Упражнения без решений

U1. Рассмотрим игру с участием двух игроков, А и Б. Игрок А ходит первым и выбирает либо «вверх», либо «вниз». Если игрок А выберет «вверх», игра завершится и каждый получит выигрыш 2. Если игрок А сыграет «вниз», наступит очередь игрока Б делать ход, выбрав один из двух вариантов — «налево» или «направо». Если Б выберет «налево», оба игрока получат выигрыш 0, если «направо», игрок А получит выигрыш 3, а игрок Б — выигрыш 1.

a) Нарисуйте дерево этой игры и найдите совершенное равновесие подыгры.

b) Представьте эту игру с последовательными ходами в стратегической форме и отыщите все равновесия Нэша. Какое из них будет совершенным равновесием подыгры? Если таковых нет, объясните почему.

c) Какой метод решения можно было бы использовать для поиска совершенного равновесия подыгры на основании стратегической формы игры? (Подсказка: перечитайте два последних абзаца раздела 4.)

U2. Вернитесь к дереву игры с двумя участниками в пункте а упражнения U2 в главе 3.

a) Опишите игру в стратегической форме, где Альбусу соответствуют строки, а Минерве — столбцы. Найдите все равновесия Нэша.

b) Выявите проблемы с достоверностью для равновесий, найденных в пункте а данного упражнения, которые не будут совершенными равновесиями подыгры.

U3. Вернитесь к дереву игры с двумя участниками в пункте b упражнения U2 в главе 3.

a) Опишите игру в стратегической форме. Найдите все равновесия Нэша.

U4. Вернитесь к дереву игры с двумя участниками в пункте а упражнения U2 в главе 3.

a) Составьте таблицу этой игры, в которой Альбусу соответствуют строки, Минерве — столбцы, а Северусу — страницы. Найдите все равновесия Нэша.

b) Выявите проблемы с достоверностью для равновесий, найденных в пункте а, которые не будут совершенными равновесиями подыгры.

U5. Рассмотрим отрасль по производству колы, в которой Coke и Pepsi — две ведущие компании (для простоты анализа просто забудем об остальных). Объем рынка составляет 8 миллиардов долларов. Каждая компания решает, рекламировать ли ей свою продукцию; если да, то реклама обойдется в 1 миллиард долларов. Если одна компания будет размещать рекламу, а другая нет, то первая компания захватит весь рынок. Если обе компании будут рекламировать свою продукцию, они разделят рынок поровну и понесут расходы на рекламу. Если обе компании не будут размещать рекламу, они разделят рынок поровну без расходов на рекламу.

a) Составьте таблицу выигрышей для этой игры и найдите равновесие в случае, если обе компании ходят одновременно.

b) Постройте дерево игры исходя их предположения, что ходы в ней выполняются последовательно: первой ходит Coke, а затем Pepsi.

c) Будет ли любое из равновесий, найденных в пунктах а и b, более выгодным по сравнению с общей перспективой для Coke и Pepsi? Как обе компании могли бы добиться большего?

U6. На участке вдоль пляжа отдыхают 500 детей, разделенных на пять кластеров, по 100 детей в каждом. (Обозначим их А, Б, В, Г, Д.) Два торговца мороженым одновременно решают, где разместить свои торговые точки по его продаже. Они должны выбрать точное местоположение одного из кластеров.

Если в одном кластере есть один торговец, мороженое купят все 100 детей, входящие в состав этого кластера. Для кластеров без торговца мороженым 50 из 100 детей захотят пойти к торговой точке, находящейся на расстоянии в один кластер, 20 детей захотят пойти к точке, расположенной на расстоянии в два кластера, и никто не пожелает преодолевать ради мороженого расстояние в три и более кластеров. Мороженое быстро тает, поэтому дети, которые все же отправятся за ним, не смогут купить его и для тех, кто остался на месте.

Если оба торговца мороженым выберут один и тот же кластер, каждый получит 50 процентов доли от общего спроса на мороженое. Если они предпочтут разные кластеры, то те дети (остающиеся на месте или ушедшие за мороженым), к которым один торговец находится ближе, чем к другим, отправятся к нему, а дети, находящиеся на равном расстоянии от двух торговцев, разделятся между ними поровну. Каждый торговец стремится максимально увеличить объем продаж.

a) Составьте таблицу выигрышей пять на пять для игры в местоположение торговцев мороженым; приведенные ниже исходные данные помогут вам начать и проверить правильность своих расчетов:

• если оба торговца решают разместить свои торговые точки в кластере А, каждый из них продаст 85 единиц продукции;

• если первый торговец выберет кластер Б, а второй кластер В, первый продаст 150, а второй 170 единиц продукции;

• если первый торговец выберет кластер Д, а второй кластер Б, первый продаст 150, а второй 200 единиц продукции.

b) Исключите как можно больше доминируемых стратегий.

c) В оставшихся ячейках таблицы найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях.

d) Если преобразовать эту игру в игру с последовательными ходами, в которой первый торговец выбирает место первым, а второй вторым, то каким будет местоположение торговых точек и какой объем продаж будет получен в результате совершенного равновесия подыгры? Как изменение времени выполнения ходов помогает участникам игры решить проблему координации, о которой идет речь в пункте с?

U7. Вернитесь к игре между тремя львами в римском Колизее, представленной в упражнении S8 в главе 3.

a) Опишите ее в стратегической форме, где льву 1 соответствуют строки, льву 2 столбцы, а льву 3 страницы.

b) Найдите равновесия Нэша в этой игре. Сколько их вы нашли?

c) Вы должны были обнаружить равновесия Нэша, которые не будут совершенными равновесиями подыгры. Какой лев представляет недостоверные угрозы в случае каждого из этих равновесий? Объясните свою точку зрения.

U8. Предположим, что в игре с размещением магазинов в торговых центрах (из упражнения S9 главы 3 и упражнения S10 в данной главе) ходы выполняются последовательно, но в другом порядке: Big Giant, затем Titan, а затем Frieda’s.

a) Нарисуйте новое дерево игры.

b) Найдите совершенное равновесие подыгры этой игры. Чем оно отличается от совершенного равновесия подыгры, полученного в упражнении S9 в главе 3?

c) Опишите новую версию игры в стратегической форме.

d) Найдите все равновесия Нэша в этой игре. Сколько их? Как это соотносится с количеством равновесий, найденных в упражнении S10 в данной главе?

U9. Вернитесь к игре между Моникой и Нэнси из упражнения U10 в главе 5. Допустим, они выбирают количество усилий последовательно, а не одновременно. Моника делает это первой, а Нэнси, узнав об этом решении, также выбирает количество усилий.

a) Найдите совершенное равновесие подыгры, при котором общая прибыль определяется по формуле 5m + 4n + mn, затраты Моники и Нэнси, связанные с вложением усилий, составляют m² и n² соответственно и Моника принимает решение о количестве усилий первой.

b) Сравните выигрыши Моники и Нэнси с выигрышами, вычисленными в упражнении S10 в главе 5. В этой игре есть преимущество первого или второго хода?

c) Воспользовавшись той же функцией общей прибыли, что и в пункте а, найдите совершенное равновесие подыгры для игры, в которой Нэнси первой принимает решение о количестве усилий.

U10. В расширенном варианте упражнения U9 Монике и Нэнси необходимо решить, кто из них выберет количество усилий в первую очередь. Для этого каждая пишет на листке бумаги, будет ли она принимать решение первой. Если обе напишут «да» или «нет», им предстоит выбирать количество усилий одновременно, как в упражнении U10 в главе 5. Если Моника напишет «да», а Нэнси «нет», то они сыграют в игру, представленную в пункте а упражнения U9. Если Моника напишет «нет», а Нэнси «да», то они сыграют в игру из пункта c.

a) На основании выигрышей Моники и Нэнси, полученных в упражнении U9 выше, а также в упражнении U10 в главе 5, составьте таблицу для первого этапа игры в принятие решений.

b) Найдите равновесия Нэша в чистых стратегиях на первом этапе игры.

U11. В отдаленном городке Сент-Джеймс две компании, Bilge и Chem, конкурируют на рынке безалкогольных напитков (Coke и Pepsi пока на этом рынке нет). Bilge и Chem продают идентичную продукцию, а так как их продукт — жидкость, у них есть возможность выпускать его в более мелких емкостях. Поскольку на данном рынке представлены только эти две компании, цена товара P (в долларах) определяется по формуле P = (30 — Q_B — Q_C), где Q_B — количество продукции, выпускаемой Bilge, а Q_C — количество продукции Chem (в обоих случаях оно измеряется в литрах). В настоящее время обе компании рассматривают возможность инвестиций в новое оборудование для разлива напитков в бутылки, которое позволит сократить переменные издержки.

a) Если компания j решит не инвестировать, ее затраты составят C_j = Q²_j / 2, где j обозначает либо B (Bilge), либо C (Chem).

b) Если компания j решит инвестировать, ее затраты составят C_j = 20 + Q²_j / 6, где j обозначает либо B (Bilge), либо C (Chem). Эта новая функция издержек отображает фиксированную стоимость оборудования (20), а также более низкие переменные издержки.

Две компании принимают решения об инвестициях одновременно, но выигрыш в этой игре в инвестиции будет зависеть от игр в дуополию, которые возникнут впоследствии. Следовательно, игра состоит из двух этапов: сначала принять решение об инвестициях, а затем играть в дуополию.

a) Предположим, обе компании решают инвестировать. Запишите функции их прибыли, выраженные через Q_B и Q_C, и найдите с их помощью равновесия Нэша в игре с определением количества. Чему равны количество и прибыль обеих компаний при таком равновесии? Какова рыночная цена?

b) Допустим, обе компании решают не инвестировать. Чему равно количество продукции и прибыль обеих компаний при таком равновесии? Какова рыночная цена?

c) Теперь предположим, что компания Bilge решает инвестировать, а Chem — нет. Чему равно количество продукции и прибыль обеих компаний при таком равновесии? Какова рыночная цена?

d) Составьте таблицу два на два для игры в инвестиции между этими компаниями. В распоряжении каждой из них есть две стратегии: «инвестировать» и «не инвестировать». Выигрыши компаний — их прибыль, вычисленная в пунктах а, b и с. (Подсказка: обратите внимание на симметричность игры.)

e) Есть ли совершенное равновесие подыгры в этой двухэтапной игре в целом?

U12. Два французских аристократа, шевалье Шагрин и маркиз де Ренар, дерутся на дуэли. У каждого пистолет заряжен одной пулей. Находясь на расстоянии 10 шагов, они начинают идти навстречу друг другу, перемещаясь с одинаковой скоростью, по 1 шагу за один раз. После каждого шага один из них может выстрелить. Когда один из дуэлянтов стреляет, вероятность попасть в цель зависит от расстояния. После k шагов она составляет k/5, а значит, повышается с 0,2 после первого шага до 1 (определенность) после 5 шагов, когда соперники находятся напротив друг друга. Если один игрок выстрелит и промахнется, тогда как другому еще предстоит сделать выстрел, оба должны продолжать движение даже несмотря на то, что того, кто уже не может стрелять, ждет неминуемая смерть, — таковы правила кодекса чести аристократии. Каждый игрок получает выигрыш ?1, если он сам будет убит, и 1, если будет убит его соперник. Если оба останутся живы или оба будут убиты, каждый получит выигрыш 0.

Это игра с пятью последовательными шагами и одновременными ходами (стрелять или не стрелять) на каждом шаге. Найдите совершенное равновесие подыгры в этой игре.

Подсказка: начните с шага 5, когда дуэлянты стоят прямо напротив друг друга. Составьте таблицу два на два для игры с одновременными ходами на этом этапе и найдите равновесие Нэша. Теперь перейдите к шагу 4, где вероятность попасть в цель составляет 4/5, или 0,8 для каждого игрока. Составьте таблицу два на два для игры с одновременными ходами на этом этапе, правильно указав в соответствующей ячейке, что произойдет в дальнейшем. Например, если один игрок стреляет и промахивается, а другой не стреляет, то другой подождет, пока сможет сделать пятый шаг, и точно попадет в цель. Если ни один из игроков не стреляет, тогда игра перейдет на следующий этап, по которому вы уже нашли равновесие. С помощью всей этой информации определите выигрыши в таблице два на два на шаге 4 и найдите равновесие Нэша на этом этапе. Для поиска равновесных стратегий всей игры проанализируйте оставшиеся шаги в обратном порядке.

U13. Опишите пример конкуренции между компаниями, аналогичный по своей структуре дуэли из упражнения U12.