Упражнения без решений

U1. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях для представленных ниже игр. Сначала проверьте таблицу игры на наличие доминирующих стратегий. Если таковых нет, решите игру посредством итеративного исключения доминируемых стратегий.

U2. Для каждой из четырех игр, представленных в упражнении U1, определите, это игра с нулевой или с ненулевой суммой. Объясните логику своих рассуждений.

U3. Как и в упражнении S3, используйте метод минимакса для поиска равновесий Нэша в играх с нулевой суммой, найденных в упражнении U2.

U4. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях в следующих играх. Опишите шаги, которые вы при этом предпринимали.

U5. Используйте метод последовательного исключения доминируемых стратегий для решения следующей игры. Опишите шаги, которые вы для этого предприняли. Покажите, что ваше решение представляет собой равновесие Нэша.

U6. Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях для следующей игры. Опишите процесс, который вы при этом использовали. Объясните на примере данной игры, почему важно описывать равновесие с применением стратегий, выбранных игроками, а не только выигрышей, полученных в таком равновесии.

U7. Проанализируйте следующую таблицу игры:

a) Проставьте недостающие выигрыши в таблице таким образом, чтобы у Колина была доминирующая стратегия. Укажите, какая стратегия доминирующая, и объясните почему. (Обратите внимание: существует много в равной степени правильных ответов.)

b) Проставьте недостающие выигрыши в таблице таким образом, чтобы ни у одного игрока не было доминирующей стратегии, но при этом у каждого была доминируемая стратегия. Укажите, какие стратегии доминируемые, и объясните почему. (В этом случае тоже существует много в равной степени правильных ответов.)

U8. Битва в море Бисмарка (по названию моря в юго-западной части Тихого океана, отделяющего архипелаг Бисмарка от Папуа — Новой Гвинеи) представляла собой морское сражение между Соединенными Штатами и Японией во время Второй мировой войны. В 1943 году японский адмирал получил приказ провести конвой кораблей в Новую Гвинею. Ему предстояло сделать выбор между дождливым северным маршрутом и более солнечным южным, каждый из которых требовал трех дней плавания. Американцы знали об отплытии конвоя и хотели послать вслед за ним бомбардировщики, но им не было известно, по какому пути отправится конвой. Американцам пришлось послать самолеты-разведчики на поиски конвоя, но их хватало только на изучение одного маршрута за один раз. И американцам, и японцам приходилось принимать решения, не имея никакой информации о планах другой стороны.

Если бы конвой оказался на маршруте, который американцы исследовали первым, они сразу же послали бы туда бомбардировщики, в противном случае они потеряли бы день. Кроме того, плохая погода на северном маршруте тоже затрудняла бомбардировку. Если бы американцы изучили северный маршрут и сразу же обнаружили японцев, они могли бы рассчитывать только на два (из трех) благоприятных дня для бомбардировки; если бы при изучении северного маршрута они обнаружили, что японцы ушли на юг, они тоже могли бы рассчитывать на два дня бомбардировки. Если бы американцы решили сначала исследовать южный маршрут, они могли бы рассчитывать на три полных благоприятных дня для бомбардировки, если бы обнаружили японцев сразу же, и только на один день, если бы увидели, что японцы предпочли северный маршрут.

a) Представьте эту игру в виде таблицы игры.

b) Определите в ней все доминирующие стратегии и вычислите равновесие Нэша.

U9. Двух игроков, Джека и Джилл, поместили в разные комнаты. Затем каждому из них объяснили правила игры. Каждый должен выбрать одну из шести букв: G, K, L, Q, R и W. Если случится так, что оба выберут одну и ту же букву, они получат призы по следующей схеме.

При выборе разных букв каждый игрок получит 0. Всю эту схему доводят до сведения игроков, и обоим говорят, что они оба знают эту схему.

a) Составьте таблицу этой игры. Каковы равновесия Нэша в чистых стратегиях?

b) Может ли одно из равновесий быть фокальной точкой? Какое? Почему?

U10. Три подруги (Джулия, Кристин и Лариса) независимо друг от друга идут покупать платья для выпускного бала. В магазине каждая девушка видит только три платья, которые достойны внимания: черное, бледно-лиловое и желтое. Более того, каждая девушка готова утверждать, что двух ее подруг тоже заинтересовал бы именно этот набор платьев, поскольку у всех троих примерно одинаковые вкусы.

Каждая девушка хотела бы надеть на выпускной бал единственное в своем роде платье, поэтому для нее полезность платья равна 0, если она купит одинаковое платье с кем-то из подруг. Все трое знают, что Джулия однозначно отдаст предпочтение черному перед бледно-лиловым и желтым цветом, поэтому она получила бы полезность 3, если бы была единственной девушкой в черном платье, и полезность 1, если бы только у нее было платье бледно-лилового или желтого цвета. Точно так же все трое знают, что Кристин нравится бледно-лиловый цвет и только во вторую очередь желтый, поэтому ее полезность составила бы 3, если бы только она надела бледно-лиловое платье, 2 — желтое и 1 — черное. И наконец, всем известно, что Лариса обожает желтый, а затем черный, поэтому она получила бы 3, если бы выбрала желтое платье, 2 — черное и 1 — бледно-лиловое.

a) Составьте таблицу для этой игры с участием трех игроков. Пусть Джулии соответствуют строки таблицы, Кристин — столбцы, Ларисе — страницы.

b) Определите все доминируемые стратегии в игре или объясните причину их отсутствия.

c) Каковы равновесия Нэша в чистых стратегиях в этой игре?

U11. Брюс, Колин и Дэвид собираются в доме Дэвида в пятницу вечером, чтобы поиграть в «Монополию». Все трое любят есть суши во время игры. По предыдущему опыту они знают, что двух порций суши вполне достаточно, чтобы утолить голод. Если они закажут меньше двух порций, то останутся голодными и не получат удовольствия от вечера, заказывать больше двух порций тоже не имеет смысла, поскольку они столько не съедят и третья порция испортится. Их любимый ресторан Fishes in the Raw упаковывает суши в такие большие контейнеры, что один человек может купить максимум одну порцию. Ресторан Fishes in the Raw предлагает суши навынос, но, к сожалению, не осуществляет доставку.

Предположим, полезность достаточного количества суши составляет для каждого игрока 20 долларов, а недостаточного — 0 долларов. Каждому игроку, который забирает заказ суши, это обходится в 10 долларов.

К сожалению, друзья забыли договориться о том, кто будет покупать суши в эту пятницу, и у них нет мобильных телефонов, поэтому они должны независимо друг от друга решить, покупать суши (П) или нет (Н).

a) Опишите эту игру в стратегической форме.

b) Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях.

c) Какое равновесие вы назвали бы фокальной точкой? Объясните логику своих рассуждений.

U12. Роксанна, Сара и Тед очень любят печенье, но в упаковке осталось только одно. Никто не хочет делить его на части, поэтому Сара предлагает сыграть в следующий вариант игры «чет или нечет» (см. упражнение S12), для того чтобы определить, кто съест печенье. На счет три каждый игрок выбрасывает один или два пальца, затем игроки их суммируют и делят сумму на 3. Если остаток 0, печенье достается Роксанне, если 1, то Саре, а если 2, то Теду. Каждый из игроков получает выигрыш 1, если победит (и съест печенье), и 0 в противном случае.

a) Представьте эту игру с тремя участниками в форме таблицы, где Роксанне соответствуют строки, Саре — столбцы, Теду — страницы.

b) Найдите все равновесия Нэша в чистых стратегиях. Можно ли назвать эту игру справедливым способом поделить печенье? Объясните, почему да или нет.

U13 (дополнительное упражнение). Постройте матрицу выигрышей для игры с двумя участниками, удовлетворяющей следующим требованиям. Во-первых, у каждого игрока должно быть три стратегии. Во-вторых, в игре не должны отсутствовать доминирующие стратегии. В-третьих, игра не должна быть разрешима методом минимакса. В-четвертых, в игре должно быть ровно два равновесия Нэша в чистых стратегиях. Составьте матрицу игры, а затем продемонстрируйте, что все перечисленные выше условия соблюдены.