду в специальных торговых точках. Кэмерон, Джесси и Шон — постоянные клиенты Sticky Shoe; каждый из них оценивает попкорн и газированную воду следующим образом:
Кроме этой троицы, в кинотеатр Sticky Shoe ходят еще 2997 жителей Харкинсвилля, одна треть которых оценивают попкорн и газированную воду так же, как Кэмерон, еще одна треть — как Джессика, и еще треть — как Шон. Если клиенту безразлично, покупать попкорн и напитки или нет, он покупает. Приготовление дополнительной порции попкорна или напитка Sticky Shoe не стоит практически ничего.
a) Если Sticky Shoe устанавливает отдельные цены на попкорн и напитки, какой должна быть цена каждого продукта, чтобы максимизировать прибыль? Какую прибыль получит Sticky Shoe, продавая попкорн и газированную воду отдельно?
b) Что будет покупать каждый тип клиентов (Кэмерон, Джессика и Шон), если Sticky Shoe установит отдельные цены на попкорн и газированную воду, обеспечивающие максимальную прибыль?
c) Вместо продажи продуктов по отдельности Sticky Shoe решает продавать их вместе, назначая одну цену на весь набор. Какая единая цена за набор обеспечит Sticky Shoe максимальную прибыль? Какую прибыль получит Sticky Shoe, продавая попкорн и газированную воду только вместе?
d) Что будет покупать каждый тип клиентов, если Sticky Shoe установит единую цену на попкорн и газированную воду в одном наборе, обеспечивающую максимальную прибыль? Чем этот ответ отличается от ответа в пункте b?
e) Какой схеме ценообразования отдает предпочтение каждый тип клиентов? Почему?
f) Если бы кинотеатр Sticky Shoe продавал попкорн и газированную воду как в наборах, так и отдельно, какие продукты (попкорн, газированную воду или их набор) он захотел бы продавать каждому типу клиентов? Как Sticky Shoe может добиться, чтобы каждый клиент покупал продукт, предназначенный именно для него?
g) Какие цены (на попкорн, газированную воду и набор из этих продуктов) установил бы Sticky Shoe, чтобы максимизировать свою прибыль? Какую прибыль получит Sticky Shoe, продавая продукты по этим трем ценам?
h) Чем отличаются ответы в пунктах а, c и g? Объясните причины.
S8. В разделе 5.А данной главы рассказывается о проблеме «принципал — агент» в контексте компании, которая решает, как стимулировать менеджера проекта прилагать больше усилий к повышению вероятности его успешной реализации. Стоимость успешного проекта составляет 1 миллион долларов; вероятность успеха при высоком уровне усилий равна 0,5; при низком — 0,25. Полезность дохода для менеджера равна квадратному корню из суммы вознаграждения (исчисляемого в миллионах долларов), а отрицательная полезность приложения больших усилий составляет 0,1. Однако минимальная заработная плата менеджера равна теперь 160 000 долларов.
a) Какой контракт предложит компания менеджеру проекта, если ее устраивает его низкий уровень усилий?
b) Какова ожидаемая прибыль компании в случае, если ее система стимулирования обеспечивает низкий уровень усилий менеджера проекта?
c) Какую пару контрактов (y, x), где y — заработная плата в случае успешного выполнения проекта, а x — заработная плата в случае провала проекта, компания должна предложить менеджеру, чтобы он был заинтересован повысить уровень усилий?
d) Какова ожидаемая прибыль компании при обеспечении высокого уровня усилий?
e) Какого уровня усилий компания ждет от менеджера? Почему?
S9. Компания застраховала свое основное производственное предприятие от пожара. Вероятность пожара на предприятии без программы противопожарных мероприятий равна 0,01, а при наличии такой программы 0,001. В случае пожара размер убытков составит 300 000 долларов. Выполнение программы противопожарных мероприятий обошлось бы в 80 долларов, но страховая компания не может без дополнительных затрат отслеживать ход выполнения противопожарных мероприятий.
a) Почему в этой ситуации возникает моральный риск? Каков его источник?
b) Может ли страховая компания устранить проблему морального риска? Если да, то как? Если нет, объясните почему.
S10. В 1781 году Моцарт переехал из Зальцбурга в Вену, надеясь получить место при дворе Габсбургов. Но вместо того чтобы просить его, Моцарт решил ждать, когда император призовет его к себе сам, поскольку «если кто-то делает шаг первым, он получает меньшую оплату». Проанализируйте эту ситуацию с точки зрения теории игр с асимметричной информацией, в том числе принципов сигнализирования и скрининга.
S11 (дополнительное упражнение, требующее исчисления). Вы министр Океании по вопросам мира, и ваша работа — закупать военное имущество для своей страны. Исчисляемая в долларах Океании чистая выгода от объема Q этого имущества равна 2Q1/2 — M, где M — сумма денег, выплаченных за имущество.
Есть только один поставщик военного имущества — Baron Myerson’s Armaments (BMA). Вы не знаете, какие производственные затраты он несет. Общеизвестно, что затраты BMA на производство единицы продукции — это постоянная величина, равная 0,10 с вероятностью p = 0,4 и 0,16 с вероятностью 1 — p. Назовем BMA компанией с низким уровнем затрат, если ее производственные затраты не превышают 0,10, и компанией с высоким уровнем затрат, если ее затраты составляют 0,16. Истинный тип затрат известен только самой BMA.
В прошлом ваше министерство использовало два типа контрактов на закупку: «затраты плюс» и контракт с фиксированной ценой. Но контракты «затраты плюс» создают для BMA стимул завышать свой уровень затрат, а в случае контрактов с фиксированной ценой компании может быть заплачено больше, чем необходимо. Вы принимаете решение предложить BMA на выбор два возможных контракта:
Контракт 1: мы выплатим вам сумму M1 за поставку количества Q1.
Контракт 2: мы выплатим вам сумму M2 за поставку количества Q2.
Необходимо выбрать такие значения Q1, M1, Q2 и M2, чтобы для компании BMA с низким уровнем затрат более выгодным был контракт 1, а для компании BMA с высоким уровнем затрат — контракт 2. Если другой контракт обеспечивает аналогичную прибыль, то BMA с низким уровнем затрат выберет контракт 1, а BMA с высоким уровнем затрат — контракт 2. Кроме того, независимо от уровня затрат, компании BMA нужно получить как минимум нулевую экономическую прибыль в случае любого выбранного контракта.
a) Составьте формулы для определения прибыли BMA с низким уровнем затрат и BMA с высоким уровнем затрат в случае, когда компания получает сумму M за поставку количества Q.
b) Выведите формулы ограничения совместимости стимулов, побуждающих BMA с низким уровнем затрат выбрать контракт 1, а BMA с высоким уровнем затрат — контракт 2.
c) Сформулируйте ограничения участия для каждого типа BMA.
d) Выведите формулу определения ожидаемой чистой выгоды Океании в случае, если компания BMA каждого типа выберет контракт, ориентированный именно на этот тип.
Теперь ваша задача — выбрать значения Q1, M1, Q2 и M2, обеспечивающие максимальную ожидаемую чистую выгоду, вычисленную в пункте d, с учетом ограничения совместимости стимулов (incentive-compatibility, IC) и ограничения участия (participation constraint, PC)
e) Допустим, Q1 > Q2, а также предположим, что ограничения IC1 и PC2 связывающие, то есть выполняются в случае равенства, а не в случае слабого неравенства. Используйте их для определения нижних пределов значений M1 и M2, достижимых при соответствующих значениях Q1 и Q2.
f) Докажите, что в случае связывающих ограничений IC1 и PC2 ограничения IC2 и PC1 удовлетворяются автоматически.
g) Подставьте выражения, полученные в пункте c, вместо M1 и M2, чтобы выразить целевую функцию через Q1 и Q2.
h) Запишите условия максимизации первого порядка и решите их относительно Q1 и Q2.
i) Найдите решение относительно M1 и M2.
j) Какую ожидаемую чистую выгоду получит Океания, предложив такой выбор контрактов?
k) Какие общие принципы скрининга проиллюстрированы в этом списке контрактов?
S12 (дополнительное упражнение). Вернитесь к задаче из упражнения S11 и проанализируйте, чем оптимальный список найденных в ней контрактов отличается от некоторых альтернативных контрактов.
a) Если бы вы решили предложить один контракт с фиксированной ценой, ориентированный на привлечение только BMA с низким уровнем затрат, каким бы он был? Другими словами, какая пара (Q, M) была бы оптимальной, если бы вы знали, что BMA — компания с низким уровнем затрат?
b) Приняла бы компания BMA с высоким уровнем затрат контракт, предложенный в пункте а? Почему да или почему нет?
c) Какой была бы ожидаемая чистая выгода Океании от предложения контракта из пункта а с учетом вероятности того, что BMA — это компания с низким уровнем затрат? Как этот показатель отличается от ожидаемой чистой выгоды в случае списка контрактов, составленного в пункте j упражнения S11?
d) Какой контракт с фиксированной ценой вы бы предложили BMA с высоким уровнем затрат?
e) Компания BMA с низким уровнем затрат согласилась бы принять контракт, составленный в пункте d? Какой была бы ее прибыль в случае согласия?
f) С учетом вашего ответа в пункте e какой была бы ожидаемая чистая выгода Океании, если бы она предложила контракт из пункта d? Как этот показатель отличается от ожидаемой чистой выгоды в случае списка контрактов, составленного в пункте j упражнения S11?
g) Рассмотрите случай, когда сотрудник BMA, занимающийся промышленным шпионажем, пообещал сообщить вам точный объем затрат на единицу продукции, что позволит Океании предложить только один контракт с фиксированной ценой, рассчитанный на истинный тип компании BMA. Какой была бы ожидаемая чистая выгода Океании, если бы ей было известно, что она получит информацию об истинном типе BMA? Как это соотносится с пунктами c и f данного упражнения, а также с пунктом j упражнения S11?