5. Чередующиеся предложения, модель II: нетерпение

Теперь рассмотрим тип издержек в связи с промедлением в достижении соглашения. Предположим, фактический денежный эквивалент общей величины, подлежащей разделению, не уменьшается, но поскольку деньги имеют для игроков так называемую временную стоимость, они предпочитают раннее достижение соглашения позднему. Игроки делают предложения по очереди (так, как описано в разделе 3), но их временные предпочтения таковы, что деньги, полученные сейчас, лучше денег, полученных в будущем.

Для конкретности будем считать, что, по мнению обоих переговорщиков, 95 центов немедленно так же хороши, как и 1 доллар в следующем раунде.

Игрок, предпочитающий что-то прямо сейчас, а не в будущем, нетерпелив и придает меньшее значение будущему по сравнению с настоящим. Мы сталкивались с этой идеей в разделе 2 главы 10 и обнаружили две причины существования данного феномена. Во-первых, у игрока А может быть возможность инвестировать свои деньги (скажем, 1 доллар) сейчас и получить основную сумму плюс проценты и прирост капитала по ставке r, в сумме (1 + r), в следующем периоде (завтра, на следующей неделе, в следующем году или независимо от продолжительности периода). Во-вторых, может иметься определенный риск того, что игра закончится между текущим моментом и следующим предложением (как в случае внезапного завершения игры в любой момент времени в интервале от 3 до 5 минут в описанном выше аудиторном эксперименте). Если p — вероятность того, что игра продолжится, то у шанса получить 1 доллар в следующем периоде в текущий момент ожидаемая ценность равна всего лишь p.

Рассмотрим переговорный процесс между двумя игроками с нулевыми значениями BATNA. Начнем с того, что один из них (скажем, игрок А) делает предложение о разделении 1 доллара. Если другой (игрок Б) отклонит его, то у него появится возможность сделать свое предложение в следующем раунде. Оба игрока находятся в одинаковом положении, когда каждый делает предложение, поскольку подлежащая разделению сумма всегда равна 1 доллару. Таким образом, в случае равновесия сумма (назовем ее x), которая достается игроку, делающему предложение в текущий момент, одна и та же, независимо от того, кто именно вносит предложение, А или Б. С помощью метода обратных рассуждений найдем уравнение, которое можно решить относительно x.

Предположим, игрок А начинает процесс чередования предложений. Он знает, что игрок Б может получить x в следующем раунде, когда наступит его очередь делать предложение. Поэтому игрок А должен выделить игроку Б сумму, которая как минимум эквивалентна (с точки зрения игрока Б) получению x в следующем раунде; другими словами, сейчас игрок А должен предложить игроку Б минимум 0,95x. (Не забывайте, что для игрока Б 95 центов немедленно эквивалентны 1 доллару в следующем раунде; значит, 0,95x сейчас — так же хорошо, как и x в следующем раунде.) Игрок А не выделит игроку Б больше, чем требуется для того, чтобы склонить игрока Б принять предложение. В итоге игрок А предлагает игроку Б ровно 0,95x, а себе оставляет (1–0,95x). Но сумма, получаемая игроком А в момент, когда он делает предложение, равна тому, что мы обозначили как x. Стало быть, x = 1–0,95x, или (1 + 0,95)x = 1, или x = 1/1,95 = 0,512.

Следует обратить внимание на два аспекта этих вычислений. Во-первых, хотя процесс допускает неограниченную последовательность чередующихся и встречных предложений, в случае равновесия самое первое предложение, которое делает игрок А, будет принято и игра завершится. Поскольку время имеет свою ценность, этот исход эффективен. От издержек в связи с промедлением зависит, сколько игрок А должен предложить игроку Б, чтобы добиться его согласия, а значит, это также влияет на обратные рассуждения игрока А. Во-вторых, игрок, который делает предложение первым, получит больше половины «пирога», а именно 0,512, а не 0,488. Стало быть, каждый игрок получает больше, когда первое предложение делает именно он, а не соперник. Но это преимущество гораздо меньше, чем в ультимативной игре, в которой нет будущих раундов со встречными предложениями.

Теперь предположим, что оба игрока не в равной степени терпеливы (или нетерпеливы, в зависимости от обстоятельств). Игрок Б по-прежнему считает, что 1 доллар в следующем раунде эквивалентен 95 центам сейчас, а игрок А приравнивает 1 доллар в следующем раунде к 90 центам в настоящий момент. Следовательно, игрок А готов принять меньшую сумму, чтобы получить ее быстрее, то есть он более нетерпелив. Такое неравенство уровней нетерпения может привести к неравным выигрышам от переговорного процесса в случае равновесия. Для того чтобы найти равновесие в данном примере, обозначим символом x сумму, которую получит игрок А, если он начинает процесс, и символом y сумму, которую получит игрок Б, если процесс начнет он.

Игрок А знает, что должен выделить игроку Б минимум 0,95y, иначе Б отклонит предложение в пользу суммы y, которую, как ему известно, он сможет получить, когда наступит его очередь делать предложение. Таким образом, сумма x, которую получит игрок А, должна равняться 1–0,95y, то есть x = 1–0,95y. Аналогичным образом, когда процесс начинает игрок Б, он знает, что должен выделить игроку А минимум 0,90x и тогда y = 1–0,90x. Эти два уравнения можно решить относительно x и y:

x = 1–0,95(1–0,9x),

[1–0,95(0,9)]x = 1–0,95,

0,145x = 0,05,

x = 0,345.

y = 1–0,9(1–0,95y),

[1–0,9(0,95)]y = 1–0,9,

0,145y = 0,10,

y = 0,690.

Обратите внимание, что сумма x и y не равна 1, поскольку каждая из этих величин представляет собой выигрыш соответствующего игрока при условии, что он делает предложение первым. Таким образом, когда первое предложение делает игрок А, он получает 0,345, а игрок Б 0,655; когда первое предложение делает Б, он получает 0,69, а игрок А 0,31. Опять же, каждый игрок получает более высокий результат, когда именно он делает первое предложение, и снова разница незначительна.

Исход варианта игры с разными уровнями нетерпения существенно отличается от исхода предыдущей игры с одинаковыми уровнями нетерпения. При разных уровнях нетерпения более нетерпеливый игрок А получает намного меньше, чем игрок Б, даже тогда, когда у него есть возможность сделать первое предложение. Мы предполагали, что игрок, соглашающийся на меньшую сумму, чтобы получить ее быстрее, получит в итоге меньше, но разница действительно впечатляющая. Соотношение долей игрока А и Б составляет почти 1 к 2.

Как обычно, теперь на основании этих примеров запишем обобщенные выводы в алгебраическом виде. Допустим, игрок А рассматривает 1 доллар сейчас как эквивалент (1 + r) долларов, полученных на одно предложение позже, или, что то же самое, 1/(1 + r) долларов сейчас как эквивалент 1 доллара на одно предложение позже. Для краткости будем использовать в расчетах a вместо 1/(1 + r). Аналогичным образом предположим, что игрок Б рассматривает 1 доллар сейчас как эквивалент (1 + s) долларов, полученных на одно предложение позже; будем использовать в расчетах b вместо 1/(1 + s). Если значение r высокое (или, что то же самое, а низкое), значит, игрок А весьма нетерпелив. Точно так же, игрок Б нетерпелив, если значение s высокое (или b низкое).

Мы анализируем переговоры, проходящие в виде чередующихся раундов, с общей суммой 1 доллар, которую нужно разделить между двумя игроками с нулевыми значениями BATNA. (Как только вы поймете этот случай, то без труда сможете проанализировать и более общий случай.) Каким будет равновесие обратных рассуждений в этой игре?

Мы можем найти выигрыши в таком равновесии, расширив представленное выше простое доказательство. Допустим, выигрыш игрока А в равновесии обратных рассуждений равен x, если он делает предложение первым, а игрока Б — y, когда первое предложение вносит он. Мы найдем пару уравнений, связывающих значения x и y, а затем решим их, чтобы определить равновесные выигрыши[310].

Когда игрок А делает предложение, он знает, что должен выделить игроку Б сумму, которую тот считает эквивалентной y в следующем периоде. Эта сумма составляет by = y/(1 + s). После предложения игроку Б игрок А может получить только то, что осталось: x = 1 — by.

Точно так же, когда игрок Б делает предложение, он должен выделить игроку А эквивалент x в следующем периоде, а именно ax. Значит, y = 1 — ax. Теперь решить эти уравнения легче. Мы имеем x = 1 — b(1 — ax), или (1 — ab)x = 1 — b. Если выразить это уравнение через r и s, оно будет выглядеть так:

Аналогичным образом y = 1 — a(1 — by), или (1 — ab)y = 1 — a. Тогда уравнение примет такой вид:

Хотя это быстрое решение может показаться ловким трюком, оно получено в соответствии с теми же действиями, что и используемые ранее; кроме того, немного ниже мы приведем другую аргументацию, дающую точно такой же ответ. Но сначала проанализируем некоторые свойства этого ответа.

Прежде всего обратите внимание, что, как и в примере с разными уровнями терпения, сумма величин x и y больше 1:

Помните, что x — это то, что получает игрок А, когда он вправе сделать первое предложение, а y — то, что в аналогичном случае получает игрок Б. Когда игрок А делает предложение первым, игрок Б получает (1 — x), что меньше y; это подтверждает преимущество игрока А в случае, если он делает первое предложение. Точно так же, когда игрок Б делает предложение первым, он получает y, а игрок А (1 — y), что меньше x.

Однако r и s — как правило, небольшие числа. Когда предложения могут быть сделаны с короткими промежутками, скажем, через неделю, или один день, или один час, процент, который может быть начислен на ваши деньги за период между ними, или вероятность того, что игра закончится именно на протяжении следующего промежутка, достаточно мала. Например, если r равно 1 % (0,01), а s — 2 % (0,02), то формулы дают x = 0,668 и y = 0,337, а значит, преимущество от права сделать первое предложение составляет всего 0,005. (Игрок А получает 0,668, когда он сам делает первое предложение, но 1–0,337 = 0,663, когда его делает игрок Б; разница — 0,005.) Строго говоря, когда r и s — небольшие числа по сравнению с 1, то их произведение rs на самом деле очень мало; следовательно, мы можем исключить rs из формулы приближенного решения задачи разделения, не зависящей от того, какой игрок делает первое предложение:

Теперь x + y примерно равно 1.

Важно то, что в приближенном решении x и y — это доли излишка, которые достаются двум игрокам, а y/x = r/s; другими словами, доли игроков обратно пропорциональны их степени нетерпения, выраженной в виде r и s. Если игрок Б в два раза нетерпеливее игрока А, то игрок А получит в два раза больше, чем игрок Б; значит, их доли составляют 1/3 и 2/3, или 0,333 и 0,667 соответственно. Таким образом, мы видим, что терпение — важное преимущество в переговорах. Наш формальный анализ подтверждает интуитивный вывод о том, что, если вы очень нетерпеливы, другой игрок может предложить вам быструю, но невыгодную сделку, зная, что вы на нее согласитесь.

Эффект нетерпения вредит США, нашим органам власти и дипломатам на многих переговорах с другими странами. Американский политический процесс придает большое значение скорости. Средства массовой информации, заинтересованные группы и конкурирующие политики требуют немедленных результатов и охотно критикуют администрацию или дипломатов за любое промедление. При таком давлении переговорщики всегда испытывают искушение вернуться хотя бы с каким-то решением. Но зачастую эти результаты оставляют желать лучшего в долгосрочной перспективе; уступки других стран содержат различные уловки, а их обещания далеко не достоверны. Правительство США преподносит такие сделки как большую победу, но через несколько лет они, как правило, расторгаются. Финансовый кризис 2008 года — еще один весьма драматичный пример. Когда произошел крах рынка недвижимости, ряд крупных финансовых учреждений, активы которых были обеспечены ипотечными кредитами, очутились на грани банкротства. Это привело к сокращению размера кредитования, что, в свою очередь, поставило экономику США под угрозу глубокого спада. Кризис разразился в сентябре, в разгар президентской кампании. Министерство финансов, Федеральная резервная система и политические лидеры в Конгрессе стремились действовать быстро. Это нетерпение привело к предложению многим финансовым учреждениям гораздо более щедрых условий спасения, тогда как более медленный процесс обеспечил бы налогоплательщикам менее болезненный результат и открыл бы перед ними гораздо более приемлемые перспективы участия в будущих прибылях на спасенные активы.

Когда люди, потерпевшие убытки, ведут со страховой компанией переговоры о страховом покрытии, их позиция намного слабее. Часто компании предлагают тем, кто понес серьезный ущерб, заниженную сумму страхового возмещения, зная, что им необходимо немедленно начать все сначала, а значит, у них высокая степень нетерпения.

На концептуальном уровне формула y/x = r/s связывает подход к переговорам, основанный на некооперативной игре, с кооперативным подходом решения Нэша, о котором говорилось в разделе 1. Выведенная в этом разделе формула для определения долей имеющегося излишка при нулевых значениях BATNA принимает вид y/x = k/h. При кооперативном подходе соотношение между долями двух игроков было таким же, как и соотношение между силой их переговорных позиций, однако предполагалось, что показатели этой силы каким-то образом получены извне. Теперь мы можем объяснить силу переговорных позиций с точки зрения базовых характеристик игроков: значения h и k обратно пропорциональны уровням нетерпения игроков r и s. Иными словами, кооперативному решению Нэша можно дать альтернативную и, возможно, более приемлемую интерпретацию как равновесию обратных рассуждений в некооперативной игре с взаимными предложениями, если мы представим абстрактные показатели силы переговорных позиций в кооперативном решении в виде присущих игрокам характеристик, таких как нетерпение.

И наконец, обратите внимание, что в данном случае соглашение снова может быть достигнуто немедленно, так как самое первое предложение принимается. Как всегда, полный анализ методом обратных рассуждений носит дисциплинирующий характер, поскольку игрок, делающий предложение первым, осознает достоверность того, что другой игрок отклонит менее приемлемый вариант.

В заключение раздела предлагаем альтернативный способ получения той же (точной) формулы равновесных предложений, которую мы вывели ранее. Допустим, игра состоит из 100 раундов; игрок А делает первое предложение, а игрок Б — последнее. Начнем процесс обратных рассуждений с раунда 100: игрок Б оставит себе весь доллар. Следовательно, в раунде 99 игрок А должен предложить игроку Б эквивалент 1 доллара в раунде 100, а именно b; игроку А останется (1 — b). Далее будем выполнять такой же анализ в обратном порядке.

В раунде 98 игрок Б предлагает игроку А a(1 — b) и оставляет себе

1 — a(1 — b) = 1 — a + ab.

В раунде 97 игрок А предлагает игроку Б b(1 — a + ab) и оставляет себе

1 — b(1 — a + ab) = 1 — b + ab — ab².

В раунде 96 игрок Б предлагает игроку А a(1 — b + ab — ab²) и оставляет себе

1 — a + ab — a²b + a²b².

В раунде 95 игрок А предлагает игроку Б b(1 — a + ab — a²b + a²b²) и оставляет себе

1 — b + ab — ab² + a²b² + a²b³.

Продолжив анализ по такой схеме, мы увидим, что в раунде 1 игрок А оставит себе долю

1 — b + ab — ab² + a²b² — a²b³ + … + a⁴⁹b⁴⁹ — a⁴⁹b⁵⁰ = (1 — b)[1 + ab + (ab)² + … + (ab)⁴⁹].

Последствия увеличения количества раундов очевидны. Мы просто будем получать все больше членов этого ряда, возрастающих в геометрической прогрессии в ab раз на каждых два предложения. Для того чтобы определить выигрыш игрока А в случае, когда он делает первое предложение в бесконечно большой последовательности взаимных предложений, необходимо найти предел бесконечной геометрической прогрессии. В приложении к главе 10 показано, как находить сумму таких рядов. Воспользовавшись представленной там формулой, имеем

Это и есть то же решение для x, что и полученное выше. Путем аналогичных рассуждений вы сможете определить выигрыш игрока Б, когда он делает первое предложение, что позволит вам улучшить понимание материала и навыки вычислений.