Приложение. Бесконечные суммы
Для вычисления приведенной стоимости необходимо определить текущую стоимость суммы денег, которая будет получена в будущем. Как мы видели в разделе 2, приведенная стоимость суммы денег (скажем, суммы x), которая будет получена через n месяцев начиная с текущего момента, рассчитывается по формуле x / 1 + r)n, где r — соответствующая месячная норма прибыли. Однако суммарную приведенную стоимость суммы денег, которая будет получена в следующем месяце и в каждом последующем месяце в обозримом будущем, определить труднее. В этом случае платежи делаются на протяжении неопределенного периода, а значит, не существует заданного предела суммы значений приведенной стоимости, которую необходимо определить. Для того чтобы вычислить текущую стоимость такого потока платежей, нужно знать математические правила суммирования бесконечных рядов.
Рассмотрим игрока, который в текущем месяце получит прибыль 36 долларов за счет отказа от сотрудничества, а затем ежемесячно будет терять по 36 долларов в связи с дальнейшим выбором этой стратегии, за что соперник будет его наказывать (применяя стратегию равноценных ответных действий). За первый из будущих месяцев (первый месяц, на протяжении которого игрок понесет убытки и за который необходимо дисконтировать значения стоимости) приведенная стоимость убытка игрока составит 36/(1 + r); за второй будущий месяц — 36/(1 + r)2; за третий месяц — 36/(1 + r)3. Иными словами, за каждый из n будущих месяцев, на протяжении которых игрок будет нести убытки в связи с отказом от сотрудничества, его убыток составит 36/(1 + r)n.
Общую приведенную стоимость всех будущих убытков этого игрока можно записать в виде суммы с бесконечным количеством членов ряда
Эту же сумму можно записать с помощью специального обозначения со знаком суммы
Это выражение эквивалентно предыдущему и читается так: «Сумма от n равно 1 до n равно бесконечности дробей с 36 в числителе и (1 + r) в n-й степени в знаменателе». Поскольку 36 — это общий множитель (он присутствует во всех членах суммы), его можно вынести за знак суммы. Поэтому текущую стоимость можно записать так:
Теперь, чтобы вычислить фактическую приведенную стоимость, нам необходимо найти значение суммы, которая содержится в этом выражении для приведенной стоимости. Для этого упростим запись, подставив коэффициент дисконтирования ? вместо 1/(1 + r). Тогда сумма, оценка которой нас интересует, равна
Здесь важно отметить, что 1/(1 + r) < 1, поскольку значение r строго положительное.
Взглянув на последнюю сумму, специалист по бесконечным суммам[179] сказал бы, что она сходится к конечной величине ?/(1 + ?). Такая сходимость обеспечивается за счет того, что все большие степени числа, меньшего 1 (в данном случае ?), становятся все меньше и меньше, приближаясь к нулю по мере стремления n к бесконечности. При этом последние члены выражения, описывающего приведенную стоимость, уменьшаются до тех пор, пока не станут настолько маленькими, что весь ряд приблизится к определенному значению суммы, но сугубо формально никогда его не достигнет. Для того чтобы сделать вывод о том, что сходящееся значение суммы составляет ?/(1 + ?), понадобятся более сложные математические выкладки. Тем не менее достаточно просто доказать, что это правильный ответ.
Чтобы доказать истинность нашего утверждения, мы используем один простой прием. Возьмем сумму первых m членов ряда и обозначим ее как Sm. Таким образом получим
Теперь умножим эту сумму на (1 — ?), чтобы получить следующее выражение: (1 — ?)Sm = ? + ?2 + ?3 + … + ?m — 1 + ?m — ?2 — ?3 — ?4 — … — ?m — ?m + 1 = ? — ?m + 1.
Разделив обе стороны на (1 — ?), имеем
И наконец, возьмем предел этой суммы в случае приближения m к бесконечности, чтобы определить значение исходной бесконечной суммы. По мере стремления m к бесконечности значение ?m+1 приближается к нулю, поскольку очень большие и увеличивающиеся степени числа, меньшего 1, становятся все меньше, но остаются неотрицательными. Таким образом, когда m стремится к бесконечности, правая сторона представленного выше уравнения приближается к ? / (1 — ?), а значит, это и есть предел Sm, когда m стремится к бесконечности. Что и требовалось доказать.
Для того чтобы использовать полученный ответ для вычисления значений текущей стоимости в играх с дилеммой заключенных, необходимо восстановить значение r. Поскольку ? = 1/(1 + r), из этого следует, что
В таком случае текущая стоимость бесконечного потока убытков в размере 36 долларов, понесенных в каждом месяце, начиная со следующего, составляет
Это и есть значение, использованное нами для определения того, стоит ли игроку навсегда отказываться от сотрудничества, в разделе 2. Обратите внимание, что введение вероятности продолжения p ? 1 в вычисление дисконтированных значений ничего не меняет в примененной здесь процедуре суммирования. В представленных выше вычислениях мы вполне могли бы подставить R вместо r, а p? вместо коэффициента дисконтирования ?.
Не забывайте, что вам нужно искать приведенную стоимость только тех убытков (или прибылей), которые будут понесены (или получены) в будущем. Приведенная стоимость 36 долларов, потерянных сегодня, составляет просто 36 долларов. Следовательно, если бы вам потребовалось вычислить приведенную стоимость последовательности убытков по 36 долларов каждый, начиная с текущего дня, вы взяли бы 36 долларов, потерянных сегодня, и прибавили бы к ним приведенную стоимость последовательности убытков, понесенных в будущем. Мы только что вычислили, что она равна 36/r. Стало быть, приведенная стоимость последовательности убытков в размере 36 долларов, в том числе 36 долларов, потерянных сегодня, составила бы 36 + 36/r, или 36[(r + 1)/r], что эквивалентно 36/(1 — ?). Аналогично, если бы вам понадобилось проанализировать последовательность значений прибыли игрока в случае применения определенной условной стратегии в дилемме заключенных, вам не нужно было бы дисконтировать объем прибыли, полученной за самый первый период; достаточно было бы дисконтировать только те показатели прибыли, которые представляют собой деньги, полученные в будущие периоды.