Упражнения с решениями

S1. Рассмотрите игру с одновременными ходами с участием двух игроков, в которой нет равновесия Нэша в чистых стратегиях, представленную на рис. 4.13 в главе 4. Если бы эта игра была преобразована в игру с последовательными ходами, вы бы ожидали появления в ней преимущества первого и второго хода или ни одного из них? Объясните логику своих рассуждений.

S2. Рассмотрите игру, представленную в виде дерева игры ниже. Игрок, делающий ход первым (Игрок 1), может выбрать ход либо «вверх», либо «вниз», после чего Игрок 2 может выбрать «налево» или «направо». Выигрыши в случае возможных исходов указаны в концевых узлах дерева. Изобразите эту игру в стратегической форме (в виде таблицы). Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях. Если их несколько, укажите, какое из них представляет собой совершенное равновесие подыгры. Для равновесий, не являющихся таковыми, определите причину (источник отсутствия достоверности).

S3. Рассмотрите игру между Airbus и Boeing, описанную в упражнении S4 в главе 3. Представьте ее в стратегической форме и определите все равновесия Нэша. Какое из них представляет собой совершенное равновесие подыгры? Для равновесий, не являющихся таковыми, определите источник отсутствия достоверности.

S4. Вернитесь к дереву игры с двумя участниками, приведенному в пункте а упражнения S2 в главе 3.

a) Изобразите эту игру в стратегической форме, где Страшиле соответствуют строки, а Железному Дровосеку — столбцы.

b) Найдите равновесие Нэша.

S5. Вернитесь к дереву игры с двумя участниками, приведенному в пункте b упражнения S2 в главе 3.

a) Представьте эту игру в стратегической форме. (Подсказка: используйте решение упражнения S2 в главе 3.) Найдите все равновесия Нэша (их будет много).

b) Для равновесий, найденных в пункте а, которые не являются совершенными равновесиями подыгры, определите проблемы с достоверностью.

S6. Вернитесь к дереву игры с тремя участниками, приведенному в пункте с упражнения S2 в главе 3.

a) Составьте таблицу этой игры. Сделайте Страшилу игроком, которому соответствуют строки, Железному Дровосеку — столбцы, а Льву — страницы. (Подсказка: используйте решение упражнения S2 в главе 3.) Найдите все равновесия Нэша (их будет много).

b) Определите проблемы с достоверностью для равновесий, найденных в пункте а, которые не являются совершенными равновесиями подыгры.

S7. Рассмотрим упрощенную версию игры в бейсбол между питчером и бэттером[88]. Питчер выбирает между такими типами подач, как фастбол (прямая подача с большой скоростью полета мяча) и керв (более медленная подача с сильным вращением), тогда как бэттер решает, какой подачи питчера ему следует ожидать. У бэттера есть преимущество, если он правильно определит тип подачи. В этой игре с нулевой суммой выигрыш бэттера — вероятность того, что он получит хит и достигнет первой базы. Выигрыш питчера — вероятность того, что бэттеру не удастся получить хит и добежать до базы, что равно единице минус выигрыш бэттера. Вот четыре возможных исхода игры:

3. Если питчер бросает фастбол, а бэттер ожидает фастбол, вероятность хита 0,300.

4. Если питчер бросает фастбол, а бэттер ожидает керв, вероятность хита 0,200.

5. Если питчер бросает керв, а бэттер ожидает керв, вероятность хита 0,350.

6. Если питчер бросит керв, а бэттер ожидает фастбол, вероятность хита 0,150.

Предположим, питчер «делает подсказки» относительно своих подач, то есть держит мяч, занимает позицию или что-то еще выполняет так, чтобы сообщить бэттеру, какую подачу он собирается сделать. В нашем контексте это означает, что игра между питчером и бэттером — это игра с последовательными ходами, в которой питчер объявляет о своем выборе подачи до выбора бэттером стратегии.

a) Представьте эту ситуацию в виде дерева игры.

b) Предположим, питчер знает, что делает подсказки по поводу подач, но не может удержаться от таких действий. Следовательно, питчер и бэттер играют в игру, дерево которой вы только что нарисовали. Найдите в ней равновесие обратных рассуждений.

c) Теперь измените время выполнения ходов в игре так, чтобы уже бэттеру пришлось раскрывать свои действия (возможно, меняя свою позицию отбивания), прежде чем питчер выберет тип подачи. Нарисуйте дерево игры для этой ситуации и найдите равновесие обратных рассуждений.

Теперь допустим, что каждый игрок делает подсказки настолько быстро, что ни один из них не успевает на них отреагировать, а значит, фактически это игра с одновременными ходами.

d) Нарисуйте дерево игры, представляющее ее как одновременную, отметив информационные множества там, где необходимо.

e) Составьте таблицу этой игры с одновременными ходами. Есть ли в ней равновесие Нэша в чистых стратегиях? Если да, назовите его.

S8. Игру «уличный сад», проанализированную в разделе 4 данной главы, можно отобразить в виде таблицы игры 16 на 4 на 2, если версия игры с последовательным выполнением ходов представлена в стратегической форме, как на рис. 6.12. В этой таблице много равновесий Нэша.

a) Используйте анализ наилучших ответов, чтобы найти все равновесия Нэша в таблице игры на рис. 6.12.

b) Определите совершенное равновесие подыгры во всей совокупности равновесий Нэша. Другие равновесные исходы игры напоминают совершенное равновесие подыгры (поскольку обеспечивают каждой из трех участниц игры те же выигрыши), однако появляются после различных комбинаций стратегий. Объясните, почему так происходит. Опишите проблемы с достоверностью, возникающие в случае равновесий, не являющихся совершенными равновесиями подыгры.

S9. На рис. 6.1 двухэтапная игра между компаниями CrossTalk и GlobalDialog представлена в виде сочетания таблиц и деревьев. Изобразите всю эту двухэтапную игру в виде одного большого дерева игры. Не забудьте указать, какой игрок в каждом узле принимает решение, и нарисуйте информационные множества между узлами там, где это необходимо.

S10. Вспомните последовательную игру с тремя участниками о размещении магазинов в торговых центрах, описанную в упражнении S9 в главе 3. Ее дерево напоминает дерево игры «уличный сад», показанное на рис. 6.10.

a) Нарисуйте дерево игры с размещением магазинов в торговых центрах. Сколько стратегий есть в распоряжении каждого магазина?

b) Проиллюстрируйте игру в стратегической форме и найдите в ней все равновесия Нэша в чистых стратегиях.

c) Используйте итеративное доминирование для поиска совершенного равновесия подыгры. (Подсказка: перечитайте два последних абзаца раздела 4.)

S11. Согласно правилам игры с размещением магазинов в торговых центрах, проанализированной в упражнении S10, когда все три магазина запрашивают торговую площадь в торговом центре Urban Mall, два самых крупных (и самых престижных) из них получают ее. Кроме того, в исходной версии игры предусматривается, что компании, пытающиеся получить торговую площадь в торговых центрах, ходят последовательно.

a) Допустим, три компании подают запросы на предоставление торговой площади одновременно. Составьте таблицу выигрышей для этой версии игры и найдите все равновесия Нэша. Какие из них, по вашему мнению, скорее всего будут выбраны на практике? Обоснуйте свой вывод.

Теперь предположим, что все три магазина одновременно отправляют запрос в Urban Mall, а два имеющихся помещения распределяются посредством лотереи, что дает каждому магазину равные шансы на получение торговой площади в Urban Mall. При такой схеме вероятность каждого магазина попасть в Urban Mall составляла бы две трети (или 66,67 процента), если бы все три магазина отправили запросы, а вероятность оказаться в одиночестве в Rural Mall — одну треть (33,33 процента).

b) Постройте таблицу новой версии одновременной игры с размещением магазинов в торговых центрах. Найдите в ней все равновесия Нэша. Какие из них, по вашему мнению, будут выбраны на практике с наибольшей вероятностью? Обоснуйте свой вывод.

c) Сравните и проведите различие между равновесиями, найденными в пункте b и а. Вы получили одни и те же равновесия Нэша? Почему да или почему нет?

S12. Вернитесь к игре между Моникой и Нэнси из упражнения S10 в главе 5. Допустим, они выбирают количество усилий последовательно, а не одновременно. Моника делает выбор первой, а Нэнси, узнав об этом, также делает выбор.

a) Найдите совершенное равновесие подыгры, при котором общая прибыль определяется по формуле 4m + 4n + mn, затраты Моники и Нэнси, связанные с вложением усилий, составляют m² и n² соответственно, и Моника принимает решение о количестве усилий первой.

b) Сравните выигрыши Моники и Нэнси с выигрышами, вычисленными в упражнении S10 в главе 5. В этой игре присутствует преимущество первого или второго хода? Обоснуйте свой ответ.

S13. В расширенном варианте упражнения S12 Монике и Нэнси необходимо решить, кто из них выберет количество усилий в первую очередь. Для этого каждая из них пишет на листке бумаги, будет ли она делать это первой. Если обе напишут «да» или «нет», значит, им предстоит выбирать количество усилий одновременно, как в упражнении S10 в главе 5. Если Моника напишет «да», а Нэнси «нет», то Моника будет первой принимать решение о количестве усилий, как в упражнении S12. Если Моника напишет «нет», а Нэнси «да», тогда Нэнси первой примет решение.

a) На основании выигрышей Моники и Нэнси, полученных в упражнении S12 выше, а также в упражнении S10 в главе 5, постройте таблицу для первого этапа игры в принятие решений. (Подсказка: обратите внимание на симметричность игры.)

b) Найдите равновесия Нэша в чистых стратегиях на первом этапе игры.